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1、概率论与数理统计 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布习题课习题课第第9讲讲 随机变量及其概率分布习题课随机变量及其概率分布习题课u教学目的：通过对随机变量教学目的：通过对随机变量(一维一维,二维为主二维为主)及其概率分及其概率分布的归纳总结布的归纳总结,及典型例题的分析讲解及典型例题的分析讲解,使学生对概率部分使学生对概率部分内容有较深的理解与认识内容有较深的理解与认识.u教学重点：随机变量教学重点：随机变量(离散型离散型,连续型连续型),分布函数分布函数,六个重六个重要的分布要的分布(两点两点,二项二项,Poisson,均匀均匀,指数指数,正态正态),多维随多维随机变量机变量(二维为主
2、二维为主),随机变量的独立性随机变量的独立性,随机变量的分布函随机变量的分布函数数.u教学难点：随机变量函数的分布教学难点：随机变量函数的分布,边际分布边际分布,条件分布条件分布,随随机变量的独立性机变量的独立性.1.一维随机变量及其分布函数一维随机变量及其分布函数.2.离散型随机变量及其概率分布列离散型随机变量及其概率分布列.3.连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数.4.常用的随机变量常用的随机变量.二维随机变量二维随机变量(X,Y)及其分布函数及其分布函数F(x,y).5.二维随机变量的边际分布函数及边际概率密度二维随机变量的边际分布函数及边际概率密度.6.二维随机
3、变量的条件分布函数及条件概率密度二维随机变量的条件分布函数及条件概率密度.(*)7.随机变量的独立性随机变量的独立性.8.随机变量函数的分布随机变量函数的分布.u知识要点回顾：知识要点回顾：1.袋中有袋中有5球球,编号为编号为1,2,3,4,5,从中任取从中任取3个个,2.用用x表示取出的表示取出的3球中编号最大的号码球中编号最大的号码,试求试求x3.的概率分布的概率分布.解答随机变量及其概率分布典型例题随机变量及其概率分布典型例题2.某汽车占从上午某汽车占从上午7时起每时起每15分钟发一般车分钟发一般车,3.即即7:00,7:15,始发始发,如果乘客在如果乘客在7:00-7:304.任一时刻
4、到达车站任一时刻到达车站,试求乘客等候时间不超试求乘客等候时间不超5.过过5分钟的概率分钟的概率.解答3.随机变量随机变量 的概率密度的概率密度4.为为 ,求求(1)系数系数 ;(2)落在落在 内的概率内的概率;(3)的分布函数的分布函数 .解答4.设一只昆虫所产虫卵数设一只昆虫所产虫卵数 服从服从Poisson分分布布 .而每个虫卵发育为幼虫的概率为而每个虫卵发育为幼虫的概率为 ,且每个虫卵是否发育为幼虫始相互独立的且每个虫卵是否发育为幼虫始相互独立的,求一只昆虫所生幼虫数求一只昆虫所生幼虫数 的概率分布的概率分布.解答5.设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为 若若 ,求求 的取值
5、范围的取值范围.解答 6.设二维随机变量设二维随机变量 的联合的联合 密度为密度为 .求求(1)常数常数 ;(2)分布函数分布函数 ;(3)边际分布函数和边际概率密度边际分布函数和边际概率密度;(4)概率概率.解答7.设二维随机变量设二维随机变量 的联合概率分布为的联合概率分布为 .求求(1);(2)的概率分布的概率分布.解答8.设设 的概率分布密度的概率分布密度 ,求求 的概率分布密度的概率分布密度 .解答9.设某班车站上客人数设某班车站上客人数 服从参数为服从参数为 的的Poisson分布分布,每位乘客在中途下车的概率为每位乘客在中途下车的概率为 ,且中途下车与否相互独立且中途下车与否相互
