工学信号与系统第四章.pptx

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1、会计学1工学信号与系统第四章工学信号与系统第四章回顾频域分析的基本思想：1）信号在频域内进行分解：以正弦分量或者复指数分量为基本信号，将激励信号表示成无穷多个谐波分量之和；2）利用LTI系统对基本单元信号的响应，利用叠加原理得到系统的总响应。所用数学工具：傅立叶级数、傅立叶变换4.1 引言第1页/共169页傅立叶分析方法的主要特点：1）求响应过程中利用傅立叶变换将系统的微分方程的求解转化为代数方程的求解（化卷积运算为乘积运算），以两次变换为代价；2）在有关信号的分析与处理方面和系统频率特性方面（谐波组成、频率响应、系统带宽、波形失真等），傅立叶变换所给出的结果都具有非常清楚的物理意义；第2页/

2、共169页傅立叶分析方法的不足之处：1）求取时域响应过程中绝大部分的傅立叶反变换太困难；2）它只能处理满足狄氏条件的信号，而实际中的很多信号不满足此条件，所以其应用范围受到很大限制；第3页/共169页为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，（1）引入了广义函数理论去解释傅里叶变换；）引入了广义函数理论去解释傅里叶变换；（2）利用利用本章要讨论的本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点优点在于：在于：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普

3、遍；始条件被自动计入，因此应用更为普遍；缺点缺点在于：在于：物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。解决问题的途径：第4页/共169页复频域分析的基本思路：是应用拉氏变换进行系统分析，同样也是建立在LTI的叠加性和齐次性基础之上，只是信号分解的基本信号不同。1）信号在复频域内进行分解：复频域分析基本信号：复指数信号 或者幅度以指数 规律变化的正弦信号 。频域分析基本信号：正弦分量或者复指数分量；时域分析基本信号：冲激信号或者阶跃信号；2）利用LTI系统对基本单元信号的响应，利用叠加原理得到系统的总响应。第5页/共169页分析域的不同只是信号分解的基本信号不同；分析域的不同只

4、是信号分解的基本信号不同；傅立叶变换与拉氏变换无论在性质上还是在系统分析方法上都傅立叶变换与拉氏变换无论在性质上还是在系统分析方法上都 有很多类似的地方。事实上可以将傅立叶变换看成是拉氏变有很多类似的地方。事实上可以将傅立叶变换看成是拉氏变 换中换中 ，在，在 的一种特殊情况。的一种特殊情况。拉氏变换也能将系统微分方程变成代数方程，而且可自动引入拉氏变换也能将系统微分方程变成代数方程，而且可自动引入 初始值，且拉氏反变换比较反方便。因此在系统分析方法中初始值，且拉氏反变换比较反方便。因此在系统分析方法中 更更 容易。但并不意味着傅立叶变换没有应用价值，它是分析容易。但并不意味着傅立叶变换没有应

5、用价值，它是分析 信号与系统的信号与系统的频率特性频率特性的主要手段。的主要手段。本章在频域分析的基础上引入复指数本章在频域分析的基础上引入复指数 为基本信号，其中为基本信号，其中 ，称为复频率。在频域分析法中，变量，称为复频率。在频域分析法中，变量 是频率是频率且为实数，这里是复频率且是复数。且为实数，这里是复频率且是复数。几点说明第6页/共169页本章内容及学习方法本章内容及学习方法本章内容及学习方法本章内容及学习方法学习方法：学习方法：本章首先由本章首先由傅氏傅氏变换引出变换引出拉氏拉氏变换，然后对拉氏变换，然后对拉氏正正变换、变换、拉氏拉氏反反变换及拉氏变换的变换及拉氏变换的性质性质进

6、行讨论。进行讨论。本章本章重点重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析复频域分析。最后介绍最后介绍系统函数系统函数以及以及H(s)零极点零极点概念，并根据他们的分概念，并根据他们的分 布研究布研究系统特性系统特性，分析，分析频率响应频率响应，还要简略介绍系统，还要简略介绍系统稳定性稳定性 问题。问题。注意与傅氏变换的注意与傅氏变换的对比对比，便于理解与记忆。，便于理解与记忆。复频域分析主要内容：主要研究连续信号与系统的拉氏变换、求系统响应的方法以及系统特性。第7页/共169页 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 信号与系统 Signals and Syst

