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1、24.1.4 圆周角圆周角顶点在顶点在圆心圆心的角叫圆心角的角叫圆心角OB A回顾旧知回顾旧知 ABC ABC ABC 如果角的顶点不在如果角的顶点不在圆心上，是什么角？圆心上，是什么角？1、复习提问、复习提问:(2)圆心角，弧，弦，弦心圆心角，弧，弦，弦心 距关系定理是什么？距关系定理是什么？(1)什么是圆心角？什么是圆心角？ACBACB与与 AOB AOB 有何异同点？有何异同点？你知道你知道ACBACB这一类的角名字吗？这一类的角名字吗？顶点在圆上，两边顶点在圆上，两边与圆相交的角与圆相交的角,叫圆叫圆周角。周角。圆周角的概念圆周角的概念 ：BACO判断下列各图形中的是不是圆周角判断下列
2、各图形中的是不是圆周角,并说明理由并说明理由 归纳：归纳：一个角是圆周角的条件：一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；顶点在圆上；两边都和圆相交两边都和圆相交.当球员在当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门处射门时，他所处的位置对球门AC分别分别形成三个张角形成三个张角ABC、ADC、AEC 这三个角有何特点这三个角有何特点?它们的大小有什么关系它们的大小有什么关系?OBACBACBACBACBACBACBACDEDE观观 察察CEBAD知识要点知识要点 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等圆周角相等圆周角定理圆周角定理 甲站在圆心甲站在圆心O 位置，
3、乙站在位置位置，乙站在位置C，他们的视，他们的视角（角（AOB 和和ACB）有什么关系？）有什么关系？如果丙、丁分别站在位置如果丙、丁分别站在位置D和和E，他们的视角，他们的视角（ADB 和和AEB）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视角相同吗？观观 察察这几个角之间有什么关系？这几个角之间有什么关系？你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?OABCOABCOABC 根据这三种情况，根据这三种情况，我们分别探究圆周角与我们分别探究圆周角与圆心角的关系？圆心角的关系？问问题题：同同弧弧所所对对圆圆周周角角的的度度数数与与相相应应的的圆圆心心角角度
4、数有什么关系？度数有什么关系？(1)(1)当圆心在圆周角的一边上时当圆心在圆周角的一边上时,探究一：探究一：证明证明:(圆心在圆周角上圆心在圆周角上)结论：结论：在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半周角等于它所对圆心角的一半.COBA2.2.当圆心在圆周角内部时当圆心在圆周角内部时提示提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,OABCD结结论论:在在同同圆圆或或等等圆圆中中,一一条条弧弧
5、所所对对的的圆圆周角等于它所对圆心角的一半周角等于它所对圆心角的一半.3.3.当圆心在圆周角外部时当圆心在圆周角外部时结结论论:在在同同圆圆或或等等圆圆中中,一一条条弧弧所所对对的的圆圆周角等于它所对圆心角的一半周角等于它所对圆心角的一半.提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.nABD=AOD,CBD=ABD=AOD,CBD=COD,COD,ODABC定理定理在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半角等于它所对圆心角的一半.BACO圆周角定理圆周角
6、定理在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的，同弧或等弧所对的圆周角圆周角都相等，都相等，等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半。的一半。ABCOABCOABCO即即BAC=BOC1.1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？推论：推论：半圆或直径半圆或直径所对的圆周角都相等所对的圆周角都相等,都都等于等于90(90(直角直角).).反过来也是成立的反过来也是成立的,即即9090的圆周角的圆周角所对的所对的弦弦是圆的是圆的直径直径探究二：OABC2.902.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？ABC1OC2C3 圆周角等于圆周角等
7、于这条弧所对的这条弧所对的圆心角的一半圆心角的一半 半圆半圆（或（或直径直径）所对的）所对的圆周角是圆周角是直角直角;90的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦是直径是直径知识要点知识要点圆周角定理圆周角定理圆周角定理的推论圆周角定理的推论ABCO求证：求证：ABC 为直角三角形为直角三角形证明：证明：CO=AB，以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO点点C在在 O上上又又AB为直径，为直径，ACB=180=90已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，且且CO=AB ABC 为直角三角形为直角三角形例题例题提高：提高：求证：如果三角形一边上的中线等于这边求
