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1、大学物理 振动和波15.1 15.1 简谐振动的特点简谐振动的特点 A位置位置A：小球所受合力为零的位置，称为：小球所受合力为零的位置，称为振动系统的平衡位置振动系统的平衡位置。将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动是振动将永久持续下去，这种理想化的振动是简谐振动简谐振动。一、一、谐振动中的理想模型谐振动中的理想模型弹簧振子弹簧振子能量特征：能量特征：谐振动的机械能等
2、于x为A时的弹性势能，或速度最大时（平衡位置）的动能。振动过程中动能和势能相互转换，机械能守恒。机械能守恒。一个周期内的平均动能与平均势能：例例6.6.谐振子在相位为谐振子在相位为 ,其动能为其动能为 ,求其机械能。求其机械能。解：解：1 1、方程中各参量的物理意义、方程中各参量的物理意义x:表示表示 t 时刻质点离开平衡位置的位移。时刻质点离开平衡位置的位移。A:质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值振幅。振幅。15.2 简谐振动的描述简谐振动的描述一、谐振动的代数描述法一、谐振动的代数描述法 ：又又比较知比较知称为圆频率称为圆频率仅决定于振动系统的力学性质
3、。仅决定于振动系统的力学性质。t+:称位相或相位或周相，是表示任意称位相或相位或周相，是表示任意 t 时刻振动物体动时刻振动物体动状态的参量。状态的参量。:称为初位相，是表示称为初位相，是表示 t=0 时刻振动物体状态的参量。时刻振动物体状态的参量。2、位移、速度、位移、速度 加速度加速度v 的位相超前的位相超前 x /2其中其中是加速度的幅值是加速度的幅值a 与与 x 的位相相反的位相相反atvxaxv0问题：问题：是描述是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物体的状态（体的状态（t=0 时的位置及速度：时的位置及速度：x0 v0)，如何求
4、解相对应的，如何求解相对应的？（1）、已知）、已知 t=0 振动物体的状态振动物体的状态x(0),v(0)求求 可得：可得：A与与 由系统的初始条件由系统的初始条件x(0),v(0)决定决定（2）已知）已知 t=0 振动物体的状态振动物体的状态x(0)及及A时求时求 最终确定初位相最终确定初位相 的值的值mkX0例例1：如图所示，将小球拉至：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果已知释放，小球作谐振动。如果已知 k,，以小球运动至，以小球运动至A/2处，且向处，且向x负方向运动作为计时的起点，求小球负方向运动作为计时的起点，求小球的振动方程。的振动方程。解：问题归结于求解：问题归结于求
5、 t=0 小球向小球向 x 负方向运动，因而负方向运动，因而 v 0 =+600 例例2 如图所示如图所示,弹簧处于原长弹簧处于原长,当子弹射入后当子弹射入后,求系统的振动方程。求系统的振动方程。m1kX0vm2解：解：t=0,x(0)=0,v(0)=v 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧的小球，弹簧伸长量为伸长量为b。求证：放手后小球作简谐振动，并写出。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b自然长度自然长度mg平衡位置平衡位置F取平衡位置为坐标原点，静取平衡位置为坐标原点，静平衡受力分析如图平衡受力分析如图kb-mg=0证明：证明
6、：则有：则有：x任意位置时小球所受到的任意位置时小球所受到的合外力为：合外力为：F=mg-k(b+x)=-kx小球作谐振动小球作谐振动=kmgb=A=b,=由由mg-kb=0得：得：由题知：由题知：t=0时，时，x0=-b，v0=0则可得：则可得：所以运动方程为：所以运动方程为：二、谐振动的图线描述法二、谐振动的图线描述法tx0t1A两类问题：两类问题：1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程三、三、简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 1、旋转矢量、旋转矢量AMx0P（t+）x旋转矢量的长
7、度旋转矢量的长度：振幅振幅 A旋转矢量旋转的角速度旋转矢量旋转的角速度：旋转矢量旋转的方向为逆时针方向旋转矢量旋转的方向为逆时针方向旋转矢量与参考方向旋转矢量与参考方向x 的夹角的夹角：振动周相振动周相圆频率圆频率 M 点在点在x 轴上投影轴上投影P点的运动点的运动规律为规律为振动方程振动方程：MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限速度象限速度v 0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP 注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限速度象限速度v 0 MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA 注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限速度象限速度v 0 MPAMPA
