概率论总复习.ppt

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1、 概率运算概率运算u 从自然数从自然数 1，2，.N 中任取三个数，求以下事件的概率：中任取三个数，求以下事件的概率：（1）第一次取的数恰好小于）第一次取的数恰好小于 K 而后两次取的数均大于而后两次取的数均大于 K。（2）其中有一个数恰好小于）其中有一个数恰好小于 K 而另两次取的数均大于而另两次取的数均大于 K。（这里（这里 1 K N）解：（解：（1）所求的概率为）所求的概率为（2）所求的概率为）所求的概率为 概率运算概率运算u 10 人标号人标号 1，2，.10，随机任选五人，观察其号码，随机任选五人，观察其号码，求以下事件的概率：求以下事件的概率：（1）最小号码是）最小号码是5。（。

2、（2）最大号码是）最大号码是5。（3）中间号码是）中间号码是5。解：（解：（1）所求的概率为）所求的概率为（2）所求的概率为）所求的概率为（3）所求的概率为）所求的概率为u 把把 6 个小球随机投入个小球随机投入 6 个盒子内，设球和盒均可识别，个盒子内，设球和盒均可识别，求前三个盒当中有空盒的概率。求前三个盒当中有空盒的概率。概率运算概率运算解：设解：设 表示：表示：“第第 个盒是空的个盒是空的”，则有：则有：所求概率为所求概率为:概率运算概率运算4 红球红球6 黑球黑球u 试验试验1.从中任取从中任取 5 个。个。试验试验2.从中无放回依次取从中无放回依次取 5 个。个。试验试验3.从中有

3、放回依次取从中有放回依次取 5 个。个。A：恰有三个红球。：恰有三个红球。分别就试验分别就试验 1、2、3 求求 A 的概率。的概率。解：对试验解：对试验1，对试验对试验2，对试验对试验3，其实试验其实试验 1 与与 2 是是同一试验，可证：同一试验，可证：概率运算概率运算u 10 件产品中有件产品中有 2 件次品，件次品，8 件正品，从中无放回任取件正品，从中无放回任取 3 件。件。求以下三个事件的概率：求以下三个事件的概率：A：三件全是正品；：三件全是正品；B：三件中恰有一件正品；：三件中恰有一件正品；C：三件中至少有一件正品；：三件中至少有一件正品；解：解：概率运算概率运算u 对对200

4、 件产品作抽样检查，不合格的条件是被查的件产品作抽样检查，不合格的条件是被查的 10 件中件中 至少有至少有1 件次品。若该批产品的次品率是件次品。若该批产品的次品率是 5%，问产品被接，问产品被接 收的概率。收的概率。故，故，P 产品被接收产品被接收 解：解：该批产品的次品率是该批产品的次品率是 5%，即其中有，即其中有10 件是次品。件是次品。P 产品被接收产品被接收 当抽样方式是有放回抽样，或产品量很大时作无放回抽样，当抽样方式是有放回抽样，或产品量很大时作无放回抽样，才可视为重复独立试验。才可视为重复独立试验。概率运算概率运算u 甲、乙两船都要停靠在同一码头，它们可能在一昼夜的甲、乙两

5、船都要停靠在同一码头，它们可能在一昼夜的 任意时刻到达码头，停靠的时间分别为任意时刻到达码头，停靠的时间分别为 1 小时和小时和 2 小时。小时。求两船相遇的概率。求两船相遇的概率。解：以解：以 表示甲船到达码头的时间，表示甲船到达码头的时间，表示乙船到达码头的时间。表示乙船到达码头的时间。当当（甲先到）（甲先到）或或（乙先到）时，两船可相遇。（乙先到）时，两船可相遇。所示的概率为：所示的概率为：u 设设 分别在以下条件下求分别在以下条件下求（1）A 与与 B 互不相容，互不相容，（2）（3）解：解：（1）A 与与 B 互不相容，即：互不相容，即：所以：所以：（2）（3）概率运算概率运算 概率