7、ems第8页/共169页主要内容主要内容主要内容主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换第9页/共169页一从傅里叶变换到拉普拉斯变换1拉普拉斯变换的引出 傅立叶变换不存在的主要原因是一个函数或者信号f(t)不满足绝对可积条件，而一个函数不满足绝对可积的原因往往是因为衰减太慢，从而限制了傅立叶变换的使用。为了使更多的信号存在傅立叶变换，并简化某些变换形式和运算过程，引用一个衰减因子 ：第10页/共169页则则第11页/共169页2 2 2 2拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换第12页/共169页3

8、 3 3 3拉氏变换对拉氏变换对拉氏变换对拉氏变换对第13页/共169页二拉氏变换的物理意义第14页/共169页第15页/共169页复平面第16页/共169页三拉氏变换的收敛域三拉氏变换的收敛域三拉氏变换的收敛域三拉氏变换的收敛域拉氏变换存在的条件：第17页/共169页收敛域收敛域：使：使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)把把 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 的范围称为收敛域。的范围称为收敛域。拉氏变换收敛域的定义：第18页/共169页几点说明几点说明几点说明几点说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不

9、加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。第19页/共169页四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号第20页/共169页4 4 4 4t t t tn n n nu(t)u(t)u(t)u(t)第21页/共169页 4.3 拉普拉斯变换的基本性质 信号与系统 Signals and Systems第22页/共169页主要内容主要内容主要内容主要内容线性线性 原函数微分原函数微分原函数积分原函数积分延时（时域平移）延时（时域平移）s域平移域平移尺度变换尺度变换初值初

10、值终值终值卷积卷积对对s域微分域微分对对s域积分域积分第23页/共169页一线性一线性一线性一线性已知已知则则同理同理例题：例题：第24页/共169页二原函数微分二原函数微分二原函数微分二原函数微分推广：推广：证明：证明：第25页/共169页电感元件的电感元件的电感元件的电感元件的s s s s域模型域模型域模型域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设设第26页/共169页三原函数的积分三原函数的积分三原函数的积分三原函数的积分证明：证明：第27页/共169页电容元件的电容元件的电容元件的电容元件的s s s s域模型域模型域模型域模型电容元件的s模型第28页/共169页四延时（时域平移）四

11、延时（时域平移）四延时（时域平移）四延时（时域平移）证明：证明：第29页/共169页时移特性、例题时移特性、例题时移特性、例题时移特性、例题【例1】已知【例2】解：解：第30页/共169页五五五五s s域平移域平移域平移域平移证明：证明：第31页/共169页例例例例第32页/共169页六尺度变换六尺度变换六尺度变换六尺度变换时移和标度变换都有时:证明：证明：第33页/共169页七初值七初值七初值七初值第34页/共169页初值定理证明初值定理证明初值定理证明初值定理证明由由原函数微分定理原函数微分定理可知可知第35页/共169页例例例例1 1 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1

12、1例例2 2第36页/共169页终值存在的条件:八终值八终值八终值八终值证明证明：根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式第37页/共169页九卷积九卷积九卷积九卷积证明：证明：交换积分次序交换积分次序第38页/共169页十对十对十对十对s s微分微分微分微分第39页/共169页十一对十一对十一对十一对s s积分积分积分积分两边对两边对s积分：积分：交换积分次序交换积分次序:证明：证明：第40页/共169页3.3.3.3.单边信号抽样后的拉氏变换单边信号抽样后的拉氏变换单边信号抽样后的拉氏变换单边信号抽样后的拉氏变换第41页/共169页 4.4 拉普拉斯逆变换 信号与系统 Si

13、gnals and Systems第42页/共169页主要内容主要内容主要内容主要内容由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法部分分式法求拉氏逆变换部分分式法求拉氏逆变换两种特殊情况两种特殊情况第43页/共169页一由象函数求原函数的三种方一由象函数求原函数的三种方一由象函数求原函数的三种方一由象函数求原函数的三种方法法法法(1)(1)部分分式法部分分式法(2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法(3)(3)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用计算机第44页/共169页二二二二F(s)F(s)的一般形式的一般形式的一般形式的一般形式ai,bi为实数，为实数，m,n为

