(精品)信号与系统第四章1.ppt

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1、第第 四四 章章连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换连续时间信号的谱分析和连续时间信号的谱分析和时时-频分析频分析1 4.1引言引言 4.2复指数函数的正交性复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 4.4波形对称性与傅立叶系数波形对称性与傅立叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象吉伯斯现象 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与

2、应用连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用卷积定理及其应用 4.11相关相关 4.12能量谱密度与功率谱密度能量谱密度与功率谱密度 4.13信号的时信号的时-频分析和小波分析简介频分析和小波分析简介2时域分析：时域分析：（1）解微分（差分）方程，求系统响应。解微分（差分）方程，求系统响应。（2）利用卷积积分（卷积和），求系统响应利用卷积积分（卷积和），求系统响应y(t)=h(t)*x(t).把把x(t)表示成表示成 为基本信号，为基本信号，h(t)(hn)为基本响应。为基本响应。4.1引言引言3频谱分析（傅里叶分析）：频谱分析（傅里叶分析）：基本信号：复指数函数。基本信号：复

3、指数函数。基本响应：复指数信号响应。基本响应：复指数信号响应。41.正交函数的定义正交函数的定义集合集合 中各函数间满足中各函数间满足 正交条件：正交条件：则称则称 ,n=0、1、N为正交函数集。为正交函数集。若若k=1，为归一化正交函数。为归一化正交函数。4.2复指数函数的正交性复指数函数的正交性5若若 n(t)是完备的，即再也找不到是完备的，即再也找不到 (t)使使 证明：证明：P107 则则(t1,t2)内任意内任意62.复指数函数是正交函数复指数函数是正交函数-复指数函数集复指数函数集7 1.用复指数函数表示周期信号用复指数函数表示周期信号:复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数

4、 周期函数：周期函数：x(t)=x(t+T)minT=T0 4.3周期信号的表示周期信号的表示连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数k=0 直流分量直流分量,k=1 基波分量基波分量,k=2 二次谐波。二次谐波。82.三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数-正弦正弦-余弦形式余弦形式-极坐标极坐标三角函数形式直观，但不如指数形式运算方便。三角函数形式直观，但不如指数形式运算方便。9复指数形式：复指数形式：3.傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定-综合公式综合公式-分析公式分析公式正余弦：正余弦：10复指数复指数正余弦的转换：正余弦的转换：极坐标：极坐标：11即即Fourier级数中

5、只级数中只含含常数项常数项、余弦项余弦项。4.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数1.偶对称：偶对称：x(t)=x(-t)122.奇对称：奇对称：x(t)=-x(-t)Fourier级数中只含级数中只含正弦项正弦项。13任意函数任意函数x(t)都可分解成偶函数和奇函数都可分解成偶函数和奇函数3.偶半波对称：偶半波对称：只含只含偶次谐波偶次谐波144.奇半波对称奇半波对称(镜像对称镜像对称):只含只含奇次谐波奇次谐波155.双重对称双重对称：（1/4波对称）波对称）对与对与纵轴相隔纵轴相隔T T0 0/4/4的垂线对称。的垂线对称。同时具有奇偶性和半波对称性同时具有奇偶性和半波对称性1

6、6例例4-7 求图求图4-9(a)所示信号所示信号x(t)的傅里叶级数。的傅里叶级数。解：由图解：由图4-9(a)可见，可见，x(t)为奇半波对称，所以其为奇半波对称，所以其傅里叶级数中只含有奇次谐波。傅里叶级数中只含有奇次谐波。从波形图上还看到：从波形图上还看到：x(t)不是偶函数，也不是不是偶函数，也不是奇函数，但可以分解为偶部和奇部两部分。为此奇函数，但可以分解为偶部和奇部两部分。为此作作x(-t)如图如图4-9(b)。将将x(t)和和x(-t)逐点相加除逐点相加除2，得偶部，得偶部Evx(t)如图如图 4-9(c)所示。所示。将将x(t)和和x(-t)逐点相减除逐点相减除2，得奇部，得

7、奇部Odx(t)如图如图 4-9(d)所示。所示。其傅里叶级数分别为其傅里叶级数分别为1718式中基波角频率式中基波角频率 。将这两者相加，即。将这两者相加，即为所求为所求x(t)的傅里叶级数。所以的傅里叶级数。所以19 第四章作业（第四章作业（1）4.1（提示）(h)(k)(n)4.5 思考题思考题4.44.4x(t)x1(t)21x2(t)20一一.频谱频谱4.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱-三角函数形式三角函数形式21 Ak及及Ck 频谱图见图频谱图见图4-10。22 (a)单边频谱单边频谱 (b)双边频谱双边频谱复指数频谱是双边的复指数频谱是双边的(偶函数偶函数)，负频