6、独立,以以 表示在中途下车的人数求表示在中途下车的人数求:(1)在发车时有在发车时有 个乘客的条件下个乘客的条件下,中途有中途有 人人 下车的概率下车的概率.(2)二维随机变量二维随机变量 的概率分布的概率分布.解答随机变量及其概率分布典型例题解析随机变量及其概率分布典型例题解析解解:1.袋中有袋中有5球球,编号为编号为1,2,3,4,5,从中任取从中任取3个个,用用X表示取出表示取出的的3球中编号最大的号码球中编号最大的号码,试求试求X的概率分布的概率分布.X 的可能取值为的可能取值为3,4,5.只有取出的只有取出的3球号码分别时球号码分别时1,2,3时时(此时只有一种取法此时只有一种取法)
7、,事件事件X=3才发生才发生,由古典概型由古典概型:类似地类似地制成表格有制成表格有:此即此即X的概率分布的概率分布.返回 若将若将7:00作为计算时间起点作为计算时间起点,则乘客到达时刻则乘客到达时刻 服从均服从均匀分布匀分布:,为使等候时间不超过为使等候时间不超过5分钟分钟,当且仅当且仅当乘客在当乘客在7:10到到7:15之间或之间或7:25到到7:30之间到站之间到站,故所球故所球概率为概率为:解解:2.某汽车站从上午某汽车站从上午7时起每时起每15分钟发一般车分钟发一般车,即即7:00,7:15,始发始发,如果乘客在如果乘客在7:00-7:30任一时刻到达车站任一时刻到达车站,试求乘客
8、等试求乘客等候时间不超过候时间不超过5分钟的概率分钟的概率.返回返回3.随机变量随机变量 的概率密度为的概率密度为 ,4.求求(1)系数系数 ;(2)落在落在 内的概率内的概率;5.(3)的分布函数的分布函数 .解解:得得当当 时时,当当 时时,当当 时时,返回随机变量及其概率分布典型例题解析随机变量及其概率分布典型例题解析4.设一只昆虫所产虫卵数设一只昆虫所产虫卵数 服从服从Poisson分布分布 .而每个虫而每个虫卵发育为幼虫的概率为卵发育为幼虫的概率为 ,且每个虫卵是否发育为幼虫始且每个虫卵是否发育为幼虫始相互独立的相互独立的,求一只昆虫所生幼虫数求一只昆虫所生幼虫数 的概率分布的概率分
9、布.解解:按题意按题意注意到注意到 ,否则否则 时时 ,由此由此得得:由此可见由此可见:.时时返回随机变量及其概率分布典型例题解析随机变量及其概率分布典型例题解析解解:5.设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为 ,若若 ,求求 的取值范围的取值范围.先求出先求出 的分布函数的分布函数,故故,即即,从而从而时时时时时时时时时时6.设二维随机变量设二维随机变量 的联合密度为的联合密度为 .求求(1)常数常数 ;(2)分布函数分布函数 ;(3)边际分布函数和边际概率密度边际分布函数和边际概率密度;(4)概率概率 .解解:时时返回边际边际数数边际概率边际概率数数返回7.设二维随机变量设二维随机
10、变量 的联合概率分布为的联合概率分布为 .求求(1);(2)的概率分布的概率分布.为所求的为所求的 的概率分布的概率分布.解解:由由 的联合概率分布可得的联合概率分布可得:解解:先求先求 的分布函数的分布函数:,当当 时时当当 时时,利用极坐利用极坐标计算标计算当当 时时,从而从而 的分布密度为的分布密度为(注注:该分布称为瑞利该分布称为瑞利(Rayleigh)分布分布)8.设设 的概率分布密度的概率分布密度 ,求求 的概率分布密度的概率分布密度 .返回解解:(1)发车时有发车时有 人人,中途下车人数为中途下车人数为 的条件概率的条件概率,服从二服从二项分布项分布 .9.设某班车站上客人数设某班车站上客人数 服从参数为服从参数为 的的Poisson分布分布,每位每位乘客在中途下车的概率为乘客在中途下车的概率为 ,且中途下车与否相互且中途下车与否相互独立独立,以以 表示在中途下车的人数求表示在中途下车的人数求:(1)在发车时有在发车时有 个乘客的条件下个乘客的条件下,中途有中途有 人下车的概率人下车的概率.(2)二维随机变量二维随机变量 的概率分布的概率分布.返回