14、正整数。为正整数。分解分解零点零点极点极点第45页/共169页三三三三拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程第46页/共169页四部分分式展开法四部分分式展开法四部分分式展开法四部分分式展开法(mn)(mn)1.第一种情况：单阶实数极点3.第三种情况：极点为共轭复数2.第二种情况：有重根存在第47页/共169页第一种情况：单阶实数极第一种情况：单阶实数极第一种情况：单阶实数极第一种情况：单阶实数极点点点点(1)(1)找极点找极点(2)(2)展成部分分式展成部分分式求系数求系数如何求系数k1,k2,k3？是个关键！第48页/共169页求系数求系数求系数求系数k k1 1

15、,k k2 2,k k33第49页/共169页(3)(3)逆变换逆变换第50页/共169页3.3.第二种情况：第二种情况：第二种情况：第二种情况：有重根存在有重根存在有重根存在有重根存在如何求如何求k k2 2?第51页/共169页如何求如何求如何求如何求k k2 2?设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k k2 2，其它分式为，其它分式为0 0第52页/共169页逆变换逆变换逆变换逆变换第53页/共169页一般情况一般情况一般情况一般情况求k11，方法同第一种情况：求其它系数，要用下式 第54页/共169页第三种情况：极点为共轭复数第三种情况：极点为共轭复数第三种情况：极点为共轭复数第三

16、种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在第55页/共169页求求求求f f(t t)第56页/共169页例题例题例题例题第57页/共169页F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法另一种方法另一种方法另一种方法第58页/共169页五五五五F(s)F(s)两种特殊情况两种特殊情况两种特殊情况两种特殊情况非真分式-化为真分式多项式第59页/共169页1.1.1.1.非真分式真分式多项式非真分式真分式多项式非真分式真分式多项式非真分式真分式多项式作长除法作长除法第60页/共169页2.2.2.2.含含含含e-se-se-se-s的非有理的非有理的非

17、有理的非有理式式式式第61页/共169页 4.5 LTI系统的复频域分析 信号与系统 Signals and Systems第62页/共169页主要内容主要内容主要内容主要内容LTILTI系统复频域分析的步骤系统复频域分析的步骤由系统微分方程求系统响应由系统微分方程求系统响应利用系统利用系统s域模型求系统响应域模型求系统响应第63页/共169页一一一一.LTI.LTI 系统的复频域分析的步骤系统的复频域分析的步骤系统的复频域分析的步骤系统的复频域分析的步骤列s域方程（可以从两方面入手）列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。应用：

18、拉氏变换法分析电路第64页/共169页关键：关键：关键：关键：微分方程微分方程微分方程微分方程的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 二由系统微分方程求系统响应 优点：整个求响应的过程变得比较简单；缺点：当系统较复杂时（回路或者节点较多时），微分方程不容易写出。第65页/共169页例例例例4-5-14-5-14-5-14-5-1解：第66页/共169页（4 4）求反变换）求反变换）求反变换）求反变换第67页/共169页求求求求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。第68页/共169页(3)对微分方程两边取拉氏变换 采用采用采用采用0-0-系统系统系统系统第6

19、9页/共169页采用采用采用采用0+0+系统系统系统系统(4)原方程取拉氏变换第70页/共169页我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型，直接按电路的s域模型建立代数方程。解决问题的途径：第71页/共169页例例例例4-5-24-5-2列列s s域方程域方程:第72页/共169页结果同结果同例例4-5-14-5-1第73页/共169页例例例例4-5-34-5-34-5-34-5-3(1)(2)(3)列方程解：第74页/共169页极点极点极点极点故 第75页/共169页逆变换逆变换逆变换逆变换设则波形波形第76页/共169页

20、第一种情况：第一种情况：第一种情况：第一种情况：阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。第二种情况：引入符号所以第77页/共169页第三种情况：第三种情况：第三种情况：第三种情况：第四种情况：第78页/共169页波形波形波形波形第79页/共169页三由系统三由系统三由系统三由系统s s域模型求系统响应域模型求系统响应域模型求系统响应域模型求系统响应1.电路元件的s域模型（1）电阻元件的s域模型第80页/共169页（2 2 2 2）电感元件的）电感元件的）电感元件的）电感元件的s s s s域模型域模型域模型域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：第81页/共169页（3 3 3