8、率没有物理意义，属于纯数学运算负频率没有物理意义，属于纯数学运算。图图4-10 x(t)的振幅频谱的振幅频谱23二二.周期信号的复指数频谱周期信号的复指数频谱-抽样函数抽样函数(偶函偶函数）数）图4-11对周期矩形脉冲对周期矩形脉冲(图图4-2)tx(t)2425 Ck的包络线与的包络线与 sinc(z)相同相同 主峰高度为 ，主峰两侧第一个过零点 为 ，即：主峰宽度为 频谱间隔 0 2/T1 间的谱线数目为 当 A，T1不变，T0增加时，主峰高度减少，主峰宽度不变宽度不变；谱线间隔 减少，谱线变密。见图4-12。26图图4-12 重复周期变化对频谱的影响重复周期变化对频谱的影响(a)(c)(

9、b)A=1,T1=0.1 stx(t)T0=0.5sT0=1sT0=2s27小结：小结：（1）周期信号频谱具有）周期信号频谱具有离散性离散性，谐波性谐波性，收敛性收敛性。（2）有效频带宽度：）有效频带宽度：。工程上主要考虑。工程上主要考虑 有效频带内的较低频分量，忽略影响较小的有效频带内的较低频分量，忽略影响较小的 高次谐波。高次谐波。（3）T0增加，增加，减少，频谱越密，减少，频谱越密，Ak及及 Ck 减少。当减少。当 ，单个脉冲可认为，单个脉冲可认为 是周期信号，频谱变成连续的了，但形状不是周期信号，频谱变成连续的了，但形状不 变，形状仅与脉冲形状有关。（参见变，形状仅与脉冲形状有关。（参

10、见P113 例例4-2,图图4-3，），）28三三.周期信号功率在谐波中的分布（功率频谱）周期信号功率在谐波中的分布（功率频谱）x(t)加在加在1电阻上，其平均功率：电阻上，其平均功率：29帕色伐尔定理：帕色伐尔定理：周期信号在时域中的平均功周期信号在时域中的平均功率等于频域中各次谐波平均功率之和。率等于频域中各次谐波平均功率之和。功率频谱：功率频谱：单边功率谱单边功率谱与与关系图关系图双边功率谱双边功率谱能量信号主要集中在低频段能量信号主要集中在低频段（例（例4-8)30 满足狄里赫利条件，则周期函数可用傅里叶级满足狄里赫利条件，则周期函数可用傅里叶级数表示。数表示。傅里叶系数（傅里叶系数（

11、Ck、A ）的收敛速率与）的收敛速率与x(t)连连续求导而未出现间断点的次数续求导而未出现间断点的次数n有关。有关。若若 x(t)及及 连续，则连续，则 ，k增增加，加，减少，当减少，当n 较大时，取较小较大时，取较小k，可忽略，可忽略k次以次以上谐波，截断误差小。上谐波，截断误差小。4.6 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象吉伯斯现象31吉伯斯现象：吉伯斯现象：随着级数项数随着级数项数N增加，部分和的增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但对有限的起伏就向不连续点压缩，但对有限的N值，值，起起伏的峰值大小保持不变。伏的峰值大小保持不变。（参见（参见P125，图，图 4-15）当不

12、连续时间信号通过某一物理系统时，当不连续时间信号通过某一物理系统时，由于系由于系统对高频分量的衰减作用，就会产生吉伯斯现象。统对高频分量的衰减作用，就会产生吉伯斯现象。321.非周期信号傅里叶变换的导出非周期信号傅里叶变换的导出 对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：（1）可在）可在 内把内把x(t)表示成级数，表示成级数，再令再令（2）对）对x(t)进行周期开拓进行周期开拓 （周期为（周期为T0)再令再令4.7非周期信号的表示：非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换33设设为周期为为周期为的周期函数，且的周期函数，且频谱变密形状不变频谱变密形状不变3435 与与

13、 具有相似的包络形状。具有相似的包络形状。(与与x(t)波形相同）波形相同）36非周期信号非周期信号 x(t)的傅里叶变换对：的傅里叶变换对：傅里叶变换傅里叶变换分析公式分析公式傅里叶反变换傅里叶反变换综合公式综合公式372.傅里叶变换的收敛傅里叶变换的收敛 傅里叶变换成立的条件：傅里叶变换成立的条件：狄里赫利条件。狄里赫利条件。与傅里叶级数收敛条件比较，条件与傅里叶级数收敛条件比较，条件1有差别。有差别。能量信号（平均功率为能量信号（平均功率为0，能量有限）都满足上，能量有限）都满足上述条件，存在傅里叶变换。述条件，存在傅里叶变换。*功率信号（周期信号）不满足绝对可积条功率信号（周期信号）不