8、MPAMPAMPA则称振动则称振动 2 超前超前振动振动 1，振动振动 1 滞后滞后振动振动 2 若周相差若周相差=2-10A1A20A2A10AA22110 x2、用旋转矢量分析位相与振动的关系、用旋转矢量分析位相与振动的关系若周相差若周相差=0，则称两振动，则称两振动同步同步若周相差若周相差=，则称两振动，则称两振动反相反相A2xxAA21.00tt=1时时x1=0d10v=dxt 例例4 4 一谐振动的振动曲线如图所示，一谐振动的振动曲线如图所示，求求、以及振动以及振动方程方程。xA3t=0时时0 x=A200v=31=2解：解：1=t1+=56x=A cos(56t3)本题本题的另一种
9、求法的另一种求法:3xAt=02At=12+32=T1T=125=56 15.3 简谐振动的合成简谐振动的合成一、同方向、同频率两个谐振动的合成一、同方向、同频率两个谐振动的合成1、利用三角函数公式合成、利用三角函数公式合成令令则可得：则可得：其中：其中：2、利用旋转矢量合成、利用旋转矢量合成xA1A2A结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相同。动，其频率与分振动频率相同。讨论：合振动的加强与减弱讨论：合振动的加强与减弱12AA合振动加强合振动加强1合振动减弱合振动减弱AA2 相位相反相位相反12=AAA、+
10、（1）若若=2k12(k=012.、+)12=AAA+相位相同相位相同、+(k=012.、+)（2）若）若(2k+1)12=一般情形：二分振动既不同相位也不反相位，合振动一般情形：二分振动既不同相位也不反相位，合振动振幅在振幅在A1+A2与与|A1-A2|之间。之间。二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。一种特殊情况一种特殊情况拍现象拍现象12拍频拍频=1221xx=AAcoscos2tt2x=xx+12 221111122=2A cos2()2costt2+2tttxx12x
11、=20.25s0.75s0.50s=216181利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成例例5已知已知求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。解：解：例例6一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为周期为2s，当，当t=0时位移为时位移为0.06m，且向，且向x轴正方向运动，求（轴正方向运动，求（1）振动表达式；）振动表达式；（2）t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；时，物体的
12、位置、速度和加速度；（3）从）从x=-0.06m且向且向x轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间解解:（1）由于物体此时向由于物体此时向x正向运动，正向运动，故故（2）（3）注意相位与状态相对应。）注意相位与状态相对应。质点沿质点沿x轴负向运动，轴负向运动，设设 时，时，x=-0.06m.故故质点返回平衡位置的相位为质点返回平衡位置的相位为 ，设该时刻为，设该时刻为 。所以所以第十六章第十六章 波动学基础波动学基础 波动是振动的传播过程，也是动量和能量传播的过程。波动是振动的传播过程，也是动量和能量传播的过程。机械波：机械振动在媒质中的传播过程。机械波：机械振
13、动在媒质中的传播过程。电磁波：交变电磁场在空间的传播过程。电磁波：交变电磁场在空间的传播过程。基本内容：基本内容：机械波的产生与传播机械波的产生与传播 机械波的几个特征量机械波的几个特征量 波动方程波动方程 波的叠加原理波的叠加原理（特例）波的干涉。（特例）波的干涉。各类波的本质不同，但都伴有能量的传播，都能产生各类波的本质不同，但都伴有能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相似的数学描述。反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相似的数学描述。16.1 机械波的产生与传播机械波的产生与传播1、波源波源 2、弹性媒质弹性媒质横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直质点的振动方向和
