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1、第四章第四章 小结小结 一、一、简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程1.1.回复力回复力2.简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程（动力学方程）（动力学方程）3.3.简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程（振动方程）（振动方程）掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤1二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量1.振幅：振幅：2.2.周期周期（T T）：）：（A）频率频率（)、圆频率圆频率（）弹弹簧簧振振子子求振幅有求振幅有三种方法三种方法（1）已知初始位速）已知初始位速（3）已知总机械能）已知总机械能（2）已知任意位速）已知任意位速2求求圆圆频频率率的的方方
2、法法(1)(1)建立振动系统的微分方程建立振动系统的微分方程（2 2）利用公式求）利用公式求（3 3）利用速度和加速度幅值求）利用速度和加速度幅值求3.3.位相和初相位相和初相 已知状态求位相已知状态求位相（表示物体运动状态的物理量）（表示物体运动状态的物理量）已知位相求状态已知位相求状态 已知位相差求时间差已知位相差求时间差(1)(1)位相位相（2 2）求初）求初相方法相方法 解析法解析法（利用初始条件）（利用初始条件）旋转矢量法旋转矢量法3动动 能能三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量能能 势势机械能机械能结论结论（2 2）动能和势能变化的周期相同）动能和势能变化的周期相同（为振动周期的一
3、半）（为振动周期的一半）（1 1）动能和势能的幅值相等，等于）动能和势能的幅值相等，等于 （3）动能和势能变化的步调相反）动能和势能变化的步调相反=常量常量4四、同方向、同频率简谐振动的合成四、同方向、同频率简谐振动的合成(1)解解 析析 法法 1.合振动是简谐振动合振动是简谐振动(a)合振动的频率与分振动的频率相同合振动的频率与分振动的频率相同(b)(b)合振动的振幅合振动的振幅(c)(c)合振动的初相合振动的初相(2)(2)旋转矢量法旋转矢量法2.合振动加强、减弱的条件合振动加强、减弱的条件合振动加强，并与分振动同相合振动加强，并与分振动同相(1)(1)合振动减弱，初相与大振幅者相同合振动
4、减弱，初相与大振幅者相同当当 A1=A2(2)(2)A=05单元检测题单元检测题-选择题选择题 1、一一长长为为l的的均均匀匀细细棒棒悬悬于于通通过过其其一一端端的的光光滑滑水水平平固固定定轴轴上上，（如如图图所所示示），作作成成一一复复摆摆 已已 知知 细细 棒棒 绕绕 通通 过过 其其 一一 端端 的的 轴轴 的的 转转 动动 惯惯 量量 ，此摆作微小振动的周期为，此摆作微小振动的周期为 (A)(B)(C)(D)解：小角转动时解：小角转动时转动定律转动定律C6 2、把把单单摆摆摆摆球球从从平平衡衡位位置置向向位位移移正正方方向向拉拉开开，使使摆摆线线与与竖竖直直方方向向成成一一微微小小角角
5、度度q q0 0，然然后后由由静静止止放放手手任任其其振振动动，从从放放手手时时开开始始计时若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为计时若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A)p p (B)p p/2 (C)0 (D)q q解：由题意知解：由题意知C7 3、两两个个质质点点各各自自作作简简谐谐振振动动，它它们们的的振振幅幅相相同同、周周期期相相同同第第一一个个质质点点的的振振动动方方程程为为x1=Acos(w wt+a a)当当第第一一个个质质点点从从相相对对于于其其平平衡衡位位置置的的正正位位移移处处回回到到平平衡衡位位置置时时，第第二二个个质质点点正正在在最最大正位
6、移处则第二个质点的振动方程为大正位移处则第二个质点的振动方程为(A)(B)(C)(D)解：由图看出，振动解：由图看出，振动2比振动比振动1位相落后位相落后90度度B8设分割后的一根弹簧的倔强系数为设分割后的一根弹簧的倔强系数为 ，由弹簧串联公式：，由弹簧串联公式：4、一质量为、一质量为m 的物体挂在倔强系数为的物体挂在倔强系数为 k 的轻弹簧下面，振动圆的轻弹簧下面，振动圆 频率为频率为，若把此弹簧分割成二等分，将物体若把此弹簧分割成二等分，将物体m 挂在分割后挂在分割后 的一根弹簧上，则振动圆频率为：的一根弹簧上，则振动圆频率为：解：解：B95、质量为、质量为m 的物体，由倔强系数为的物体，
7、由倔强系数为k1 和和k2 的两个轻弹簧连接到的两个轻弹簧连接到 固定端，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为：固定端，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为：经受力分析可得弹簧串联公式：经受力分析可得弹簧串联公式：解：解：D106、一质点作谐振动，其运动速度与时间、一质点作谐振动，其运动速度与时间 的曲线如图所示，若质点的振动规律的曲线如图所示，若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初位相为：用余弦函数描述，则其初位相为：解：解：C117、一质点作谐振动，周期为、一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向当它由平衡位置向 x 轴正方向轴正方向 运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的
8、时运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：间为：如图：如图：解：解：D12 8、一一简简谐谐振振动动曲曲线线如如图图所所示示则则振振动动周期是周期是 (A)2.62 s (B)2.40 s (C)2.20 s (D)2.00 s解：如图解：如图B13解：解：9、弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期、弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期 内所作的功为：内所作的功为：D14解：解：10、一一弹弹簧簧振振子子作作简简谐谐振振动动，当当其其偏偏离离平平衡衡位位置置的的位位移移的的大大小小为振幅的为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的时，其动能为振动总能量的