14、满足绝对可积条 件，在件，在变换中要使用变换中要使用 函数。函数。38例例411 求矩形脉冲信号求矩形脉冲信号GT1(t)的频谱。的频谱。解：矩形脉冲信号解：矩形脉冲信号GT1(t)是一个如图是一个如图4-19(a)所示的门所示的门函数。其定义为函数。其定义为AGT1(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为39图图4-19 门函数及其频谱门函数及其频谱0t 140例例412求单位冲激信号求单位冲激信号f(t)=(t)的频谱。的频谱。解：解：由频谱函数的定义式有由频谱函数的定义式有冲激信号及其频谱冲激信号及其频谱41例例 4-13 求直流信号求直流信号1的频谱函数。的频谱函数。解解:直流信号直流信号1

15、可表示为可表示为42直流信号直流信号f(t)及其频谱及其频谱(a)直流信号直流信号f(t)(b)频谱频谱434.84.9(注：注：(a)中中 argX(）的斜率为的斜率为-t0)第四章作业（第四章作业（2）441.傅里叶系数与傅里叶变换的关系傅里叶系数与傅里叶变换的关系4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的关系0t1T T0 0/2/2-T-T0 0/2 20t1T T0 0/2/2-T-T0 0/2 245462.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号不满足绝对可积条件，一般不存在周期信号不满足绝对可积条件，一般不存在傅立叶变换。但若含有傅立叶变换。但若含有 (

16、)，也具有傅立叶，也具有傅立叶变换。变换。请看以下几个例题。请看以下几个例题。47例例4-14 求频谱函数求频谱函数的傅里叶反变换。的傅里叶反变换。解：由傅里叶反变换解：由傅里叶反变换得得任意周期信号任意周期信号任意周期信号任意周期信号的傅立叶变换的傅立叶变换48例例4-16 已知已知 的傅里叶系数是的傅里叶系数是求其傅里叶变换。求其傅里叶变换。解：由解：由得其傅里叶变换为得其傅里叶变换为即即同理可以求得余弦函数同理可以求得余弦函数 的傅里叶变换对的傅里叶变换对为为49其傅里叶变换如图示：其傅里叶变换如图示：(a)(b)50例4-17已知周期冲激串如图4-22(a)所示,其基波周期为T0，求其

17、傅里叶变换。解：先求傅里叶系数，由解：先求傅里叶系数，由得得(b)(a)51 得其傅里叶变换为得其傅里叶变换为可见，以可见，以T0为周期的周期冲激串信号，其频为周期的周期冲激串信号，其频谱函数谱函数 X()也是一个周期冲激串，该冲激也是一个周期冲激串，该冲激串的频率间隔串的频率间隔=2/T0 ，如图，如图4-22(b)示。示。521.线性：线性：4.9连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换的性质与应用的性质与应用2.共轭对称性：共轭对称性：53若若 x(t)=x(-t),为为实偶函数，实偶函数，则则 也为实偶函数。也为实偶函数。若若 x(t)=-x(-t),为实奇函数为实奇函数，则则 为虚奇函数

18、为虚奇函数。在傅里叶级数中，在傅里叶级数中，Ck 也有类似性质。也有类似性质。任一实函数任一实函数543.时移性时移性 若若x(t)X()，则则 延时作用仅改变延时作用仅改变X()的相位特性的相位特性554.尺度变换性质尺度变换性质若若 ，则，则 上式表明上式表明:x(t)在时域压缩对应在频域展宽。在时域压缩对应在频域展宽。要提高网络传输速率，就要在时域压缩要提高网络传输速率，就要在时域压缩信号，展宽网络频带宽度。信号，展宽网络频带宽度。56-调制性质调制性质5.反转性质反转性质:x(t)反转，反转，|X()|不变（对称）不变（对称）6.频移性：频移性：57例例 4-21 求图 4-25(a)

19、所示的高频脉冲信号的频谱。158解解:从从图图4-25中中可可见见，高高频频脉脉冲冲信信号号g(t)是是门门函函数数x(t)与与cos 0t的乘积，即的乘积，即 G()如图如图4-25(b)所示所示597.对偶性：对偶性：8.函数下的面积函数下的面积例例4-224-22直流量直流量幅值幅值609.时域微分性质：时域微分性质：例例4-264-266110.频域微分性质频域微分性质:6211.时域积分性质时域积分性质 ,X(0)为有限为有限值值，即，即x(t)的面积的面积例例4-274-276312.频域积分性质频域积分性质 若：若：x(0)=0，或，或x(t)为奇函数，则：为奇函数，则：64 第