14、波的传播方向垂直纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行质点的振动方向和波的传播方向平行二、机械波的分类二、机械波的分类 一、产生机械波的条件一、产生机械波的条件特点：具有波峰和波谷特点：具有波峰和波谷（如绳子上的波）（如绳子上的波）特点：具有疏密相间的区域特点：具有疏密相间的区域（如声波）（如声波）横波的波动横波的波动波的传播方向波的传播方向xy振振动动方方向向特点：具有波峰和波谷特点：具有波峰和波谷纵波的波动纵波的波动波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向疏疏密密疏疏密密疏疏特点：具有疏密相间的区域特点：具有疏密相间的区域三、波的形成和传播（以横波为例）三、波的形成和传播（以
15、横波为例）1、过程分析：由于媒质内各质点间存在相互作用力，故、过程分析：由于媒质内各质点间存在相互作用力，故当一个质点振动后，在媒质内部的弹性力作用下，将带动当一个质点振动后，在媒质内部的弹性力作用下，将带动其周围其它的质点也相继振动起来其周围其它的质点也相继振动起来如此依次带动，如此依次带动，振动状态由近及远地传播开去振动状态由近及远地传播开去形成机械波。形成机械波。（静止）（静止）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13（振动状态传（振动状态传至至4）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13（振
16、动状态（振动状态传至传至7）（振动状态（振动状态传至传至10)（振动状态（振动状态传至传至13）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132.结论结论（1）各质点仅在自己的平衡位置附近振动，并不）各质点仅在自己的平衡位置附近振动，并不 随波前进。随波前进。（2）振动状态振动状态以一定的速度传播以一定的速度传播波速。（注意波速。（注意 波速不是质点的振动速度）波速不是质点的振动速度）（3）波的周期与质点的振动周期相同。）波的周期与质点的振动周期相同。沿波的传播方向，各质点的相位依次落后。沿波的传播方向，各质点的相位依次落
17、后。（4）波形在空间移动）波形在空间移动行波。行波。四、波的几何描述四、波的几何描述 同相面（波面）：同相面（波面）：由振动周相相同的点所组成的面。由振动周相相同的点所组成的面。波阵面（波前波阵面（波前)：某时刻波动所到达的点所组成的面。某时刻波动所到达的点所组成的面。波线（波法线）：波线（波法线）：表示波的传播方向的线。在各向同性介表示波的传播方向的线。在各向同性介质中与波面法线相同。质中与波面法线相同。在各向同性媒质中波线和波阵面垂直在各向同性媒质中波线和波阵面垂直平面波平面波波波线线波波阵阵面面球面波球面波波波阵阵面面波波线线平面波：平面波：球面波：球面波：波阵面为一球面。波阵面为一球面
18、。波阵面为一平面。波阵面为一平面。横波波速横波波速sFFG 切变弹性模量切变弹性模量密度（单位体积质量）密度（单位体积质量）波长波长 在同一条波线上在同一条波线上,周相差为周相差为2 的两的两质点间的距离。质点间的距离。周期周期 传播一个波长距离所用的时间。传播一个波长距离所用的时间。频率频率 在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。波速波速 波在单位时间内所传播的距离。波在单位时间内所传播的距离。16.2 机械波的几个特征量机械波的几个特征量频率频率和和周期周期只决定于波源，和媒质无关。只决定于波源，和媒质无关。纵波波速纵波波速流体（气体、液体）流体（
19、气体、液体）固体固体Y:杨氏弹性模量杨氏弹性模量VVPPB:容变弹性模量容变弹性模量波速是与媒质有关的一个物理量波速是与媒质有关的一个物理量任意点（任意点（B点）的振动方程为：点）的振动方程为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：uyxxoB y表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）质点在任意处）质点在任意时刻的位移时刻的位移,也就是平面简谐波的波动方程。也就是平面简谐波的波动方程。16.3 波动方程波动方程一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程质点的振动速度：质点的振动速度：平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:其中减号表示波向其中
20、减号表示波向x轴正向传播，加号表示波向轴正向传播，加号表示波向x轴负向传播轴负向传播表示在表示在t1 时刻的波形时刻的波形yto3 3、t 与与 x 都发生变化都发生变化t=t1时时yxo表示表示x1处质点的振动方程处质点的振动方程二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义1、x=x1（常数）（常数）2、t=t1（常数）（常数）t=t1+t时时yy1xutxytx表示在表示在t1时刻时刻x处的位移处的位移y1，在经过在经过t时间后，同样的位移发生在时间后，同样的位移发生在x处，波向前传播了处，波向前传播了ut的距离，即某一固定周相传播了的距离，即某一固定周相传播了ut的距的距离。离。y1=令