6、运算概率运算u 设设 A1，A2 同时发生则同时发生则 A 发生，证明：发生，证明：证明：因为证明：因为所以所以命题得证。命题得证。概率运算概率运算u 掷两颗骰子，设事件掷两颗骰子，设事件=“点数之和为点数之和为5”，则，则u 在一个随机现象中有两个事件在一个随机现象中有两个事件A 和和B，则事件，则事件A-B 指的是指的是 （）（A）A 发生且发生且 A 中的中的 B 不发生。不发生。（B）A 发生且发生且 B 发生。发生。（C）A 不发生且不发生且 B 发生。发生。（D）A 发生或发生或 B 不发生。不发生。A 条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件u 设设求求解：解：由由得得 条件

7、概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件u 设设 ，试证：，试证：证明：证明：证明：证明：u 设设 且且 ，试证试证 条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件u 设某批产品中有设某批产品中有36%是一等品，是一等品，54%是二等品，是二等品，10%是三是三 等品，今从产品中任选一件，发现其非三等品，求它是二等品，今从产品中任选一件，发现其非三等品，求它是二 等品的概率。等品的概率。解：设解：设 表示表示“它是它是 等品等品”则所求为则所求为 条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件u 一批产品中有一批产品中有90%是正品，是正品，10%是次品。由于测试有误差，是次品。由于测试有误差，正

8、品中有正品中有98%被测出是正品，而有被测出是正品，而有2%被误测成次品，同样，被误测成次品，同样，次品中有次品中有95%被测出是次品，而有被测出是次品，而有5%被误测成正品。问检被误测成正品。问检 验出是正品的产品确是正品的概率是多少？验出是正品的产品确是正品的概率是多少？解：设解：设 A 表示表示“该产品是正品该产品是正品”，B 表示表示“该产品被测出是正品该产品被测出是正品”。则则所求的概率为：所求的概率为：条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件u 自一工厂的产品中进行重复抽样检查，共取自一工厂的产品中进行重复抽样检查，共取200件样品，件样品，检查结果发现其中有四件废品，问我们能

9、否相信此工厂检查结果发现其中有四件废品，问我们能否相信此工厂 所说的废品率不超过所说的废品率不超过0.5%？解：假设工厂的废品率为解：假设工厂的废品率为0.5%，则从则从200件产品中发现件产品中发现4 件废品的概率是：件废品的概率是：根据人们在长期实践中总结出来的一条原理：概率很小的根据人们在长期实践中总结出来的一条原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的（概率论上称为事件在一次试验中几乎是不可能发生的（概率论上称为小概率小概率的实际不可能性原理的实际不可能性原理）。若工厂的废品率确为）。若工厂的废品率确为0.5%0.5%，则检查，则检查200200件产品出现件产品出现4 4 件废

10、品是一概率很小的事件，现在它竟然在一次试件废品是一概率很小的事件，现在它竟然在一次试验中就出现了，令人怀疑工厂给出的废品率的准确性。验中就出现了，令人怀疑工厂给出的废品率的准确性。条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件u 在四次重复独立试验中，在四次重复独立试验中，A 至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为 0.59，问在一次试验中问在一次试验中 A 出现的概率是多少？出现的概率是多少？条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件解：设一次试验中解：设一次试验中 A 出现的概率出现的概率由题设：由题设：得：得：u 设每设每 100 个男人中有个男人中有 5 个色盲，而每个色盲，而每 1

11、0000 个女人中有个女人中有 25 个色盲。今从人群中任选一人，发现其是色盲，求此人是个色盲。今从人群中任选一人，发现其是色盲，求此人是 女性的概率（假定人群中男女比例相同）。女性的概率（假定人群中男女比例相同）。解：设解：设 A 表示表示“此人是女性此人是女性”，B 表示表示“此人是色盲此人是色盲”。则则由贝叶斯公式，由贝叶斯公式，条件概率、相互独立事件条件概率、相互独立事件 一维随机变量一维随机变量求求u 设设解：解：一维随机变量一维随机变量求求u 设设解：解：即即u 某车间有某车间有5 台机床独立工作，每台机床的出故障率是台机床独立工作，每台机床的出故障率是 0.2，若能保证任何时刻至