8、证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。的一半，那么这个三角形是直角三角形。（提示：作出这条边为直径的圆）（提示：作出这条边为直径的圆）OABCBACDEFGO例例 在在O O中中,AB,AB是直径是直径,弦弦CGABCGAB于于D,D,交交BFBF于于E,E,求证求证:BE=EC:BE=ECCBCF=练一练练一练.1.1试找出下图中所有相等的圆周角。试找出下图中所有相等的圆周角。ABCD123456782=71=43=65=8如果如果A=44,则则BOC=_.如果如果BOC=44,则则A=_.如果如果A=35,则则BDC=_.OABCD 问题问题3 3 在半径不
9、等的在半径不等的圆圆中，相等的两个中，相等的两个圆圆周角所周角所对对的弧相等的弧相等吗吗？CABBAC如图，如图，ABC=30，ABC=30，但是，但是CAAC在同在同圆圆或等或等圆圆中，如果两个中，如果两个圆圆周角相等，周角相等，它它们们所所对对的弧一定相等的弧一定相等吗吗？为为什么？什么？ABBACCO结论n在同圆或等圆中，如果两个圆在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧周角相等，那么它们所对的弧一定相等一定相等例例.如图如图O O的直径的直径ABAB为为10cm,10cm,弦弦ACAC为为6cm,6cm,ACBACB的平分线交的平分线交O O于点于点D,D,求求BC,AD,
10、BDBC,AD,BD的长的长.ACBDOABCO例例:已知已知,O,O的弦的弦ABAB长等于圆的半径长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC因此，在点B射门为好。如图，在足球比赛中，甲、乙两名队 员互相配合向对方球门MN进攻，当 甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？(在射门时球员相对与球门的张角越大射门的成功率就越大。)解：过M、N、B作圆，则点A在圆外因为AMCN 而MCN O=BAB连接M、C练习练习:1,:1,如图如图 ABAB是是O O的直径的直径,C,D,C,D是圆上的是圆上的两点
11、两点,若若ABD=40,ABD=40,则则BCD=BCD=.ABOCD405002.2.如图如图OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半径，的半径，AOB=2BOCAOB=2BOC求证：求证：ABC=BACABC=BACCBOA3,3,如如图图所所示示，ABAB，ACAC是是O O的的弦弦，ADBCADBC于于D D，交交O O于于F F，AEAE与与O O的的直直径径，试试问问两两弦弦BEBE与与CFCF的大小有何关系，说明理由的大小有何关系，说明理由 4,4,已知：已知：ABCABC的三个顶点在的三个顶点在O O上上,BAC=50BAC=50,ABC=47,ABC=47,求求AOBA
12、OB解：有题意知：解：有题意知：A A、B B、C C是圆周角，是圆周角，AOBAOB是圆心角是圆心角又又BAC=50BAC=50，ABC=47ABC=47ACB=180ACB=180-(A(AB)B)=180 =180-(50-(504747)=83 =83 AOB2ACB283166.BACO6,6,如如图图，已已知知圆圆心心角角AOB=100,AOB=100,求求圆圆周周角角ACBACB、ADBADB的度数？的度数？7,7,一一条条弦弦分分圆圆为为1 1：4 4两两部部分分，求求这这弦弦所所对对的的圆周角的度数？圆周角的度数？DAOCBCDABE补充例题补充例题:平分已知弧平分已知弧AB
13、AB已知：弧已知：弧ABAB作法：作法：连结连结ABAB.作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线 CDCD，交弧，交弧ABAB于点于点E.E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧ABAB的中点的中点4、在圆中，一条弧所对的圆心角和、在圆中，一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为（圆周角分别为（2x+100）和和(5x30)，求这条弧所对，求这条弧所对的的圆圆心角和圆周角的度数。心角和圆周角的度数。学生练习学生练习已知：如图已知：如图,AB是是 O直径，直径，与与CD相交于点相交于点E,已知已知AE=1cm,BE=5cm,DEB=600,求弦求弦CD的长的长.OC CDA AB BE1.1.如图，如图，A A是圆是圆O O的圆周角，的圆周角，A=40A=40，求，求OBCOBC的度数。的度数。巩固练习巩固练习