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1、正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题:（1）已知两角和任一边。学科网学科网（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin:CBAcabAbccbacos2222探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， a, b, a, b,求边求边 c.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bacCBA
2、cabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， a, b,a, b,求边求边 c.c.学科网学科网cABbCAaCB,设设bac向量法向量法)()(babaccc2余弦定理余弦定理 已知三边已知三边, ,怎样求三个角呢？怎样求三个角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222c
3、osabcbaC2cos222推论：推论：C CB BA Ab ba ac c余弦定理余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222 利用余弦定利用余弦定理可以解决什理可以解决什么类型的三角么类型的三角形问题？形问题？C CB BA Ab ba ac c 利用余弦定理，可以解决：利用余弦定理，可以解决：（1 1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2 2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角
4、。）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。（3 3）判断三角形的形状。）判断三角形的形状。一、已知三角形的两边及夹角求解三角形一、已知三角形的两边及夹角求解三角形1ABC5,5 3,30 ,bcAaBC例 、在中，已知求边 和角 、 的值Abccbacos2222解：由余弦定理知，5,a2255 32 5 5 3cos3025 C CA AB Ba ab bc c30BAC180120ABC CB BA Ab ba ac c15sin12sinB52bAa得由正弦定理BbAasinsin32ABCsinC,sincos0,52,5,.CCabc例 ：在中，已知且求边长?5?2?C?B?A 解：
5、解：0cos0cossin0sinCCCC且54sin1cos2CC则Cabbaccos2222由余弦定理451629545222542 c53c222222357122 3 52bcaAbc cos,120 .A二、已知三角形的三边解三角形二、已知三角形的三边解三角形27,3,5,sin.abcCABC例 、在中，已知求最大角和A C B .acb,解 ：故最大角为故最大角为120.35sin5 32sin.714cACasinsinacAC由正弦定理得._,10, 13, 13. 1度度数数为为的的最最大大角角的的则则中中，若若在在ABCcbaABC 120）为为（则则中中，已已知知在在A
6、cbcbaABC,.2222 323.32.6.3.或DCBAC C练习练习 由推论我们能判断三角形的形状吗由推论我们能判断三角形的形状吗? ?bcacbA2cos222推论：推论：C CB BA Ab ba ac c提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形0222acbABC是锐角三角形0222acbABC是直角三角形0222acb 判断三角形的形状判断三角形的形状例3、在ABC中， 试确定此三角形的形状aAbBcoscos,当ab时，ABC为等腰三角形；当c2a2b2时，ABC为直角三角形ABC为等腰三角形或直角三角形解法2：由acosAbcosB以及正弦定理得：2
7、RsinAcosA2RsinBcosB，即sin2Asin2B.又A、B(0，)，2A、2B(0,2)，故有2A2B或2A2B，即AB或AB .ABC为等腰三角形或直角三角形|21960ABCDAB CD CDACBADDE例4，如图，梯形中，,求梯形的高?2?19?E?D?C?B?A23360sin530152120cos21201922222ADDEADERtADADADADDCADDCADACADCACDCADC中，高在舍或，中，在 解：解： 三、已知两边及一角解三角形三、已知两边及一角解三角形ABC7,4,7.2bcBCADa例5：在中，已知边上中线长为，求边长?C?B?A?D?x?x
8、?7?2?c=4?b=7 解：解：xaxBDCD2，则设ACBACDACBACDcoscos中，和在xxxx27247272277222222即9,29ax即ABDCACADBCDBABC，求，上一点，是，中，练习：在37545?45?7?5?3?D?C?B?A265sinsin74571435sin1411cos375ABCABBBACABCCCDCACADADC由正弦定理可得，中，在则由余弦定理可得，中，在解法一：265sinsin54556012021cos375ABADBABBBADABDADBADCADCDCACADADC由正弦定理可得，中，在，即则由余弦定理可得，中，在解法二：小结小结: :222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2 2、已知三边求三个角；、已知三边求三个角；3 3、判断三角形的形状、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：余弦定理：推论推论: :