21、3）电容元件的）电容元件的）电容元件的）电容元件的s s s s域模型域模型域模型域模型电流源形式：第82页/共169页2.电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用。第83页/共169页3.3.3.3.求响应的具体步骤：求响应的具体步骤：求响应的具体步骤：求响应的具体步骤：（1）根据所给电路（）根据所给电路（即即t0时的电路时的电路）画）画s域等效模型；域等效模型；（4）针对）针对s域等效电路，根据基尔霍夫定律列写域等效电路，根据基尔霍夫定律列写KVL、KCL方程，即列写方程，即列写s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）；（5）解）解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏

22、变换V(s)或或I(s)；（6）拉氏反变换求出）拉氏反变换求出v(t)或或i(t)。例例4-5-2 例例4-5-3第84页/共169页系统函数系统函数LTI互联网络的系统函数互联网络的系统函数并联并联 级联级联 反馈连接反馈连接4.6 系统函数(网络函数)H(s)信号与系统 Signals and Systems第85页/共169页1.定义一系统函数一系统函数一系统函数一系统函数响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 第86页/共169页2.H(s)2.H(s)2.H(s)2.H(s)的几种情况的几种情况的几种情况的几种情况策动点函数策动点函数：激励与响应在同一端口时：激励与响应在同一端口时策动点

23、导纳策动点导纳策动点阻抗策动点阻抗转移导纳转移导纳转移阻抗转移阻抗电压比电压比电流比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口第87页/共169页4.应用：求系统的响应3 3 3 3求求求求H(s)H(s)H(s)H(s)的方法的方法的方法的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程微分方程两端取拉氏变换第88页/共169页例例例例4-6-14-6-1(1)(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)(2)解：第89页/共169页二二二二LTISLTIS互联的系统函数互联的系统函数互联的系统函数互联的系统函数1LTI系统的并联2LTI系统的级联第90页/共

24、169页3 3 3 3LTILTILTILTI系统的反馈连接系统的反馈连接系统的反馈连接系统的反馈连接第91页/共169页例例例例4-6-24-6-24-6-24-6-2已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。描述此系统的微分方程。解：第92页/共169页例例例例4-6-34-6-34-6-34-6-3解：第93页/共169页于是得到第94页/共169页比较比较比较比较HH(s s)和和和和HH(p p)第95页/共169页4 4 4 4结论结论结论结论在s域可进行代数运算：第96页/共169页序言序言H(s)零、极点与零、

25、极点与h(t)波形特征波形特征H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应强迫响应特性的对应4.7 系统函数零、极点分布决定时域特性 信号与系统 Signals and Systems第97页/共169页拉氏变换的ROC及零极点图例例.第98页/共169页可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根对应的。的分母的根对应的。若若 是有理函数是有理函数第99页/共169页 分子多项式的根称为分子多项式

26、的根称为零点零点，分母多项式的根，分母多项式的根称为称为极点极点。将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在 S 平面上平面上就构成了就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相差一个常数因子数因子 。因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。把系统的零、极点画到把系统的零、极点画到S S平面上的示意图称平面上的示意图称为为系统函数的零极点图系统函数的零极点图。系统的零极点决定着。系统的零极点决定着系统的特性。系统的特性。第100页/共169页一问题的引出一问题的引出一问

27、题的引出一问题的引出冲激响应h(t)与系统函数H(s)从时域和变换域两方面表征了同一系统的特性。从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点分布决定的。在s域分析中，系统的零极点决定着系统的特性。借助系统函数在s平面零、极点的分布情况，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。第101页/共169页二二二二H(s)H(s)零、极点与零、极点与零、极点与零、极点与h(t)h(t)波形特征的对应波形特征的对应波形特征的

28、对应波形特征的对应在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用表示，零点：用表示1系统函数的零、极点第102页/共169页例.1已知系统函数 ，求冲激响应h(t)，画出零点、极点图。H(s)H(s)的零、极点分布如图所示。的零、极点分布如图所示。解：冲激响应为解：冲激响应为 第103页/共169页例.2已知电路的输入阻抗已知电路的输入阻抗Z(s)Z(s)的零、的零、极点如图所示，已知极点如图所示，已知Z(0)=3Z(0)=3，则电路的，则电路的R R=_;=_;L L=_;=_;C C=_=_。解：由零极点图：解：由零极点图：3 3 0.5H0.5H1/171/17F F由由Z(0)=3,Z(

