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1、余弦定理复习回顾正弦定理：正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边已知两角和任一边.（2）已知两边和一边的对角已知两边和一边的对角.变形：变形：情景设置：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置工程技术人员先在地面上选一适当的位置A A，量出量出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，再利用经纬仪测出的距离，再利用经纬仪测出A A对山脚对山脚BCBC（即线段即线段BCBC）的张角，最后通过计算的张角，最后通过计算求出山脚的长度求出山脚的长度BCBC.已知：AB、AC、角(两条边
2、、一个夹角)研究：在三角形中，c，BC=a，CA=b,AC=AB+BC AC=AB+BC|ACAC|=|AB+BCAB+BC|ACAC|=|AB+BCAB+BC|2 22 2|AC|2 2=AB+2AB BC+BC2222=|AB|+2|AB|BC|cos（180-B）+|BC|0余弦定理：三角形任何一边的平方等于余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍角的余弦的积的两倍.应用：应用：已知两边和一个夹角，求第三边已知两边和一个夹角，求第三边 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A
3、，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC.已测的：千米，A 千米角600求山脚的长度延伸变形：延伸变形：注意注意:余弦定理适用任何三角形余弦定理适用任何三角形.应用：应用：已知三条边求角度已知三条边求角度例例1:1:练习题答案练习题答案:1.7;2.90;3.7.提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形ABC是锐角三角形ABC是直角角三角形例例2 2：小结：余弦定理应用：应用：、已知两条边和一个夹角，求第三条边、已知两条边和一个夹角，求第三条边.、已知三条边，求三个角、已知三条边，求三个角.判断三角形的
4、形状判断三角形的形状.余弦定理2.余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2 2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1 1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.例例5.5.ABCABC中，若已知三边为连续正中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，解此三角形整数，最大角为钝角，解此三角形.C为钝为钝角角 解得解得或或
5、3,3,但但时时不能构成三角形不能构成三角形应应舍去舍去余弦定理3例例1、在长江某渡口处，江水以、在长江某渡口处，江水以km/h的速度的速度向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定要在要在0.1h后到达江北岸码头，设为正北后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距并与码头相距1.2km该渡船应按什么方向该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米小时？（角度精确到航行？速度是多少千米小时？（角度精确到0.1 ，速度精确到，速度精确到0.1km/h）船按方向开出船按方向开出解：如图，取方向为水流方向，以为解：如图
6、，取方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，一边、为对角线作平行四边形，其中其中1.2(km),AC=50.1=0.5(km),在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得所以所以（km)因此，船的航行速度为因此，船的航行速度为1.170.1=11.7(km/h)在在中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得所以所以所以所以 答：渡船按北偏西答：渡船按北偏西 的方向，并以的方向，并以km/h的速度航行的速度航行例例2、如图，是三角形中边上、如图，是三角形中边上的中线，求证：的中线，求证：证：设证：设ABM ，则则AMC 在在ABM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得在在ACM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得因为因为cos(180 ）cos,BM=MC=1/2BC,所以所以因此，因此，思考：证明：a，b是方程是方程的两个根，且的两个根，且求：求：（1）C的度数；的度数；（2）AB的的长长；（3）ABC的面的面积积例例3 3课后思考课后思考 如图，已知圆内接四边形如图，已知圆内接四边形ABCD的边长的边长分别为分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边求四边形形ABCD的面积的面积?