2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷-(解析版).docx

《2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷-(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷-(解析版).docx（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷2020-2021一、选择题（共 小题）.10（ 分）已知集合 4 ， ， ， ，则 （A x|x 1 0 B 0 1 2 A B）123A 0B 1C 2 ，D 1 2（ 分）已知4是公差为 的等差数列， 为其前 项和若 n，则 （d）a dSS 3a +3nn31A2B1C 1D 2（ 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（ ， ）上单调递增的是（4 0 1） A y 2 B y lnx C y D y sinxx（ 分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图44为（）ABCD（ 分）与圆4（ ） 相切于点（ ， ）的直

2、线的斜率为（x + y 1 5 2 22）562A2BCD 2（ 分）函数 （ ）4 f x（ ）（ ， ）的部分图象如图所示，则 （）2sin x+ 0 | | f（） ABCD7（4 分）设 ， 是两个不共线向量，则“ 与 的夹角为锐角”是“ （ ）”的（）A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件8（4 分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（A242 种 B220 种 C200 种9（4 分）已知抛物线 y

3、22px（p0）的焦点 F 到准线的距离为 2，过焦点 F 的直线与抛）D110 种物线交于 ， 两点，且| |3| |，则点 到 轴的距离为（）A BAFFBAyA5B4C3D210（4 分）某公园门票单价 30 元，相关优惠政策如下：10 人（含）以上团体购票 9 折优惠；50 人（含）以上团体购票 8 折优惠；100 人（含）以上团体购票 7 折优惠；购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠）现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）A1090 元B1171 元C1200 元D1210 元二、填空题（共 5 小题）.11复数12函数 f（x）+lnx 的

4、定义域是 13已知 sin ，（，），则 cos，cos214已知双曲线M：1（a0，b0），ABC 为等边三角形若点A 在 y 轴上，点 ， 在双曲线 上，且双曲线 的实轴为B C M M ABC的中位线，则双曲线 的离心率M为15已知函数f（x）2 +3，x0，2，其中x表示不超过 x 的最大整数例如：1cos xsin x1，0.50，0.51 （ ）；f若 （ ） + 对任意 0，2都成立，则实数 的取值范围是f x x axa三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PD4，底面

5、ABCD 是边长为 2 的正方形， ， 分别为E F，PB PC的中点（）求证：平面 ADE平面 PCD；（）求直线 与平面 所成角的正弦值BFADE17（13 分）已知函数 g（x）sin（x ），h（x）cosx，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（） （ ）的最小正周期；f x（） （ ）在区间0， 上的最大值f x条件： （ ） （ ） （ ）；f x g xh x条件： （ ） （ ）+ （ ）f x g xh x18（14 分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10 个水果测量质量，样本数据分组 为， ）， ，100 150 150 200），200 250），25

6、0 300），300 350）， ， （单350 400位：克），其频率分布直方图如图所示：（）用分层抽样的方法从样本里质量在， ），250 300， ）的水果中抽取 个，300 350 6求质量在 ， ）的水果数量；250 300（）从（）中得到的 个水果中随机抽取 个，记 为质量在 ， ）的水果数6 3 X 300 350量，求 的分布列和数学期望；X（）果园现有该种水果约个，其等级规格及销售价格如表所示，20000质量 （单m m 200 200 mm 300位：克）等级规格300二等一等特等价格（元/4710个）试估计果园该种水果的销售收入（ 分）已知椭圆 ：19 15 C （ ）过点

7、 （ ， ）， （ ， ），且离1 a b 0 A 2 0 B 2 0心率为 （）求椭圆 的方程；C（）设直线 与椭圆 有且仅有一个公共点 ，且与 轴交于点 （ ， 不重合），G E GlCEx 轴，垂足为 求证：ET xT（ 分）已知函数 （ ） 20 15 f x 1， a R（）若曲线 （ ）在点（ ， （ ）处的切线平行于直线 ，求该切线方程；y f x 1 f 1 y x（）若 ，求证：当 时， （ ） ；a 1 x 0 f x 0 （）若 （ ）恰有两个零点，求 的值f xa（ 分）给定正整数 ， （ ），若数列 ： ， ， ，满足： （ ， ，21 15m t m tA a aa

