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1、1概率论总复习知识总结一、内容提要二、典型例题2随机试验可能结果基本事件Ai不含任何eiAi任何组合事件AS不可能必然完备事件组Ai等概完备事件组贝努利试验独立试验 概型只有两个可能结果n次重复等概概型条件：n次试验中 A发生k次B由其中m个事件组成公式（一）概念之间的关系（一）概念之间的关系概率论总复习知识概率论总复习知识总结总结31、运算关系、运算关系包含包含：A 则 B 相等相等：A=B和和：至少有一个发 生 AUB积积：同时发生 ABA、B不相容A、B 对立 记为差：ABB=SA概率论总复习知识概率论总复习知识总结总结4除与一般代数式运算相同的法则以外，注意1）对偶律对偶律 2）其他其
2、他3）独立性独立性事件的独立性是由概率定义的；n个事件的独立性要求个等式成立。（三）（三）解题方法解题方法1、一般概率、一般概率1）利用两种概型10 古典20 n重贝努利概型2）利用事件间的运算概率论总复习概率论总复习知识总结知识总结5概率论总复习知识总结利用对立事件A、B相互独立分解到完备组中：全概公式利用随机变量及其分布计算。一般情况化为事件的积一般情况是完备组，62）用乘法公式1）在缩减完备组中计算，方法同 1。3）用贝叶斯公式概率论总复习概率论总复习知识总结知识总结7一实数值X(ei),（一）随机变量的定义（一）随机变量的定义对于随机试验E的每一个可能结果ei,的变量，则称实数变量X(
3、ei)为一个随机变量，简记为X。注意：注意：1、X 是定义在随机试验结果的集合 ei 上按试验的不同结果而取不同的值.取值是随机的.2、在一定的试验下，概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结都唯一地对应着因此X的可以依据我们所关心的结果的数值特征选取 X 所代表的具体意义。3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌，并使用分析的工具。81、离散型随机变量随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）定义定义概率分布（分布列分布列）表示法称X 为离散型随机变量离散型随机变量。概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结公式法列表法图示法性质性质9定义定义对于随机变量X，若存在非负函数使对任意实数则
4、称X为连续型随机变量连续型随机变量，的密度的密度.都有p(x)0 x1其图形：(2)归一性归一性(1)非负性非负性密度函数的性质密度函数的性质概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结10概率论总复习知识概率论总复习知识总结总结为X的分布函数.记作设 X是一个随机变量，称定义定义1 1分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：3、右连续性右连续性：对任意实数 x，2、归一归一 性性：若 x1x2,则 F(x1)F(x2);对任意实数x，0 F(x)1，且111）分布函数的值表示了X落在2）离散型：若概率论总复习知识总概率论总复习知识总结结是一个普通的函数，在 处内的概率。由于是X
5、取的诸值的概率之和，故又称 为累积概率函数为累积概率函数.图形特点：图形特点：是一条有跳跃的上升阶梯形曲线。12概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结p(x)0 x在p(x)x0133）把Y的分布用表（离散型）或Y的密度（连续性）1、问题：若之间的事件等价关系。关系和分布函数关系。是随机变量，表述出来。其中已知X 的分布，求的分布。2、基本方法概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结是 x的函数。研究1）由2）由之间的事件的关系再求之间的分布3、具体讨论14则当概率论总复概率论总复习知识总结习知识总结当则1）离散型离散型15其他及有关函数表述出来。求其为等价的事件将用利用求出Y的密度函数。概
6、率论总复概率论总复习知识总结习知识总结设 X是一个取值于区间具有概率密度的连续型随机变量，16性质：性质：（一）二维随机变量（一）二维随机变量（X,Y)的分布函数的分布函数定义定义对于任意实数二元函数称为二维随机变量（X,Y)的分布函数的联合分布函数。或称为X和Y 概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结2.且是变量的不减函数，即17概率论总复习知概率论总复习知识总结识总结的所有可能取值为设则和Y的联合分布列联合分布列。称为二维随机变量的分布列分布列，或随机变量X（非负性）（非负性）（归一性）（归一性）18概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结X Y y1 y2 yj p11 p12 .P1
7、j .p21 p22 .P2j .pi1 pi2 .Pij .x1 x2xi关于Y的边缘分布关于X的边缘分布19概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结设的分布列为:则则关于关于的边缘分布列为关于的边缘分布列为：分别记20概率论总复习概率论总复习知识总结知识总结总有 的联合概率密度。其具有以下性质：定义定义4 4 设二维随机变量的分布函数为，对任意实数为的概率密度，或称为随机变量和对于非负可积的函数（非负性）（非负性）（归一性）（归一性）21为关于X 和Y 的边缘概率密度。定理定理 设是的联合密度函数，则分别是概率论总复习知概率论总复习知识总结识总结22均有概率论总复习知识总结概率论总复习知识