29、0)=3,得得K=17K=17。再由电路有：。再由电路有：比较以上两式的系数得：比较以上两式的系数得：第104页/共169页例.3 已知系统函数的已知系统函数的零、零、极点如图所示，已知极点如图所示，已知h h(0(0+)=1)=1，若激励，若激励f f (t)=u(t)=u(t),(t),求零状态响应求零状态响应 y(t)y(t)。解：由零极点图知系统函数：解：由零极点图知系统函数：又：又：零状态响应为：零状态响应为：可得：可得：K=1K=1故：故：所以：所以：第105页/共169页2 2 2 2H(s)H(s)H(s)H(s)极点分布与原函数的对应关系极点分布与原函数的对应关系极点分布与原

30、函数的对应关系极点分布与原函数的对应关系零、极点与冲激响应冲激响应与系统函数的关系为(设H(s)具有单极点)冲激响应的性质完全由系统函数的极点决定。pi称为系统的自然频率或固有频率。H(s)的零极点与h(t)的时域波形：第106页/共169页一阶极点一阶极点一阶极点一阶极点当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡第107页/共169页二阶极点二阶极点二阶极点二阶极点 有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 ，表明的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需 将即可。第108页/共169页几种典型情况：系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应模式：第

31、109页/共169页要点：1.系统函数位于s平面左半平面的极点对应的是衰减的冲激响应波形；(系统是稳定的）2.系统函数位于s平面右半平面的极点对应的是增长的冲激响应波形；3.系统函数位于s平面虚轴上的极点对应的是等幅振荡或直流的冲激响应波形（单极点）；重极点时，冲激响应为增幅响应。需强调说明的是：系统函数H(s)的零点分布影响着单位冲激响应的幅值和相位，但不影响冲激响应的模式。第110页/共169页三三三三H(s)H(s)、E(s)E(s)的极点分布与自由响应、强的极点分布与自由响应、强的极点分布与自由响应、强的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应迫响应特性的对应迫响应特性的对应迫响应特性的

32、对应激励：激励：系统函数：系统函数：响应：响应：自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量第111页/共169页几点认识几点认识几点认识几点认识自由响应自由响应的极点只由系统的极点只由系统本身的特性本身的特性所决定，与激励所决定，与激励函数的形式无关，然而系数函数的形式无关，然而系数 都有关。都有关。响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。定义定义系统特征方程的根为系统的系统特征方程的根为系统的固有频率固有频率（或称（或称“自然频率自然频率”、“自由频率自由频率”）。）。H(s)的极点都是系统的固有频率；的极点都是系统的固有频率；H(s)零

33、、极点相消时，某些固有频率将丢失零、极点相消时，某些固有频率将丢失。第112页/共169页系统函数H(s)只能用于研究零状态响应，包含了系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包含零输入响应的全部信息，这是因为当H(s)的零、极点相消时，某些固有频率要丢失。第113页/共169页暂态响应和稳态响应暂态响应和稳态响应暂态响应和稳态响应暂态响应和稳态响应瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着的有关成分，随着t增大，将消失。增大，将消失。稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应

34、左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。第114页/共169页例例4-7-2给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换第115页/共169页零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应则 第116页/共169页稳态响应暂态响应，稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应自由响应强迫响应极点位于极点位于s s左半平面左半平面极点位于虚轴极点位于虚轴暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应H H(s s)的极点的极点E E(s s)的极点的极点自由响应自由响应强迫响应强迫

35、响应第117页/共169页定义定义几种常见的滤波器几种常见的滤波器根据根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线零极图绘制系统的频响特性曲线 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 信号与系统 Signals and Systems第118页/共169页一定义一定义一定义一定义 所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。前提：稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。时域：频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。其收敛域包括虚轴：拉氏变换存在傅里叶变换存在 第119页/共169页H(s)H(s)和频响和频响特性的关系特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响