8、a0 112ni ，a a ，则称数列 具有性质 （ ， ）a +a + +a m A E t mii+t12t对于两个数列 ： ， ， ，； ： ， ， ，C c c cB b bb12n12n定义数列： ，B+C b +c b +c，b +c，1122nn（）设数列 具有性质 （ ， ），数列 的通项公式为 （ ），求数列A+BAE 4 2 B b n n N*n的前四项和；（）设数列 （ ）具有性质 （ ， ），数列 满足 ， ， ，b 1 b 2 b 3 bA i N* E 4 mBi1234 且 （ ）若存在一组数列 ， ， ，使得 为常A +A + +A +B4b b j N*A

9、AAjj+412k12k数列，求出 所有可能的值；m（）设数列 （ ）具有性质 （ ， ）（常数 ），数列 满足 ，b 1 bA i N* E t t 1t 2Bi12 ， 且 （ ）若存在一组数列 ， ， ，使得 A +A + +A +B2b t b b j N*A AAtjj+t12k12k为常数列，求 的最小值（只需写出结论）k 参考答案一、选择题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目10 4 40要求的一项。（ 分）已知集合 4 ， ， ， ，则 （A x|x 1 0 B 0 1 2 A B）123A 0B 1C 2 ，D 1 2解： ， ， ， ，A x

10、|x 1 B 0 1 2 ， A B 1 2故选： D（ 分）已知4是公差为 的等差数列， 为其前 项和若 n，则 （d）a dSS 3a +3nn31A2B1C 1D 2解： 3， ，3a +3d 3a +3S 3a +3111则 d 1故选： C（ 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（ ， ）上单调递增的是（4 0 1） A y 2 B y lnx C y D y sinxx解：对于 ， 为非奇非偶函数，不符合题意；A y 2x对于 ， 为非奇非偶函数，不符合题意；B y lnx对于 ， 为奇函数，但在区间（ ， ）上单调递减，不符合题意；C y 0 1对于 ， D y sinx为奇函数

11、，由正弦函数的图象可知， y sinx在区间（ ， ）上单调递增，0 1符合题意故选： D（ 分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图44为（） ABCD解：将几何体补充为正方体，如图 所示：1则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图 所示：2故选： B（ 分）与圆4（ ） 相切于点（ ， ）的直线的斜率为（x + y 1 52 22）52A2BCD 2解：根据题意，圆P，（ ） ，其圆心为（ ， ），设圆心为 ，切点（ ， ）为5 C2 2x + y 10 122则KPC ，则切线的斜率 ，k2 故选： A（ 分）函数 （ ）4f x（ ）（

12、， ）的部分图象如图所示，则 （）x+ f62sin0 | |（）ABCD解：由图可知， （ ） ，则 ， T2又 + ，2则 （ ）（ ），f x 2sin 2x （）（ ）2sin（ ） 2sin 2f故选： A（ 分）设 ， 是两个不共线向量，则“ 与 的夹角为锐角”是“ （ ）”的47（）A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解：若 （ ），则（ ）0，即 ， 是两个不共线向量， ，0， 与 的夹角为锐角，而 与 的夹角为锐角，不妨设 此时（ ） ，故 与（ ）不垂直，1 0“ 与 的夹角为锐角”是“ （ ）”的必要不充分条件故选： B（ 分）十二生肖

13、，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、48猪现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）种A 242种B 220种C 200D 110种解：根据题意，分 步进行分析：3对于甲，不选马和羊，有 种选法，10对于乙和丙，有 个人选择羊，有 种选法，1 2剩下 人在剩下 个生肖中任选 个，有 种选法，1 10 1 10则有 10 2 10 200种不同的选法，故选： C（ 分）已知抛物线 （ ）的焦点 到准线的距离为 ，过焦点 的直线与抛y2 2px p 094F2F物线交于 ， 两点，且A B |AF