21、令yxx=+ut得：得：可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：其中其中为为质点的位移质点的位移从上两式可得波动方程：从上两式可得波动方程：三、波动方程的一般形式三、波动方程的一般形式例例1、已知波源在原点的平面简谐波的方程为已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中式中A、B、C为正值恒量。为正值恒量。试求：试求：（1）波的振幅、波速、频率、周期与波长；）波的振幅、波速、频率、周期与波长；（3）任何时刻，在波传播方向上相距为）任何时刻，在波传播方向上相距为D的两的两点的周相差。点的周相差。（2）写出传播方向上距离波源）写出传播方向上距离波源l处一点的振动处一点的振动方程；方程；解：（
22、解：（1）波动方程的标准形式）波动方程的标准形式波的振幅为波的振幅为A,波速波速频率频率波长波长（2）（3）例例2 以以P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。写出波动方程。yxPoud解：解：p=2yp=AAAcoscoscosddttt)(222y=o+uuyxu 例例3 波速波速 u=400m/s,t=0 s时刻的波形如图所示。时刻的波形如图所示。写出波动方程。写出波动方程。uy(m)p4532ox(m)23=0pt =Ayv000(o点点)220=yv00t0(p点点)=00得：得：得：得：2p=0d0p=2d=2235()34(m
23、)y(m)23=0pup4532ox(m)dy=2 2002u=2400404 cos)(2003tS1=4(m)()例例4一横波在弦上传播，其方程是一横波在弦上传播，其方程是式中式中x、y以米计，以米计，t与秒计。与秒计。（1）求波长、周期、波速；）求波长、周期、波速；（2）画出）画出 t=0,0.0025s,0.005s时弦的形状。时弦的形状。解：（解：（1）方法一：）方法一：与标准方程相比较与标准方程相比较波长波长周期周期 T=0.01S,波速波速方法二、方法二、依各量的物理意义求解依各量的物理意义求解（2）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出波形。）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出
24、波形。方法二：只画出方法二：只画出t=0的波形，然后采用移动波形的方法。的波形，然后采用移动波形的方法。0.40.2yxo例例5、一平面简谐波在空间以速度、一平面简谐波在空间以速度u 传播，已知传播，已知p点的振点的振就下面四种选定的坐标系，写出各自的波函数。就下面四种选定的坐标系，写出各自的波函数。动方程为动方程为opyxuuxyopuxyoplopyxul例例6、沿沿x轴轴负向负向传播的平面简谐波在传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线时的波形曲线如图，设波速如图，设波速u=0.5m/s求原点求原点0的振动表达式。的振动表达式。t=0 x0y0.5-112t=2s 解：由图知解：由图知t=
25、0原点原点0:例例7、一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率为轴正向传播，其振幅和圆频率为A、波速为波速为 u，设，设t=0时的波形曲线如图。时的波形曲线如图。（1）写出该波的波函数；）写出该波的波函数；（2）求距）求距0点为点为 （3）求距）求距0点为点为处的质点的振动表达式；处的质点的振动表达式；处的质点在处的质点在t=0时的振动速度。时的振动速度。yx0u解：（解：（1）t=0时，时，0点的相位，即初相位点的相位，即初相位故波函数故波函数（2）（3）16.4 16.4 波的能量波的能量 能流密度能流密度一、能量密度一、能量密度pdEdE=可以证明：可以证明：kdmdV取
26、体积元取体积元dV，体元内质量为体元内质量为dVdm=dEdE=2k+dEp=dEk能量密度能量密度:平均能量密度：平均能量密度：能流能流P:单位时间通过某一面积的波能。单位时间通过某一面积的波能。P=S w u二、能流密度二、能流密度平均能流平均能流P:能流在一个周期内的平均值。能流在一个周期内的平均值。uuS 波的强度波的强度 I（能流度）（能流度）:通过垂直于波的传播方向的单通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。位面积的平均能流。w1222uI=u=A总结：总结：波是能量传播的一种形式。波是能量传播的一种形式。波真正传播的是振动、波形和能量。波形传波真正传播的是振动、波形和能量。波
27、形传播是现象，振动传播是本质，能量传播是量度。播是现象，振动传播是本质，能量传播是量度。t+tututt+tt时刻波阵面时刻波阵面t时刻波阵面时刻波阵面16.5 惠更斯原理惠更斯原理一、惠更斯原理一、惠更斯原理 波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。用惠更斯原理解释折射定律用惠更斯原理解释折射定律sinsinir=CBABADAB=u u 1122=u2u=nn1n12ttiuut12trnn12CBADiru t12二、惠更斯原理的应用二、惠更斯原
