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1、 北方城镇的窗户玻璃是双层的北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要这样做主要是为室内保温目的是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。第1页/共39页模型准备模型准备:热量的传播形式热量的传播形式,温度温度,与热量传播的有关结果与热量传播的有关结果:厚度为厚度为d d的均匀介质的均匀介质,两侧温度差为两侧温度差为 T T,则单位时间由温度高的一侧向温度则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量低的一侧通过单位面积的热量Q,Q,与与 T T成正比成正比,与与d d成反比成反比,即即:Q=k
2、 T/dk k为热传导系数为热传导系数.（物理定律）（物理定律）模型假设模型假设:(根据上定律做假设根据上定律做假设)1.1.室内的热量传播只有传导室内的热量传播只有传导(不考虑对流不考虑对流,辐射辐射)；2.2.室内温度与室外温度保持不变室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数数)；3.3.玻璃厚度一定玻璃厚度一定,玻璃材料均匀玻璃材料均匀(热传导系数是常数热传导系数是常数)第2页/共39页符号说明符号说明:d:d:玻璃厚度玻璃厚度T T1 1:室内温度室内温度T T2 2:室外温度室外温度T Ta:靠近内层玻璃温度靠近内层玻璃温
3、度T Tb:靠近外层玻璃的温度靠近外层玻璃的温度L:L:玻璃之间的距离玻璃之间的距离k k1 1:玻璃热传导系数玻璃热传导系数k k2 2:空气热传导系数空气热传导系数T1T2LT aTb第3页/共39页模型构成模型构成:由热量守恒定律由热量守恒定律:过内层玻璃的热量过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量过外层玻璃的热量消去不方便测量的消去不方便测量的T T1 1,T,T2 2,有有第4页/共39页对中间无缝隙的双层玻璃对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为可以视为厚为2d2d的单层玻璃的单层玻璃,有热传导有热传导:而而说明双层玻璃比单层玻璃保温说明双层玻璃比单
4、层玻璃保温!为得定量结果为得定量结果,考虑的考虑的s s的值的值,查资料有查资料有常用玻璃常用玻璃:k:k1 1=4=4 1010-3-3 8 8 1010-3-3(焦耳焦耳/厘米厘米.秒秒.度度)静止的干燥空气静止的干燥空气:k:k2 2 10 10-4-4(焦耳焦耳/厘米厘米.秒秒.度度)第5页/共39页若取最保守的估计若取最保守的估计,有有 显然显然Q/QQ/Q可以反映双层玻璃在减少热量损失可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效的功效,它是它是h h的函数的函数.从从图形图形考察它的取值情况考察它的取值情况.第6页/共39页此函数无极小值此函数无极小值,从图中可知从图中可知:当当h h从从
5、0 0变大时变大时,Q/Q,Q/Q迅速下降迅速下降,但但h h超过超过4 4后下后下降变慢降变慢.h h不易选择过大不易选择过大,以免浪费材料以免浪费材料!模型应用模型应用:通常取通常取h h 4,4,有有Q/QQ/Q 3%3%,此时双层玻此时双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达璃比单层玻璃避免热量损失达97%97%第7页/共39页 将一块积木作为基础，在它上面叠将一块积木作为基础，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的放其他积木，问上下积木之间的“向右向右前伸前伸”可以达到多少？可以达到多少？第8页/共39页这个问题涉计到重心的概念这个问题涉计到重心的概念模型准备模型准备模型准备模型准备第9页/
6、共39页关于重心的结果有：关于重心的结果有：设设xoy平面上有平面上有n n个质点，它们的坐标分别为个质点，它们的坐标分别为 (x1,y1)，(x2,y2)，,(xn,yn)，对应的质量分别为，对应的质量分别为m1,m2,mn,则该质点系的重心坐标满足则该质点系的重心坐标满足关系式关系式第10页/共39页模型假设所有积木的长度和重量均为一个单位参与叠放的积木有足够多每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上第11页/共39页模型构成1考虑两块积木的叠放情况考虑两块积木的叠放情况x对只有两块积木的叠放，注对只有两块积木的叠放，注意到，此时使叠放后的积木意到，
7、此时使叠放后的积木平衡主要取决于上面的积木，平衡主要取决于上面的积木，而下面的积木只起到支撑作而下面的积木只起到支撑作用。假设在叠放平衡的前提用。假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积下，上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为木右端的最大前伸距离为x。上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积木因为积木的长度是的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为1/2。第12页/共39页模型构成2考虑考虑n块积木的叠放情况块积木的叠放情况 为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作
8、一为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插入在最底下的积木下方。于是，我们的问题又归结为两块积入在最底下的积木下方。于是，我们的问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。这个处理可以推广到这个处理可以推广到n+1n+1块积木的叠放问题：即假设块积木的叠放问题：即假设已经叠放好已经叠放好n n（n n1 1）块积木后，再加一块积木的怎样叠）块积木后，再加一块积木的怎样叠放问题。放问题。第13页/共39页
9、 假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木的最右端假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图）。考虑上面的为坐标原点建立如图坐标系（见图）。考虑上面的n n块积木的重心关系。块积木的重心关系。1.1.从最高层开始的前从最高层开始的前n-1n-1块积木，记它们的块积木，记它们的水平重心为水平重心为x x1 1,总质量为总质量为n-1;n-1;2.2.与最底层积木相连的第与最底层积木相连的第n n块积木块积木,记它的记它的水平重心为水平重心为x x2 2,质量为质量为1.1.下面我们就下面我们就n+1n+1（n1n1）块积木的叠放问题