14、| 3|FB|，则点 到 轴的距离为（y）AA 5B 4C 3D 2解：焦点 到准线的距离为 ，p 2F过点 作A垂直于准线 于点 ，过点 作B垂直于 于点 ，延长E交 于点 ，AB l CADlDBEl则BCEACD，所以，记 ，则 ，BC x AC 3x因为|AF| 3|FB|，所以，因为所以CF BC+BF， 为F的中点，AC ，AD 2FG 4即点 到 轴的距离为yA故选： C （ 分）某公园门票单价 元，相关优惠政策如下：10 4 30 人（含）以上团体购票 折优惠；109 人（含）以上团体购票 折优惠；508100 人（含）以上团体购票 折优惠；7购票总额每满元减元（单张票价不优惠

15、）100500现购买 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（47）A 1090元B 1171元C 1200元D 1210元解：由于需要购买 张门票，所以不能享受优惠政策中的和，47若只按优惠政策购买，则门票费用为 元；47 30 90% 1269若将 分为 17+17+13，则可享受两次优惠政策，一次优惠政策，47门票费用为（ ）17 30 100 元，2+13 30 90% 1171因为 ，所以门票费用最少为1269 1171元1171故选： B二、填空题共 小题，每小题 分，共 分。5 5 2511复数解：复数4 3i 4 3i故答案为： 4 3i函数 （ ）12 f x的定义域是

16、+lnx， ） 1 +解：由题意得：，解得： ，x 1故函数的定义域是 ， ），1 + 故答案为： ， ）1 +已知 ，（，13 sin），则 cos ，cos2解：因为 ，（，sin），可得 cos可得 cos22cos212（故答案为： ， ，）2 1已知双曲线 ：14 M （ ， ）， 为等边三角形若点 在 轴上，1 a 0 b 0 ABC A y点 ， 在双曲线 上，且双曲线 的实轴为M的中位线，则双曲线 的离心率MB CMABC为解：双曲线 的实轴为ABC的中位线，M等边ABC 的边长为 ，4a假设点 在第一象限，则点 的坐标为（ ， a），2aBB将其代入双曲线 的方程有，M ，1

17、 ，1离心率 e故答案为： 已知函数 （ ）， ， ，其中 表示不超过 的最大整数例如：x x 115f x 2sinx+3cosx x 0 2 ， ， 1 0.5 0 0.5 1 （）；f若 （ ）f x对任意 ， 都成立，则实数 的取值范围是 （， x+ax 0 2 a2 解： （）222 +30 1 ；f+3+3若 （ ）对任意 ， 都成立，x 0 2 f x x+a即为 （ ） 对任意 ， 都成立，x 0 2 a f x x 2sinx+3cosxx当 或 时， （ ） 或 ；x 1+3 4 4 2x 0 x 2 f x 当 时， （ ） x f x x 2+1 3；当 时， （ ）

18、；xf x x 1+当 x时， （ ） +1f x ；x当 时，sinx（ ， ），0 x 0 1（ ， ），cosx 0 1可得 a 2 +30 2；0同理可得当 时，可得 1 ；xa 2 +30当 时，可得 a 2 +311 ；x当 时，可得 x 2 a 2 +3 2 201综上可得， 的取值范围是（， 2 a故答案为： ；（， 2 三、解答题共 小题，共 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。6 85（ 分）如图，在四棱锥 中， 平面PD， ，底面ABCD PD 4是边ABCD16 13P ABCD长为 的正方形， ， 分别为E F，PB PC的中点2（）求证：平面 ADE平面 P

19、CD；（）求直线 与平面 所成角的正弦值BFADE【解答】（）证明：因为 PD平面 ABCD，所以 ，PD AD因为底面是正方形，ABCD所以 ，AD CD 因为 ，PD CD D所以 AD平面 PCD，又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 PCD；（）解：因为 PD平面 ABCD，所以 ， ，PD AD PD CD因为底面是正方形，ABCD所以 ，AD CD如图建立空间直角坐标系 ，D xyz因为 ，底面PD 4是边长为 的正方形，ABCD2所以 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ），EP 0 0 4A 2 0 0B 2 2 0C 0

