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1、2.1数列的概念与数列的概念与简单表示法简单表示法(一一)64个格子个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒 依次类推引例引例456781567812334264个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的 2倍 且共有且共有64 格子格子?18446744073709551615 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常传说古希腊毕达哥拉斯学派的
2、数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字或用小石子来表示数字.引例引例上图中各三角形表示的数排列有规律吗？上图中各三角形表示的数排列有规律吗？由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数.下图中各正方形分别表示哪些数？这些数下图中各正方形分别表示哪些数？这些数 与相应正方形的序号有什么关系？与相应正方形的序号有什么关系？因为这些数能够表示成正方形，故称为正方形数.引例引例 生活离不开数字，在特定背景下研究生活离不开数字，在特定背景下研究数字的排列或变化规律，也就成为一个数字的排列或变化规律，也就成为一个数学问题，我们将对此作
3、些了解和学习数学问题，我们将对此作些了解和学习.v上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：v1，2，3，4的倒数排列成的一列数：的倒数排列成的一列数：v高一（高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：v-1的的1次幂，次幂，2次幂，次幂，3次幂，次幂，排列成一列数：排列成一列数：v无穷多个无穷多个1排列成的一列数：排列成的一列数：三角形数：三角形数：1，3，6，10，正方形数：正方形数：1，4，9，16，共同特点共同特点共同特点：共同特点：1.都是一列数；都是一列数；2.都有一定的顺序都有一定
4、的顺序1，3，6，10，1，4，9，16，按照一定顺序排列着的一列数称为按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列1.数列的概念数列的概念:数列及其有关概念数列及其有关概念:辨析数列的概念辨析数列的概念:(1)“1,2,3,4,5”与与“5,4,3,2,1”是同是同一一个数列吗？与个数列吗？与“1,3,2,4,5”呢？呢？数列及其有关概念数列及其有关概念:数列的有序性数列的有序性(2)数列中的数可以重复吗？数列中的数可以重复吗？(3)数列与集合有什么区别？数列与集合有什么区别？集合集合讲究：讲究：无序性、互异性、确定性，无序性、互异性、确定性，数列数列讲究：讲究：有序性、可重复性、确定性有序性、可
5、重复性、确定性.数列中的每一个数叫数列中的每一个数叫做这个数列的做这个数列的项项。各项依次叫做这个数列各项依次叫做这个数列的的第第1项项，第第2项项，第第n项项，数列的分类数列的分类(1)按按项数项数分：分：项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列(2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，摆动数列摆动数列，常数列。常数列。有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列无穷数列无穷数列数列及其有关概念数列及其有关概念:递增数列：递增数列：从第从第2 2项起，每一项都大于它的项起，
6、每一项都大于它的 前一项的数列；前一项的数列；递减数列：递减数列：从第从第2 2项起，每一项都小于它的项起，每一项都小于它的 前一项的数列；前一项的数列；摆动数列：摆动数列：从第从第2 2项起，有些项大于它的前一项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列；项，有些项小于它的前一项的数列；常数列：常数列：各项都相等的数列各项都相等的数列.数列及其有关概念数列及其有关概念:数列中的每一个数叫数列中的每一个数叫做这个数列的做这个数列的项项。各项依次叫做这个数列各项依次叫做这个数列的的第第1项项，第第2项项，第第n项项，数列的分类数列的分类(1)按按项数项数分：分：项数有限的数列叫项数有
7、限的数列叫有穷数列有穷数列项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列(2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，摆动数列摆动数列，常数列。常数列。有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递增数列递增数列递减数列递减数列摆动数列摆动数列常数列常数列练习：练习：P28 观察观察数列及其有关概念数列及其有关概念:数列的一般形式数列的一般形式可以可以 写成：写成：简记为简记为 其中其中是数是数第第1项项 第第2项项 第第3项项第第n项项 的第的第n项项与项数之间的关系可以用一与项数之间的关系可以用一