9、 (A)7/16.(B)9/16.(C)11/16.(D)13/16.(E)15/16.E15 11、用用40的的力力拉拉一一轻轻弹弹簧簧，可可使使其其伸伸长长20 cm此此弹弹簧簧下下应应挂挂_kg的的物物体体，才才能能使使弹弹簧簧振振子子作作简简谐谐振振动动的的周周期期T=0.2p p s单元检测题单元检测题-填空题填空题解：解：1612、一质点作谐振动，速度最大值、一质点作谐振动，速度最大值 ，振幅，振幅 A=2cm，若令速度具有正最大值的那一时刻为若令速度具有正最大值的那一时刻为 t=0，则振动表达式为则振动表达式为 x=x(SI)?解：解：1713、一一竖竖直直悬悬挂挂的的弹弹簧簧振
10、振子子，自自然然平平衡衡时时弹弹簧簧的的伸伸长长量量为为x0，此此振子自由振动的周期振子自由振动的周期T=_解：解：18 14、一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振、一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为动方程为 _解：解：由由矢量图知矢量图知1915、一一作作简简谐谐振振动动的的振振动动系系统统，振振子子质质量量为为2kg，系系统统振振动动频频率率为为1000 Hz，振幅为振幅为0.5 cm，则其振动能量为则其振动能量为_解：解：2016、如图所示的是两个简谐振动、如图所示的是两个简谐振动的振动曲线，它们合成的余弦振的振动曲线，它们合成的余弦振动的初相为动的
11、初相为_解：解：由由图知二者同振动方向、图知二者同振动方向、同频率，且位相相反。同频率，且位相相反。合合振动位相与振幅大者相振动位相与振幅大者相同，由矢量图可知初相为同，由矢量图可知初相为21 17、两个同方向同频率的简谐振动、两个同方向同频率的简谐振动 ,(SI)它们的合振幅是它们的合振幅是_ 解：解：由图中由图中矩形知矩形知221、质量为质量为10*10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求：的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均
12、动能和平均势最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)t2=5s与与t1=1s两个时刻的位两个时刻的位相差。相差。解：解：(1)由振动方程知由振动方程知 23(2)当当EK=EP时，有时，有E=2EP (3)t2=5s与与t1=1s两个时刻的位相差两个时刻的位相差242、如图所示，物体的质量为、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为的夹角为，弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为I，半径为半径为R先把物体托住，使弹簧维持原长，然先把物体托住，使弹簧
13、维持原长，然 后由静止释放，试证明物后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期体作简谐振动，并求振动周期解：解：受力如图所示，以重物的静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下受力如图所示，以重物的静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有时，有25联立以上各式，得联立以上各式，得 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 263、一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时点时作为计时起点作为计时起点(t=0)，经过经过2秒后质点第一次经过秒
14、后质点第一次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A、B两点具有相同的两点具有相同的速率速率，且，且 AB=10 cm求：求：(1)质点的振动方程；质点的振动方程；(2)质点在质点在A点处的速率点处的速率 解：解：由题意可知，由题意可知，T=8S w w=2p=2p/T/T=(p/4)=(p/4)s-1 设振动方程为：设振动方程为：当当t=0 时，时，当当t=2 时，时，联立二式得联立二式得？ABA、B两点具有相同的速率两点具有相同的速率A、B两点中心为平衡位置两点中心为平衡位置o o1s1s1s1s2s2s27振动方程为：振动方
15、程为：(2)速度方程为：速度方程为：ABo o1s1s1s1s2s2s284、一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为周期为T，其振其振动方程用余弦函数表示如果动方程用余弦函数表示如果t=0时质点的状态分别是：时质点的状态分别是：(1)x0=-A；(2)过平衡位置向正向运动；过平衡位置向正向运动；(3)过过x=A/2处向负向运动；处向负向运动；(4)过过 x=-A/处向正向运动试求出相应的初位相，并写出振动方程处向正向运动试求出相应的初位相，并写出振动方程解：解：A/2295、有一轻弹簧，当下端挂一个质量、有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1=10 g的物
16、体而平衡时，的物体而平衡时，伸长量为伸长量为 4.9 cm用这个弹簧和质量用这个弹簧和质量m2=16 g的物体组成一弹簧的物体组成一弹簧振子取平衡位置为原点，向上为振子取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向将轴的正方向将m2从平衡位从平衡位置向下拉置向下拉 2 cm后，给予向上的初速度后，给予向上的初速度v0=5 cm/s 并开始计时，试并开始计时，试求求m2的振动周期和振动的数学表达式的振动周期和振动的数学表达式解：解：悬挂悬挂m1后伸长后伸长D Dl，k =m1g/D Dl=2 N/m 取下取下m1挂上挂上m2后，后，T=0.56 s t=0时，时，解得解得 180+12.6=3.36 ra
17、d 振动表达式为振动表达式为 x=2.0510-2cos(11.2t+3.36)(SI)306、一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x1=510-2cos(4t+p p/3)(SI),x2=310-2sin(4t-p p/6)(SI)画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程解：解：x2=310-2 sin(4t-p p/6)=310-2cosp p/2-(4t-p p/6)=310-2cos(4t-2p p/3)作两振动的旋转矢量图，如图所示作两振动的旋转矢量图，如图所示 由图得：由图得：A=(5-3)cm=2 cm，f f=p p/3 那么，合振动方程为那么，合振动方程为 x=210-2cos(4t+p p/3)(SI)317：底面积为底面积为 S 的长方形木块，浮于水面，的长方形木块，浮于水面，水面下水面下 a，用手按下用手按下 x 后后释放，证明木块释放，证明木块运动为谐振动，其周期为运动为谐振动，其周期为证明：证明：平衡时平衡时任意位置任意位置x处处，合力，合力32周期周期证毕证毕为回复力为回复力33