20、2 0D 0 0 0（ ， ， ）， （ ， ， ），1 1 2F 0 1 2则，设平面则有的法向量为，可得，ADE，所以设直线与平面所成的角为 ，ADEBF则 sin，所以直线与平面所成角的正弦值为ADEBF（ 分）已知函数 （ ） （ ）， （ ）cosx，再从条件、条件这两17 13g xsin xh x 个条件中选择一个作为已知，求：（） （ ）的最小正周期；f x（） （ ）在区间 ， 上的最大值f x 0条件： （ ） （ ） （ ）；f x g xh x条件： （ ） （ ） （ ）f x g x +h x解：选择条件： （ ） （ ） （ ），f x g xh x（） （ ）

21、（ ）cosx（f x sin xsinx）cosx cosxsinxcosx cos2xsin2x cos2x sin2x（ ） ，sin 2x所以 （ ）的最小正周期 f xT（）因为 ，x 0，可得 2x，所以 （ ） ， ，可得sin 2x 1（ ） ， ，sin 2x当 2x，即 时， （ ）有最大值 f xx选择条件： （ ） （ ） （ ），f x g x +h x（） （ ） （ ）+cosx（f x sin xsinx）cosx +cosx （sinx+ cosx sin x+），所以 （ ）的最小正周期 f x T2（）因为 ， ，可得x 0，x+所以 （sin x+） ，

22、 ，1当，即 时， （ ）有最大值 f xx+x1（ 分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取 个水果测量质量，样本数据分组18 14 10为， ）， ，100 150 150 200），200 250），250 300），300 350）， ， （单350 400位：克），其频率分布直方图如图所示：（）用分层抽样的方法从样本里质量在 ， ）， ， ）的水果中抽取 个，250 300 300 350 6求质量在 ， ）的水果数量；250 300 （）从（）中得到的 个水果中随机抽取 个，记 为质量在 ， ）的水果数6 3 X 300 350量，求 的分布列和数学期望；X（）果园现有该种水果约个

23、，其等级规格及销售价格如表所示，20000质量 （单m m 200 200 mm 300位：克）等级规格300二等一等特等价格（元/4710个）试估计果园该种水果的销售收入解：（）质量在 ， ），250 300， ）的该种水果的频率分别为300 350 ，0.008 50 0.4 ，其比为 ： ，0.004 50 0.2 2 1所以按分层抽样从质量在 ， ）， ， ）的这种水果中随机抽取 个，质量在250 300 300 350 6， ）的该种水果有 个；250 300 4（）由（）可知， 个水果中有 个质量在 ， ），所以 的所有可能取值为6 2 300 350 X， ， ，0 1 2（ ）

24、P X 0， （ ）P X 1， （ ）P X 2，所以 的分布列为：X所以 （ ）E X； （）二等品的频率为（0.002+0.002） ，50 0.2一等品的频率为（0.003+0.008） ，50 0.55特等品的频率为（0.004+0.001） 50 0.25则个水果中共有二等品个，一等品个，特等品有元个，500020000400011000则销售收入约为 撑 4000 4+11000 7+5000 10 143000（ 分）已知椭圆 ：19 15C （ ）过点 （ ， ）， （ ， ），且离1 a b 0 A B 2 02 0心率为 （）求椭圆 的方程；C（）设直线 与椭圆 有且仅有

25、一个公共点 ，且与 轴交于点 （ ， 不重合），G E GlCEx 轴，垂足为 求证：ET x T22所以椭圆的方程为： ；1+（）由题意可得直线 的斜率存在且不为 ，设直线 的方程为： l0（ ），y kx+m m 0l，整理可得：（）222由题意可得 ，即0 （64k m 16 3+4k）（ ） ，解得： m 302m 3+4k22222设 （ ， ）， （ ， ）则 ， G x 0 E x y，x1x0100因为 轴，所以 （ ， ），ET x T0，又因为 所以可证：（ 分）已知函数 （ ） f x20 15 1， a R（）若曲线 （ ）在点（ ， （ ）处的切线平行于直线 ，求该切