20、四章作业（第四章作业（3）4.214.224.25(e)(f)(g)(h)651.时域卷积定理时域卷积定理4.10卷积定理及其应用卷积定理及其应用2.频域卷积定理频域卷积定理（调制定理）（调制定理）66例例4-29 已知信号已知信号x(t)的的频谱频谱X()如图如图4-32(a)所示。所示。另有一信号另有一信号 的频谱为的频谱为如图如图4-32(b)所示。试求这两个信号相乘即所示。试求这两个信号相乘即g(t)=x(t)p(t)的频谱。的频谱。解：解：g(t)=x(t)p(t)的频谱可以由频域卷积定理得到，的频谱可以由频域卷积定理得到，即即如图如图4-32(c)所示。图中已假定所示。图中已假定

21、，所以，所以G()中两个非零部分无重叠。中两个非零部分无重叠。67图图4-32 时域相乘等效于频域卷积时域相乘等效于频域卷积(a)(c)(b)68例例4-30 已知已知 g(t)=x(t)p(t)的频谱的频谱G()如图如图4-32(c)和图和图4-33(a)所示，所示，p(t)=cos 0t的频谱的频谱如图如图4-33(b)所示，试求所示，试求r(t)=g(t)p(t)的频谱。的频谱。图图4-33(a)(b)69解：解：r(t)=g(t)p(t)的频谱可以由频域卷积定理得到，的频谱可以由频域卷积定理得到，如图如图4-33（c）所示）所示.70图4-33（c）XH()g(t)p(t)r(t)y(

22、t)图4-34 解调框图714.11相关相关1.相关的定义相关的定义实函数相关：实函数相关：复函数相关：复函数相关：2.自自相关函数与互相关函数相关函数与互相关函数自自相关函数相关函数x1(t)x2(t)72互互相关函数相关函数功率功率(周期周期)信号相关函数定义信号相关函数定义733.3.相关定理相关定理741.能量谱密度能量谱密度非周期信号为能量信号，只有能量频谱，非周期信号为能量信号，只有能量频谱，无功率频谱。无功率频谱。信号能量：信号能量：4.12能量谱密度与功率谱密度能量谱密度与功率谱密度 研究能量研究能量谱谱密度在频域中的分布情况密度在频域中的分布情况,确定信号确定信号的有效带宽。

23、的有效带宽。-信号能量的信号能量的帕色伐尔定理帕色伐尔定理75记能量谱密度为记能量谱密度为E()，单位：单位：J/Hz 信号在整个频率范围内的全部能量信号在整个频率范围内的全部能量 根据根据E()画出的频谱画出的频谱-能量密度谱能量密度谱(简称简称能谱能谱)能量谱密度反映了信号能量在频域中的分布情能量谱密度反映了信号能量在频域中的分布情况，它对充分利用信号能量，确定信号有效频况，它对充分利用信号能量，确定信号有效频率带宽起着重要的作用。率带宽起着重要的作用。76有效脉冲有效脉冲(信号信号)宽度宽度：通常取通常取=90%=90%有效频带宽度有效频带宽度BW：0tAT T0 0/2/2-T-T0

24、0/2/2例例 4-3277信号总能量与自信号总能量与自相关函数的关系相关函数的关系自自相关函数相关函数由帕色伐尔定理由帕色伐尔定理782.功率谱密度功率谱密度 周期信号及持续时间无限、幅度有限的信号为功周期信号及持续时间无限、幅度有限的信号为功率信号，能量为无穷大，平均功率有限。率信号，能量为无穷大，平均功率有限。79功率信号的功率谱密度功率信号的功率谱密度功率信号的功率谱密度与自功率信号的功率谱密度与自相关函数的关系相关函数的关系804.13信号的时信号的时-频分析和小波分频分析和小波分析简介析简介本节内容自学本节内容自学811.周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数；2.非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换；3.频谱与功率谱频谱与功率谱及及能量谱密度与功率谱密度能量谱密度与功率谱密度概念；概念；4.连续时间傅里叶变换的性质与应用；连续时间傅里叶变换的性质与应用；5.时域、频域卷积定理及其应用时域、频域卷积定理及其应用；6.相关相关的概念。的概念。本章重点：本章重点：82第四章作业（4）4.26(b)(c)思考4.3783