12、少有三台机床工作，则该车间的任务若能保证任何时刻至少有三台机床工作，则该车间的任务 可以完成，求该车间能完成任务的概率。可以完成，求该车间能完成任务的概率。一维随机变量一维随机变量解：设解：设 X 表示同一时刻正常工作的机床数，则表示同一时刻正常工作的机床数，则该车间能完成任务的概率该车间能完成任务的概率 一维随机变量一维随机变量u 设设为为 D 的可选区间，则的可选区间，则 D 取取 时，下列函数时，下列函数可以是一随机变量的密度函数。可以是一随机变量的密度函数。在在 上有上有 一维随机变量一维随机变量u 设设 是随机变量是随机变量 的分布密度，求的分布密度，求 及及五次独立试验中事件五次独

13、立试验中事件恰好出现两次的概率。恰好出现两次的概率。解：解：五次独立试验中事件五次独立试验中事件恰好出现两次的概率恰好出现两次的概率 一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为：的分布函数为：求求 A、B；它的分布密度及；它的分布密度及解：解：解：解：.其它其它 一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为：的分布函数为：求求 A、B；它的分布密度及；它的分布密度及解：解：.一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为：的分布函数为：求求 A、B；它的分布密度及；它的分布密度及 一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量

14、 X 的分布密度是：的分布密度是：求求 的分布密度。的分布密度。解：（解：（1）于是于是当当 时，时，当当 时，时，别处别处综上所述，综上所述，.一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：求求 的分布密度。的分布密度。解：（解：（2）于是于是当当 时，时，当当 时，时，别处别处综上所述，综上所述，.一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：求求 的分布密度。的分布密度。解：（解：（3）当当 时，时，当当 时，时，综上所述，综上所述，.一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：

15、求求 的分布密度。的分布密度。解：当解：当 时，时，当当 时，时，一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：求求 的分布密度。的分布密度。解：解：.当当 时，时，且且 一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：求求 的分布密度。的分布密度。解：解：.当当 时，时，综上所述，综上所述，.一维随机变量一维随机变量u 设设X 的分布列为的分布列为 则概率则概率u 设设 X 服从服从 的泊松分布，则的泊松分布，则 约为约为 （）。）。一维随机变量一维随机变量u 在下列情况下求方程在下列情况下求方程 有实根的概率。有实根的概

16、率。（1）随机变量）随机变量 X 服从区间服从区间 1，6 上的均匀分布。上的均匀分布。（2）随机变量）随机变量 X 服从服从 1，2，3，4，5，6 上的均匀分布。上的均匀分布。解：方程解：方程 有实根的概率有实根的概率记作记作 一维随机变量一维随机变量u 设设XN(1,4),则则 u 设某厂生产电阻器的阻值设某厂生产电阻器的阻值阻值单位为阻值单位为 ，已知该厂电阻器阻值的规范界限为已知该厂电阻器阻值的规范界限为，则超过上限的概率可表为：，则超过上限的概率可表为：B.;一维随机变量一维随机变量u 设某质量特性设某质量特性 USL与与LSL为它的上、为它的上、下规范限，不合格率下规范限，不合格

17、率 ，其中（，其中（）。）。u 一铸件上的缺陷数一铸件上的缺陷数X服从泊松分布，每铸件上的平均缺陷数服从泊松分布，每铸件上的平均缺陷数 是是0.5,则：（则：（1）一铸件上无缺陷的概率为（）一铸件上无缺陷的概率为（）（A）0.706 （B）0.607 （C）0.760 （D）0.670 （2）一铸件上仅有一个缺陷的概率为（）一铸件上仅有一个缺陷的概率为（）（A）0.535 （B）0.303 （C）0.380 （D）0.335 （3）一铸件上有多于一个缺陷的概率为（）一铸件上有多于一个缺陷的概率为（）（A）0.090 （B）0.085 （C）0.095 （D）0.080 BBA 一维随机变量一维