8、总结若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量与是相互独立相互独立的。若记且成立，可见X，Y 相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。判断X，Y 相互独立的办法：23其的概率密度为 的边缘概率密度分别为24概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结（一）数学期望（一）数学期望 E X定义定义X为离散型X为连续型若X为离散型X为连续型X为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为25概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结26概率论总复概率论总复习知识总结习知识总结其中 C 为常数。2.对于任何常数及 b.3.若相互独立，则27 定义定义计算公式概率论总复习知概率论总复习知识总结识总结X为离
9、散型其分布列为X为连续型其密度函数为X为离散型X为连续型28其中 k 为常数。3.对于任何常数及 b.相互独立，则概率论总复概率论总复习知识总结习知识总结29均匀分布泊松分布二项分布0-1分布参数范围方差均值概率分布名称概率论总复习知识总概率论总复习知识总结结指数分布30标准正态分布参数范围方差均值概率分布名称概率论总复习知识总概率论总复习知识总结结正态分布任意31称为标准化的随机变量，有2、正态分布随机变量函数的标准化、正态分布随机变量函数的标准化.表可查。概率概率论总论总复习复习知识知识总结总结32COV(X,Y)=E(XE X)(YE Y)若随机变量 X,Y 为离散型.若随机变量 X,Y
10、 为连续型.概率论总复概率论总复习知识总结习知识总结相关系数相关系数COV(X,Y)E(XY)EXEY一般计算公式33COV(X,Y)E(XY)EXEY可见，可见，存在的必要条件为COV(X,Y)0 .即即定义：定义：若可见，若X与Y 独立，称称X与与Y不相关。不相关。D(X士Y)=D X+DY士2COV(X,Y)D(X士Y)=D X+DY即即341.COV(X,X)E(X-EX)2=DX；3.COV(aX,bY)ab COV(X,Y),a,b是常数；4.COV(X1+X2，Y)COV(X1,Y)+COV(X2,Y).概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结2.COV(X,Y)COV(Y,X)
11、；COV(X,Y)=E(XE X)(YE Y)5.5.352 2）3 3）4 4）1 1）相关系数）相关系数则称则称X与与Y不相关；不相关；四个等价命题：四个等价命题：36或概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结五、大数定理与中心极限定理五、大数定理与中心极限定理设对任意不等式成立，则称此式为切比切比雪雪夫不等式夫不等式切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律独立同分布下的大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律37之和总可以近似服从正态分布.概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结设X1,X2,Xn,相互独立，且服从同一分布，具有相同的期望和方差则此定理表明此定理表明，无论原来服从什么分布，当n 充分
12、大时，即38概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结设随机变量则对任意的，有此定理的常用公式有：统计部分统计部分第六章第六章1.卡方分布、t分布、F分布的定义及性质；2.抽样分布定理：1.点估计量的求解方法 （1）矩法；（2）极大似然法；2.无偏性 3.置信区间 则关于参数 的置信度为0.95的置信区间：或则关于参数 的置信度为0.95的置信区间：统计部分统计部分第七章第七章1.假设检验的思想 （1）原假设与备选假设；（2）的意义；2.假设检验 统计部分统计部分第八章第八章1）U检验法；2）t 检验法；3）卡方检验法概率部分概率部分第一章第一章 典型题目典型题目例 已知则第二章第二章9/161
13、/844例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率 为为80%80%，若甲，若甲出差，则乙出差的概率为出差，则乙出差的概率为20%20%；若甲不出差，则乙出差的概率为；若甲不出差，则乙出差的概率为90%90%。(1)(1)求近期乙出差的概率；求近期乙出差的概率；(2)(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。的概率。44Bayes公式全概率公式解：设A=甲出差，B=乙出差4545 例3：设X的概率密度为 (1)求常数c的值；(2)写出X的概率分布函数；(3)要使 求k的值。解：第二章第二章0.0511/2第二章第二章48
14、48例：解：例：解：49例 设随机变量 的概率密度为（1）确定常数 ；（2）求 ；（3）求 ；（4）求50解：（1）由 得 所以：（2）51（3）（4）在 的区域 ：上作直线 ，并记则例例3 思路思路 解解从而从而例例4解解从而有从而有故得故得从而有从而有:因此因此解解 例例5解解根据矩估计法根据矩估计法,概率论总复习概率论总复习知识总结知识总结解解概率论概率论总复习总复习知识总知识总结结解解概率论总概率论总复习知识复习知识总结总结这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.解解例例2概率论总复习知识总结概率论总复习知识总结解解是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为7070需检验假设需检验假设:例例4 4设某次考试的考生成绩服从正态分布设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中从中随机地抽取随机地抽取36位考生的成绩位考生的成绩,算得平均成绩为算得平均成绩为66.5分分,标准差为标准差为15分分,问在显著性水平问在显著性水平0.05下下,分分?并给出检验过程并给出检验过程.查表查表8.68.6例例5 5的的 检验计算表检验计算表，知拒绝域为知拒绝域为