28、理的应用沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加两水波的叠加两水波的叠加 16.6 波的叠加原理波的叠加原理一、波的叠加原理一、波的叠加原理 1、波的独立传播原理波的独立传播原理:有几列波同时在媒质中传播时，有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。波的存在而发生影响。2、波的叠加原理波的叠加原理:在几列波相遇的区域内在几列波相遇的区域内,媒质质点同媒质质点同时参与这几列波所引起振动，其位移为各波单独存在时在时参与这几列波所引起振动，其位移为各波单独存在时在该点所引
29、起振动的合振动。该点所引起振动的合振动。二、波的干涉二、波的干涉 相干波源：相干波源：若有两个波源，它们的振动方向相同、频若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源相干波源。波源波源cos=+ty222A)(St=y111A cos)(+S1r*2sr11y*22sPy.P点点rr=22211()yt2+r=2222cos)A(+t=y211A cos)(11r干涉加强干涉加强(A最大最大)条件：条件：干涉减弱干涉减弱(A最小最小)条件：条件：=2kk=0,1,2,+2k=(1)k=0,1,2,111Acoscossinsin=
30、+2rr()(211tg222AAA221rr)+2222AAAAcos=2+22211A)2221=rr(12波程差波程差rr1=+k干涉加强干涉加强r2()波程差波程差r1+2k2=+1干涉减弱干涉减弱=12若：若：则有：则有：+2k(1)=rr)(212rr=)(212k+=2rr)2221=(1问题：问题：对于相干光波，干涉条件如何？对于相干光波，干涉条件如何？两波的波动方程分别为：两波的波动方程分别为：yy22AA+xxttTTcoscos21=)(驻波驻波 ：一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成的波。沿相反方向传播时
31、，叠加而成的波。AAxcos=振幅振幅22y22A+tTcos21=yy=xcos2三、驻波三、驻波xAAcos=振幅：振幅：22波腹位置：波腹位置：波节位置：波节位置：2k+12k+1=()(xx=22422kxx=2k24相邻两波节（或波腹）的距离相邻两波节（或波腹）的距离:xxk+1k=2驻波的特点：驻波的特点：1.有波节、波腹；有波节、波腹；2.波节两侧质点的振动周相相反，相邻两波节之间的质波节两侧质点的振动周相相反，相邻两波节之间的质点振动周相相同。点振动周相相同。3.波的强度为零，不发生能量由近及远的传播。是一种波的强度为零，不发生能量由近及远的传播。是一种特殊的振动状态。特殊的振
32、动状态。波节波节波腹波腹 四、半波损失四、半波损失uu2211 若若媒质媒质1媒质媒质1u11u22媒质媒质2称媒质称媒质 1 为为 波疏媒质；波疏媒质；媒质媒质 2 为为 波密媒质。波密媒质。1.绳子波在固定端反射绳子波在固定端反射入射波入射波反射波反射波叠加后的波形叠加后的波形墙墙体体)波波密密媒媒质质(yy 在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变反，即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变，称，称为为半波损失半波损失。入射波入射波反射波反射波叠加后的波形叠加后的波形y y自自由由端端 2.绳
33、子波在自由端反射绳子波在自由端反射 在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同无半波损失无半波损失。y=Acost它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方程、它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方程、波节及波腹的位置。波节及波腹的位置。考虑到半波损失后考虑到半波损失后P点的振动方程：点的振动方程：ydcos=+p()utAyycoscos=dp()uutt入射波入射波入入AAxdy墙墙面面p入射波入射波ox 例例8 设波源（在原点设波源（在原点O）的振动方程为：）的振动方程为：墙墙面面dyxp(叠加点叠加点)m入射波入射波反反射射波波o考虑到半波损失后考虑到半波损失后P点的振动方程：点的振动方程：ducosy=+p()tA反射波在叠加点反射波在叠加点(m点点)的振动方程：的振动方程：cos2dutA=+()xycosdduutA=+)(反反x驻波方程：驻波方程：=xd)波腹：波腹：2(+22k2,+d(2kx=4)1xyyycoscost2=+()x入入反反22 dd22)Acos=()utA+cos2dutA+()x