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1、7 切线长定理1.1.理解切线长的概念，掌握切线长定理理解切线长的概念，掌握切线长定理2.2.学会运用切线长定理解有关问题学会运用切线长定理解有关问题3 3通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想合的思想BA1 1.如何过如何过O O外一点外一点P P画出画出O O的切线？的切线？2 2.这样的切线能画出几条？这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出如下左图，借助三角板，我们可以画出PAPA是是O O的切线的切线.3.3.如果如果P=5
2、0P=50,求求AOBAOB的度数的度数.50130130OPOABP如何用圆规和直尺如何用圆规和直尺作出这两条作出这两条切线呢？切线呢？.思考：已画出切线思考：已画出切线PA,PBPA,PB，A,BA,B为切点，则为切点，则OAP=OAP=9090,连接连接OPOP，可知，可知A,B A,B 除了在除了在O O上，还在怎样的圆上上，还在怎样的圆上?O PABO过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长.OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切
3、线长概念切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念：1.1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量外一点和切点，可以度量.OPAB比一比：比一比：切线与切线长切线与切线长OABP12思考：思考：已知已知O O切线切线PAPA，PBPB，A A，B B为切点，把圆沿着直为切点，把圆沿着直线线OPOP对折对折,你能发现什么你能发现什么?折一折折一折请证明你所发现的结论请证明你所发现的结论.APOBPA=PBPA=PBOPA
4、=OPBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点，是切点，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90，OA=OB OA=OB，OP=OP=OPOP，RtAOPRtBOP(HLRtAOPRtBOP(HL)PA=PB PA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.证一证证一证切线长定理切线长定理PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A，B B，PA=PB,OPPA=PB,OP平分平分APB.APB.过圆外一点，所画的过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相圆的两条切线的长相等等.几何语言几何语言:OPAB反思
5、：反思：切线长定理为证明线段切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法相等、角相等提供新的方法PA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPBAPOB若连接两切点若连接两切点A A，B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什么你又能得出什么新的结论新的结论?并给出证明并给出证明.OPOP垂直平分垂直平分ABABM证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点，是切点，PA=PBPA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线.OPOP垂直平分垂直平分AB.AB.试一试试一试A
6、PO.B若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连接，连接CACA，CBCB，你又能得出什么，你又能得出什么新的结论新的结论?并给出证明并给出证明.CA=CBCA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点，是切点，PA=PB PA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.又又 PC=PC=PCPC.PCAPCB PCAPCB，BC=AC.BC=AC.C.PBAO（3 3）连接圆心和圆外一点）连接圆心和圆外一点（2 2）连接两切点）连接两切点（1 1）分别连接圆心和切点）分别连接圆心和切点反思：在解决有关圆的反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需切
7、线长问题时，往往需要我们构建基本图形要我们构建基本图形.想一想想一想探究：探究：PAPA，PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A，B B为切点，直线为切点，直线OPOP交交O O于点于点D D，E E，交，交ABAB于点于点C.C.BAPOCE（1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPAOAPA，OB PB ABOPOB PB ABOP（2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCDAOPBOPAOPBOP，AOCBOCAOCBOC，ACPBCPACPBCP（4 4）写出图中所有的等腰三角形
8、）写出图中所有的等腰三角形ABPABP，AOBAOB（3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形BAPOCED【例例1 1】ABCABC的内切圆的内切圆O O与与BCBC，CACA，ABAB分别相切于分别相切于点点D D，E E，F F，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求，求AFAF，BDBD，CECE的长的长.【解析解析】设设AF=x,AF=x,则则AE=xAE=xCD=CE=AC-AE=13-xCD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.BD=BF=AB-AF=9-x.由由BD+CD=BCBD
9、+CD=BC可得可得13-x+9-x=1413-x+9-x=14，解得解得x=4.x=4.AF=4 cm,BD=5 cm,CE=9 cm.AF=4 cm,BD=5 cm,CE=9 cm.【例题例题】【例例1 1】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分别相切于点分别相切于点L L，M M，N N，P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD.AD+BC=AB+CD.证明：证明：由切线长定理得由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MBLB=MB，NC=MCNC=MC，DN=DP,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN
10、,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即即AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD，补充：圆的外切四边形的两组对边补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等的和相等DLMNABCOP【例题例题】1.1.如果如果PA=4cm,PD=2cm,PA=4cm,PD=2cm,求半径求半径OAOA的长的长.42xx【解析解析】设设OA=OA=xcmxcm；在在RtOAPRtOAP中，中，OA=OA=xcmxcm，OP=OD+PD=OP=OD+PD=（x+2x+2）cmcm，PA=4cm,PA=4cm,由勾股定理，得由勾股定理，得PAPA2 2+OA+OA2 2=OP=OP2 2，即即4 42
11、2+x+x2 2=(x+2)=(x+2)2 2,整理，得整理，得x=3.x=3.所以，半径所以，半径OAOA的长为的长为3cm.3cm.【跟踪训练跟踪训练】ABCDEF2.2.设设ABCABC的边的边BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，内切圆，内切圆II和和BC,AC,ABBC,AC,AB分别相切于点分别相切于点D,E,F.D,E,F.求求AE,CD,BFAE,CD,BF的长的长.Ixyz【解析解析】设设AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=z,CD=z,xyz答：答：AE,CD,BFAE,CD,BF的长分别是的长分别是9,2,6.9,2,6.x+yx+y=15,
12、=15,y+zy+z=8,=8,x+zx+z=11,=11,x=9,x=9,y=6,y=6,z=2,z=2,则则解得解得1 1（珠海（珠海中考）如图，中考）如图，PA,PBPA,PB是是 O O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A,BA,B，如果，如果P P6060,那么那么AOBAOB等等于（于（）A.60A.60 B.90 B.90C.120C.120 D.150 D.150C C2.2.（杭州杭州中考）中考）如图，正三角形的内切圆半径为如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那么这个正三角形的边长为（那么这个正三角形的边长为（）A A2 2 B B3 C3 C D D 【解析解析】选选D.
13、D.如图所示，连接如图所示，连接OA,OBOA,OB，则三角形，则三角形AOBAOB是是直角三角形，且直角三角形，且OBA=90OBA=90,OAB=30,OAB=30,又因为内切又因为内切圆半径为圆半径为1 1，利用勾股定理求得，利用勾股定理求得AB=,AB=,那么这个正三角那么这个正三角形的边长为形的边长为 .AB3.3.已知：如图已知：如图,PA,PB,PA,PB是是O O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A,BA,B，Q Q为为O O上一点，过上一点，过Q Q点作点作O O的切线，交的切线，交PA,PBPA,PB于于E,FE,F点，已知点，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PE
14、FPEF的周长的周长.【解析解析】易证易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.PE+EQ=PA=12cm,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.PF+FQ=PB=PA=12cm.周长为周长为24cm.24cm.F切线的切线的6 6个性质：个性质：（1 1）切线和圆只有一个公共点）切线和圆只有一个公共点.（2 2）切线和圆心的距离等于圆的半径）切线和圆心的距离等于圆的半径.（3 3）切线垂直于过切点的半径）切线垂直于过切点的半径.（4 4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.（5 5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（6 6）切线长定理）切线长定理.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：我之所以比笛卡儿看得远些，是因为我站在巨人的肩上.牛顿