18、随机变量u 已知公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在已知公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在 1%以下来设计的。假设某城市的男子身高服从正态分布以下来设计的。假设某城市的男子身高服从正态分布 （单位：（单位：cm），问车门高度应为多少？），问车门高度应为多少？解：记该城市的男子身高为解：记该城市的男子身高为 X，则有，则有设车门高度应为设车门高度应为 H，由题设，有，由题设，有查表得：查表得：一维随机变量一维随机变量u 设随机变量设随机变量 X 的分布密度为的分布密度为求：求：解：解：由由 的非负性，知的非负性，知 一维随机变量一维随机变量u 设一种电子管的寿命设一种电子管

19、的寿命 X（单位：（单位：100 小时）的分布密度为小时）的分布密度为某仪器内装有三只上述电子管，求：某仪器内装有三只上述电子管，求：（1）该仪器工作了）该仪器工作了 15000 小时后至少有一只电子管坏了的概率。小时后至少有一只电子管坏了的概率。（2）X 的分布函数。的分布函数。解：（解：（1）设）设 A 表示电子管在表示电子管在15000 小时内损坏。小时内损坏。则：则：所求概率为所求概率为 一维随机变量一维随机变量u 设一种电子管的寿命设一种电子管的寿命 X（单位：（单位：100 小时）的分布密度为小时）的分布密度为某仪器内装有三只上述电子管，求：某仪器内装有三只上述电子管，求：（1）该

20、仪器工作了）该仪器工作了 15000 小时后至少有一只电子管坏了的概率。小时后至少有一只电子管坏了的概率。（2）X 的分布函数。的分布函数。解：（解：（2）当）当 时，时，当当 时，时，综上所述，综上所述，.一维随机变量一维随机变量u 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为解：解：求：求：u 设随机变量设随机变量X 与与 Y相互独立，且它们的分布律分别如下，相互独立，且它们的分布律分别如下，求求 X，Y 的联合密度分布列。的联合密度分布列。解：因为解：因为 X 与与 Y 相互独立，所以相互独立，所以 X，Y 的联合密度分布列为的联合密度分布列为 二维随机变量二维随机变量

21、u 设随机变量设随机变量X 与与 Y相互独立，且它们的分布密度分别如下，相互独立，且它们的分布密度分别如下，求求 X，Y 的联合密度函数。的联合密度函数。解：因为解：因为 X 与与 Y 相互独立，所以相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为的联合密度函数为其它其它其它其它其它其它 二维随机变量二维随机变量u 设随机变量设随机变量X 与与 Y相互独立，且相互独立，且若若则则 二维随机变量二维随机变量u 设设 与与 是相互独立，且它们的分布律分别如下：是相互独立，且它们的分布律分别如下：求求 的分布律。的分布律。二维随机变量二维随机变量解：解：与与 的联合分布列：的联合分布列：即即 二维随机变量二

22、维随机变量解：解：与与 的联合分布列：的联合分布列：得得 的分布律：的分布律：解：因为解：因为 X 与与 Y 相互独立，所以相互独立，所以 X，Y 的联合密度分布列为的联合密度分布列为 二维随机变量二维随机变量u 设随机变量设随机变量X 与与 Y相互独立，且它们服从同一分布，相互独立，且它们服从同一分布，其中其中X 的分布律是：的分布律是：又设又设求求 的联合分布律。的联合分布律。解：解：.X，Y 的联合密度分布列为的联合密度分布列为 二维随机变量二维随机变量的联合分布律的联合分布律:u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下，的联合分布密度如下，其它地方其它地方 二维随机变量二维

23、随机变量（1）求）求 ，（，（2）求求（3）设）设 求求其中其中 是一常数。是一常数。解：解：u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下，的联合分布密度如下，其它地方其它地方 二维随机变量二维随机变量（1）求）求 ，（，（2）求求（3）设）设 求求其中其中 是一常数。是一常数。解：解：u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下，的联合分布密度如下，其它地方其它地方 二维随机变量二维随机变量（3）设）设 求求其中其中 是一常数。是一常数。解：解：u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下，的联合分布密度如下，其它地方其它地方 二维随机变量二维随机变量其中其中

