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1、 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？的特征？，今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做做（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角）圆周角圆周角。圆周角圆周角究竟什么样的角是圆周角呢？像图（究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的）中的角就叫做圆周角，而图（角就叫做圆周角，而图（2）、（）、（4）、（）、（5）中的角）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。个角是不是圆周角
2、。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练练练练一练一练一练一练1 1、下列各、下列各图图中，哪一个角是中，哪一个角是圆圆周角？（周角？（）2 2、图图3 3中有几个中有几个圆圆周角？（周角？（）（A A）2 2个，（个，（B B）3 3个，（个，（C C）4 4个，（个，（D D）5 5个。个。3 3、写出、写出图图4 4中的中的圆圆周角：周角：_BCCAB、ACB、CBA探究：有关圆周角的度数探究：有关圆周角的度数探究：有关圆周角的度数探究：有关圆周角的度数 1 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？的圆周角
3、所对的弦是否是直径？的圆周角所对的弦是否是直径？线段线段ABAB是是OO的的直径直径，点，点C C是是OO上任意一点上任意一点（除点（除点A A、B B）,那么，那么，ACB ACB 就是直径就是直径AB AB 所对的圆周角所对的圆周角.想想看，想想看，ACB ACB 会是怎么样的角会是怎么样的角？为什么呢？为什么呢？证明：证明：OAOAOBOBOCOC，AOCAOC、BOC BOC 都是等腰三角形都是等腰三角形则则OACOACOCAOCA，OBCOBCOCBOCB.又又 OACOACOBCOBCACBACB180180，ACBACBOCAOCAOCBOCB9090.即：不管点即：不管点C C
4、在在O O上何处（除点上何处（除点A A、B B），），ACBACB总等于总等于9090，结论：结论：结论：结论：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90909090（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即（直角）。反过来也是成立的，即90909090的圆的圆的圆的圆周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。周角所对的弦是圆的直径。类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等相等
5、的的弧弧所对的所对的圆心角相等圆心角相等.在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等相等的的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？为了解决这个问题为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系角和圆心角之间有的关系.OOOABCABCABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 如图如图,观察圆周角观察圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOC,AOC,它们的大它们的大小有什么关系小有什么关系?n注意：注意：圆心与圆周角的位置关系圆心与圆周角的位置关系.OABCOABCOABC1.1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(
6、O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系.AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OA AB BC CA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC=AOC.ABC=AOC.一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内
7、部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.A AB BC CD DABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.ODABC过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.ABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一
8、半的一半.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?圆周角圆周角定理定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等于这条弧所对的，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半 半圆半圆（或直径）（或直径）所对的所对的圆周角圆周角是是直角直角;9090的圆周角所的圆周角所对的对的弦弦是是直径直径BC1OC2C3例例1 如图，如图，O直径直径AB为
9、为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平分线交的平分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.例例2 2.如如图图，点，点A A、B B、C C在在O O上，点上，点D D在在圆圆外，外，CDCD、BDBD分分别别交交O O于点于点E E、F F，比，比较较BACBAC与与BDCBDC的大小，并的大小，并说说明理由。明理由。解：连接CF BFC是DFC的一个外角 BFC BDC BAC=BFC （同弧所对的圆周角相等）BAC BDC2
10、2、在、在O O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为别为(2x+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x-30)，则，则x=x=_ _ _；1.1.如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D 为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_；20202525 练练练练一练一练一练一练 练练练练一练一练一练一练3 3、如、如图图6 6，已知，已知ACB=20ACB=20，则则AOB=_AOB=_，OAB OAB.40701304、如图、如图7，已知圆心角，已知圆心角AO
11、B=1000，则，则ACB=_。5.AB5.AB、ACAC为为O O的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35，求求BOCBOC的度数。的度数。6 6、如图，在、如图，在O O中，中，BC=2DEBC=2DE，BOC=84BOC=84，求求A A的度数。的度数。解：解：BOC=140BOC=140 解：解：A=21A=21 练练练练一练一练一练一练 7 7、如、如图图8 8，OAOA、OBOB、OCOC都是都是圆圆O O的半径，的半径，AOB=2BOC.AOB=2BOC.求求证证：ACB=2BAC.ACB=2BAC.练练练练
12、一练一练一练一练 我的收获我的收获我的收获我的收获1.1.概念的引入和定理的概念的引入和定理的发现发现：定定义义：顶顶点在点在圆圆上，两上，两边边都和都和圆圆相交的角叫做相交的角叫做圆圆周角。周角。定理：在同定理：在同圆圆或等或等圆圆中，同弧或等弧所中，同弧或等弧所对对的的圆圆周角相等，周角相等，都等于都等于该该弧所弧所对对的的圆圆心角的一半。心角的一半。我的收获我的收获我的收获我的收获我我们们根据根据圆圆周角相周角相对对于于圆圆心的位置把心的位置把圆圆周角分成三周角分成三类类，先解决一先解决一类类特殊特殊问题问题，再把其他两，再把其他两类转类转化成特殊化成特殊问题问题。2、定理的证明思路：、
13、定理的证明思路：作业：vP87-88 4、5、6、128.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证：ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO=AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB=180=90.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，且且CO=AB ABC 为直角三角形为直角三角形.练练练练一练一练一练一练