36、应系统的稳态响应第120页/共169页二几种常见的滤波器二几种常见的滤波器二几种常见的滤波器二几种常见的滤波器第121页/共169页三根据三根据H(s)零极图绘制零极图绘制系统的频响特性曲线系统的频响特性曲线令分子中每一项分母中每一项第122页/共169页画零极画零极点图点图s0第123页/共169页 当 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和幅角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。由矢量图确定由矢量图确定频率响应特性频率响应特性第124页/共169页例例例例4-8-14-8-14-8-14-8-1确定图示系统的频响特性。确定图示系统的频响特性。第125页/共169页频响特性分析频

37、响特性分析频响特性分析频响特性分析第126页/共169页例例例例4-8-24-8-24-8-24-8-2研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性写出网络转移函数表达式解:第127页/共169页频响特性频响特性频响特性频响特性第128页/共169页例例例例4-8-34-8-3其转移函数为相当于低通与高通级联构成的带通系统。解：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器第129页/共169页频响特性频响特性频响特性频响特性第130页/共169页全通网络全通网络最小相移网络最小相移网络级联级联4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 信号与系统 Signals and Systems第131页/共1

38、69页一全通网络一全通网络一全通网络一全通网络 所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。零、极点分布 极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像 第132页/共169页频率特性频率特性频率特性频率特性幅频特性常数相频特性不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即第133页/共169页二最小相移网络二最小相移网络二最小相移网络二最小相移网络 若网络函数在右半平面有一个或多个零点

39、，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。第134页/共169页三级联三级联三级联三级联非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。非最小相移网络最小相移网络全通网络第135页/共169页引言引言定义（定义（BIBO）证明证明由由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性4.9 线性系统的稳定性 信号与系统 Signals and Systems第136页/共169页一引言一引言一引言一引言某连续时间系统的系统函数某连续时间系统的系统函数 当输入为当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为时，系统的零状态响应的象函数为 但t很大时，这个正指数项超过其

40、他项并随着t 的增大而不断增大 第137页/共169页续续续续 实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备等。稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。第138页/共169页二定义（二定义（二定义（二定义（BIBOBIBOBIBOBIBO）一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO

41、）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号e(t)其响应r(t)满足 则称该系统是稳定的。式中稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：第139页/共169页三证明三证明三证明三证明对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：充分性得证充分性得证充分性第140页/共169页必要性得证必要性得证必要性第141页/共169页四由四由四由四由H(s)H(s)H(s)H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性1 1稳定系统稳定系统 若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足系统是稳定的。例如例如系统稳定；系统稳定；系

42、统稳定。系统稳定。第142页/共169页2 2 2 2不稳定系统不稳定系统不稳定系统不稳定系统 如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点系统是不稳定系统。系统是不稳定系统。3 3临界稳定系统临界稳定系统 如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。为非零数值或等幅振荡。第143页/共169页4 4 4 4系统稳定性的判据系统稳定性的判据系统稳定性的判据系统稳定性的判据从频域看要求H(s)的极点：右半平面不能有极点(稳定)虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。第144页/共169页例例例例4-10-14-10-14-10-14-10-1当常数k满足什么条件时，系统

43、是稳定的？加法器输出端的信号输出信号如图所示反馈系统，子系统的系统函数解：第145页/共169页则反馈系统的系统函数为为使极点均在s左半平面，必须第146页/共169页例例4-14-1求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换 拉拉氏氏变变换换有有单单边边和和双双边边拉拉氏氏变变换换,为为了了区区别别起起见见,本本书书 以以 表表示示 单单边边拉拉氏氏变变换换,以以 表表示示 双双边边拉拉氏氏变变换换.若若文文字字中中未未作作说说明明,则则指指单单边边拉拉氏氏变变换换.单单边边拉拉氏氏变变换换只只研研究究 的的时时间间函函数数,因因此此,它它和和傅傅里里叶叶变变换换之之间间有有一一些些差差异异,

44、例例如如在在时时移移定定理理,微微分分定定理理和和初初值值定定理理等等方方面面.本本例例只只讨讨论论时时移移定定理理.请请注注意意本本例例各各函函数数间间的的差差异异和和时移定理的正确应用。时移定理的正确应用。分析：分析：解答：解答：第147页/共169页例例4 4-2-24-24-2（a a）求三角脉冲函数求三角脉冲函数 如图如图4-24-2（a a）所示的象函数所示的象函数 和和傅傅里里叶叶变变换换类类似似，求求拉拉氏氏变变换换的的时时，往往往往要要借借助助基基本本信信号号的的拉拉氏氏变变换换和和拉拉氏氏变变换换的的性性质质，这这比比按按拉拉氏氏变变换换的的定定义义式式积积分分简简单单，为