24、是一常数。是一常数。若要求出若要求出 ，需分以下几段：，需分以下几段：u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下：的联合分布密度如下：问问 X与与Y 是否相互独立？是否相互独立？其它其它 二维随机变量二维随机变量解：当解：当 时，时，u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下：的联合分布密度如下：问问 X与与Y 是否相互独立？是否相互独立？其它其它 二维随机变量二维随机变量解：解：.当当 时，时，u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下：的联合分布密度如下：问问 X与与Y 是否相互独立？是否相互独立？其它其它 二维随机变量二维随机变量解：解：.故当故当 时

25、，时，所以所以 X与与Y 非相互独立。非相互独立。二维随机变量二维随机变量u 设随机变量设随机变量X 与与 Y相互独立，下表列出了（相互独立，下表列出了（X，Y）的联合）的联合 分布律及关于分布律及关于 X，关于，关于 Y 的边缘分布律的部分数据，试的边缘分布律的部分数据，试 将其余数值填入表中空白处。将其余数值填入表中空白处。解：解：u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布函数是：的联合分布函数是：（1）求常数）求常数 A、B、C。（2）求）求 X、Y 的联合概率密度。的联合概率密度。（3）求关于）求关于 X，关于，关于 Y 的边缘分布密度。的边缘分布密度。（4）求）求 X 和和 Y

26、的数学期望。的数学期望。二维随机变量二维随机变量解：（解：（1）u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布函数是：的联合分布函数是：（1）求常数）求常数 A、B、C。（2）求）求 X、Y 的联合概率密度。的联合概率密度。（3）求关于）求关于 X，关于，关于 Y 的边缘分布密度。的边缘分布密度。（4）求）求 X 和和 Y 的数学期望。的数学期望。二维随机变量二维随机变量解：（解：（2）（3）u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布函数是：的联合分布函数是：（1）求常数）求常数 A、B、C。（2）求）求 X、Y 的联合概率密度。的联合概率密度。（3）求关于）求关于 X，关于，关于 Y 的

27、边缘分布密度。的边缘分布密度。（4）求）求 X 和和 Y 的数学期望。的数学期望。二维随机变量二维随机变量解：（解：（4）不存在。不存在。也不存在。也不存在。u 设随机变量设随机变量X 与与 Y的联合分布密度如下：的联合分布密度如下：问问 X与与Y 是否相互独立？是否相互独立？其它其它 二维随机变量二维随机变量解：当解：当 时，时，在其余地方，在其余地方，其它其它即即同理求得：同理求得：其它其它因为因为所以所以 X与与Y 是相互独立的。是相互独立的。u 某保险公司规定，如果一年内某事件某保险公司规定，如果一年内某事件 A 发生，则公司赔发生，则公司赔偿客户一笔款偿客户一笔款 元。该公司估算一年

28、内元。该公司估算一年内 A 发生的概率为发生的概率为 ，那么为使公司收益的期望值等于，那么为使公司收益的期望值等于 的十分之一，该的十分之一，该公司应向客户收取多少保险金？公司应向客户收取多少保险金？数学期望与方差数学期望与方差解：设应收保证金解：设应收保证金 元，则公司收益元，则公司收益 X 的分布律是：的分布律是：要使要使得：得：数学期望与方差数学期望与方差u 设随机变量设随机变量X、Y、Z均服从区间均服从区间 0，4 上的均匀分布，上的均匀分布，求求解：因为随机变量解：因为随机变量X、Y、Z均服从区间均服从区间 0，4 上的均匀分布，上的均匀分布，所以：所以：从而：从而：若加上若加上X、

29、Y、Z相互独立的条件则可求得相互独立的条件则可求得 数学期望与方差数学期望与方差u 甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为 X 与与 Y （单位：秒），已知（单位：秒），已知X与与Y分别有以下分布列（概率函数），分别有以下分布列（概率函数），则有（则有（）。）。u 一次电话的通话时间一次电话的通话时间X是一个随机变量（单位：分），是一个随机变量（单位：分），设设X服从指数分布服从指数分布 ，则一次通话所用的平均，则一次通话所用的平均 时间为（时间为（），标准差为（），标准差为（）。）。44 数学期望与方差数学期望与方差证明证明u 设设 X 为连续型随机变量，且为连续型随机变量，且 及及 均存在，均存在，证：设证：设 X 的分布密度为的分布密度为则则命题得证。命题得证。