8、个公式来表示，个公式来表示，列的第列的第n项。项。那么这个那么这个公式就叫做这个数列的公式就叫做这个数列的通项公式通项公式。如果数列如果数列或或数列及其有关概念数列及其有关概念:数列的项数数列的项数n n与项与项a an n之间的关系如果可以之间的关系如果可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的列的通项公式通项公式。5 数列的通项公式数列的通项公式;反思:1)所有数列都能写出其通项公式?2)一个数列的通项公式是唯一?3)数列与函数有关系吗?如果有关是什么关系?思考题：思考题：数列数列1，0，1，0，的通项公式的通项公式是是?注意：通项公式不唯注意：通
9、项公式不唯一！一！其中右下标其中右下标n表示项的位置序号，表示项的位置序号，上面的数列又上面的数列又可简记为可简记为数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：注意：注意：表示一个数列表示一个数列.项，项，表示第表示第nnana 如何用数学式子表示递增数列、递减数列如何用数学式子表示递增数列、递减数列 和常数列？和常数列？递增数列：递增数列：递减数列：递减数列：常数列：常数列：根据数列的前若干项写根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明。一吗？请举例说明。例例1 1：写出下面数列的一个通项公式，使写出下面数列的一个通项公式，使它的前它的前4 4项分别是下
10、列各数：项分别是下列各数：注意：注意：一些数列的通项公式不是唯一的一些数列的通项公式不是唯一的不是每一个数列都能写出它的通项公式不是每一个数列都能写出它的通项公式例例2：设某一数列的通项公式为：设某一数列的通项公式为请根据通项公式，写出前请根据通项公式，写出前4项。项。高一（高一（5）班考试名次由小到大排成的一列数）班考试名次由小到大排成的一列数例例3每个序号也都对应着一每个序号也都对应着一个数（项）个数（项）序号序号项项 从函数的观点看，从函数的观点看，是是 的函数。的函数。y=f（x）ann函数值函数值自变量自变量 从映射的观点看，从映射的观点看，数列可以看作是：数列可以看作是：到到 的映
11、射的映射数列项数列项序号序号数列项数列项序号序号 （正整数（正整数或它的有限或它的有限子集）子集）项项数列的实质数列的实质序号序号项项即，数列可以看作是一即，数列可以看作是一个定义域为正整数集个定义域为正整数集（或它的有限子集或它的有限子集1，2，n）的函数，的函数，当自变量从小到大依当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函次取值时对应的一列函数值数值。序号序号通项通项公式公式数列及其有关概念数列及其有关概念:对于数列中的每个序号对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个都有唯一的一个数（项）数（项）an与之对应与之对应.项数项数n 1 2 3 4 64 项项an 1 2 22 23 263 （自
12、变量）（自变量）（函数值）函数值）数列与函数数列与函数数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数可以认为：可以认为：练习练习1：写出数列的一个通项公式，使写出数列的一个通项公式，使它的前它的前4项分别是下列各数：项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项解：此数列的前四项1，3，5，7都都是序号的是序号的2倍减去倍减去1，所以通项公式，所以通项公式是：是：（2）解：解：此数列的前四项的分母都此数列的前四项的分母都是序号加是序号加1，分子都是分母的平方减，分子都是分母的平方减去去1，所以通项公式是：，所以通项公式是：（3）解：解：此数列的前此数列的前4项的绝对值都等项的绝对值都等于
13、序号与序号加上于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：项为负，偶数项为正，所以通项公式是：解：解：此数列的前四项的分子都此数列的前四项的分子都是序号的是序号的2倍，分母都是序号的倍，分母都是序号的2倍的倍的平方减去平方减去1，所以通项公式是：，所以通项公式是：练习练习2：写出下列数列的通项公式：写出下列数列的通项公式：（1）1，1，1，1；（2）9，99，999，9999；（3）0.9，0.99，0.999，0.9999。练习练习3：P31 1、4题题练习练习4:根据下面数列的前几项的值，写出数列根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：的一个通项公式：本节课学习的主要内容有：本节课学习的主要内容有：1、数列的有关概念、数列的有关概念2、数列的通项公式；、数列的通项公式；3、数列的实质；、数列的实质；4、本节课的能力要求是：、本节课的能力要求是：(1)会由通项公式会由通项公式 求数列的任一项；求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。求数列的通项公式。