10、来讨论。）块积木的叠放问题来讨论。把上面的把上面的n n块积木分成两部分块积木分成两部分第14页/共39页1.把上面的把上面的n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标 。n块积木的质量块积木的质量为为n。在平衡的前提下，上面的。在平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端，即有右端，即有 ；2.假设第假设第n块积木超过最底层积木右端的块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为最大前伸距离为z,在保证平衡的前提在保证平衡的前提下，从最高层开始的下，从最高层开始的前前n-1块积木块积木的总重心的的总重心
11、的水平坐标为水平坐标为z，即有，即有 x1=z，而第，而第n块积木的水平重心在距第块积木的水平重心在距第n块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第n块积木的水平重心坐标为块积木的水平重心坐标为 。由重心的关系，有。由重心的关系，有第15页/共39页设从第设从第n+1n+1块积木的右端到第块积木的右端到第1 1块积木的右端最远距离为块积木的右端最远距离为dn+1，则有，则有 说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。本题给出的启示本题给出的启示 当问题涉及到较多对象时，对
12、考虑的进行合理的分类进行解决，往往会使问当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。题变得清晰。此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。第16页/共39页某学院的最初人数见下表某学院的最初人数见下表,此系设此系设2020个学生代表席位个学生代表席位系名系名 甲 乙 丙 总数学生数学生数 100 60 40 200学生人数比例学生人数比例 100/200 60/200 40/200席位分配席位分配 10 6 4 20 按比例分配方法按比例分配方法:分配人数分配人数=学生人数比例学生人数比例 总席位总席位第17页/共39
13、页系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配 10 6 4 20若出现学生转系情况：惯例席位分配方法为惯例席位分配方法为:比例分配出现小数时比例分配出现小数时,先按整数分配席位先按整数分配席位,余下席位按小数的大小余下席位按小数的大小依次分配之依次分配之.第18页/共39页 为改变总席位为偶数出现表决平局现象为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加一席决定增加一席,总席位变为总席位变为2121个学生代表席位个学生代表席位,还按惯例分配席位还按惯例分配席位,有有系
14、名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 出现增加一席后出现增加一席后,丙系却少一席的情况丙系却少一席的情况,说明按惯例分配席位的方法有缺说明按惯例分配席位的方法有缺陷陷,试建立更合理的分配席位方法试建立更合理的分配席位方法.第19页/共39页讨论由两个单位公平分配席位的情况，设讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位单位 人数人数 席位数席位数 每席代表人数每席代表人数单位单位A pA p1 1 n n1 1 p p1 1/n n
15、1 1单位单位B pB p2 2 n n2 2 p p2 2/n n2 2模型构成模型构成要公平要公平,应该应该第20页/共39页但此公式有不足之处（绝对数的特点），如：但此公式有不足之处（绝对数的特点），如：n n1 1=n n2 2 =10 =10,p p1 1=120 =120 ,p p2 2=100,=100,p=2p=2n n1 1=n n2 2 =10 =10,p p1 1=1020 =1020,p p2 2=1000,=1000,p=2p=2但但若若p1/n1 p2/n2 则单位则单位A 吃亏吃亏(对单位对单位A不公平不公平)若若p1/n1 p2/n2 则单位则单位B 吃亏吃亏(
16、对单位对单位B不公平不公平)一般不成立！一般不成立！用用来衡量分配不公平程度来衡量分配不公平程度第21页/共39页采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式：采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式：对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用使不公平值尽量小对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平的分配方案减少分配中的不公平.第22页/共39页确定分配方案确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案）：（使用不公平值的大小来确定分配方案）假设单位假设单位A A和单位和单位B B的人数分别为的人数分别为p p1 1和和p p2 2
17、，对应的席位为，对应的席位为n n1 1和和 n n2 2，再分配一个，再分配一个席位时席位时,有有1.1.当该席位分配给单位当该席位分配给单位A A时有对单位时有对单位B B的不公平值为的不公平值为2.2.当该席位分配给单位当该席位分配给单位B B 时有对单位时有对单位A A的不公平值为的不公平值为第23页/共39页 若若r rB(n(n1 1+1,n+1,n2 2)r)0、g()=0故此本问题归为证明如下数学命题数学命题：ABCDABCD第37页/共39页数学命题数学命题:（本问题的数学模型）（本问题的数学模型）已知f()、g()都是的非负连续函数，对任意的，有f()g()=0，且f(0)0、g(0)=0，则有存在0，使f(0)=g(0)=0模型求解模型求解 证明：证明：将椅子旋转90，对角线AC与BD互换，由f(0)0、g(0)=0 变为f(/2)=0、g(/2)0 令h()=f()-g(),则有h(0)0和h(/2)0由h()的连续性及连续函数的中值定理，必存在一个0（0，/2），使h(0)=0，即则有存在0，使f(0)=g(0)=0。第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页