45、为比比较较起起见见，本本例例用用多种方法求解。多种方法求解。分析：分析：第148页/共169页方法一：方法一：按定义式求解按定义式求解 方法二：方法二：利用线性叠加和时移性质求解利用线性叠加和时移性质求解 方法三：方法三：利用微分性质求解利用微分性质求解 方法四：方法四：利用卷积性质求解利用卷积性质求解 解答：第149页/共169页方法一：方法一：方法一：方法一：按定义式求解按定义式求解第150页/共169页方法二：方法二：方法二：方法二：利用线性叠加和时移性质求解利用线性叠加和时移性质求解 于是于是由于由于第151页/共169页方法三：利用微分性质求解方法三：利用微分性质求解方法三：利用微分

46、性质求解方法三：利用微分性质求解 分析：分析：信号的波形仅由直线组成，信号导数的象信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。时利用微分性质比较简单。将将 微分两次，所得波形如图（微分两次，所得波形如图（b b）所示所示图（图（b b）第152页/共169页显然显然根据微分性质根据微分性质由图（由图（b b）可以看出可以看出于是于是第153页/共169页方法四：利用卷积性质求解方法四：利用卷积性质求解方法四：利用卷积性质求解方法四：利用卷积性质求解 可看作是图可看作是图4-24-

47、2(c(c）所示的矩形脉冲所示的矩形脉冲 自身的自身的卷积卷积所以所以于是，根据卷积性质于是，根据卷积性质而而图图4-24-2（c c）第154页/共169页例例4 4-3-3应用微分性质求图应用微分性质求图4-34-3（a a）中的中的象函数象函数图图4-34-3（a a）的导数的导数的波形。的波形。下面说明应用微分性质应注意的问题，图下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-34-3（b b）是是第155页/共169页（1 1）对于单边拉氏变换）对于单边拉氏变换,故二者的象故二者的象函数相同，即函数相同，即解：说明：第156页/共169页()()，故，故，由于，由于对于对于2 20 02 2

48、2 2=-f ft tf f()()，故，故，由于，由于对于对于0 00 01 11 1=-f ft tf f这是应用微分性质应特别注意的问题。这是应用微分性质应特别注意的问题。因此因此因而因而第157页/共169页由图由图4-34-3（b b）知知第158页/共169页例例4-44-4()()()()；时，系统的输出为时，系统的输出为当输入当输入t tu ue et ty yt tu ut tx xt t-=3 32 22 2某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统不同的激励信号作用于系统为图中所示的矩形脉冲时，

49、求此时系统的输出为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出解答：解答：第159页/共169页则：则：阶跃响应：阶跃响应：解答：解答：第160页/共169页例例4 4-5-5电路如图电路如图4-54-5（a a）所示所示（1 1）求系统的冲激响应。）求系统的冲激响应。（3 3）求系统的起始状态，）求系统的起始状态，使系统的零输使系统的零输（2 2）求系统的起始状态）求系统的起始状态入响应等于冲激响应。入响应等于冲激响应。第161页/共169页（1 1 1 1）求系统的冲激响应。）求系统的冲激响应。）求系统的冲激响应。）求系统的冲激响应。利利用用s s域域模模型型图图4-4-5 5（b b）可可直直

50、写写出出图图4-4-5 5（a a）电电路路的的系系统统函数函数冲激响应冲激响应第162页/共169页（2 2 2 2）求系统的起始状态）求系统的起始状态）求系统的起始状态）求系统的起始状态为为求求得得系系统统的的零零输输入入响响应应，应应写写出出系系统统的的微微分分方方程程或或给给出出带带有有初初值值的的s s域域模模型型。下下面面我我们们用用s s域域模模型型求求解解。图图4-4-5(a)5(a)电路的电路的s s域模型如图域模型如图4-4-5(b)5(b)。由图由图4-4-5(b)5(b)可以写出可以写出第163页/共169页上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入上式中第二项