26、线方程；y f x 1 f 1 y x（）若 ，求证：当 时， （ ） ；a 1 x 0 f x0（）若 （ ）恰有两个零点，求 的值f xa解：（）因为 （ ）x，f所以 （ ） ，故 ，1 1efa所以 （ ） ，f 112所以切线方程为 ，即 y 2 x 1 y x+1（）当 时， （ ） a 1 f x 1， （ ）x，f当 （ ， ）时， （ ） ， （ ）单调递减，x0 2 f x 0 f x当 （ ， ）时， （ ） ， （ ）单调递增，x2 + f x 0 f x所以 （ ）的最小值为 （ ） f x f 2 1 ，0故 时， （ ） x 0 f x 0（）对于函数 （ ） f

27、 x， ，a R1当 时， （ ） ， （ ）没有零点，a 0 f x0 f x当 时， （ ）a 0 f x，当 （， ）时， （ ） ，所以 （ ）在区间（， ）上单调递增，f xx0fx00当 （ ， ）时， （ ） ，所以 （ ）在区间（ ， ）上单调递减，x0 2 f x 0 f x0 2当 （ ， ）时， （ ） ，所以 （ ）在区间（ ， ）上单调递增，x2 + f x 0 f x2 +所以 （ ） 是函数的极大值， （ ） f 0 1 f 2 1是 （ ）的极小值，f x所以 （ ）在（， ）上有且只有一个零点，f x0 由 （2）1，f若 （2）0，即 ， （ ）在区间（0，

28、+）上没有零点f xfa若 （2）0，即 ， （ ）在区间（0，+）上只有一个零点f xfa若 （2）0，即 ，由于 （0）1，所以 （ ）在区间（0，2）上有一个零点f xfaf由（）知，当 0 时， ，xe x2x所以 （4 ）1111 0，fa故 （ ）在区间（2，4 ）上有一个零点，f xa因此 a时， （ ）在区间（0，+）上有两个零点，f x综上，当 （ ）有两个零点时， f xa21（15 分）给定正整数 m，t（mt），若数列A：a ，a ，a ，满足：a （0，1，12ni ， + + ，则称数列 具有性质 （ ， ）a a a aa mAE t m+i t12it对于两个数

29、列 ： ， ， ，； ： ， ，c ，B b b b C c c1212nn定义数列 + ： + ， + ， +c ，B C b c b cb1122nn（）设数列 具有性质 （4，2），数列 的通项公式为 （ N*），求数列 +AEBb n n A Bn的前四项和；（）设数列 （ N*）具有性质 （4， ），数列 满足 1， 2， 3，A i b4EmBbbb123i4 且 （ N*）若存在一组数列 ， ， ，使得 + + + 为常b b j A A A A A A B+4j1212jkk数列，求出 所有可能的值；m（）设数列 （ N*）具有性质 （ ， 1）（常数 2），数列 满足 1，b

30、2b t b b A AA i E t ttBb1i2， 且 （ N*）若存在一组数列 ， ， ，使得 + + +A BjAA A+j t1212tjkk为常数列，求 的最小值（只需写出结论）k解：（ ）数列 + 的前四项和为 的前四项和与 的前四项和之和，为 2+1012，A BIAB（ ）由题知 4，数列 （ N*）满足 ， （ N*），II m A ia ab bj+4i+4jiij故只要考虑数列 ， 的前四项，A Bij取 ， ， ， 为 1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，；A A A A12560，0，1，0，可使 A +A +A +B 的前

31、四项为 4，4，4，4，所以 m1 成立；126取 ， ， 为 1，1，0，0；1，1，0，0； 1，0，1，0，可使 + + + 的前四项为A A A A A A B123123 4，4，4，4，所以 m2 成立；取 ， ， ， 为 1，1，1，0；1，1，1，0； 1，1，0，1； 1，1，1，0； 1，A AA A12560，1，1；1，1，0，1，可使 A +A +A +B 的前四项为 7，7，7，7，所以 m3 成立；126当 4 时， 的前四项是 1，1，1，1，所以对任意的 ， + + + 不会是常数列，mAik A A A B12k综上， 1，2，3m（III）由 （2）1，f

32、若 （2）0，即 ， （ ）在区间（0，+）上没有零点f xfa若 （2）0，即 ， （ ）在区间（0，+）上只有一个零点f xfa若 （2）0，即 ，由于 （0）1，所以 （ ）在区间（0，2）上有一个零点f xfaf由（）知，当 0 时， ，xe x2x所以 （4 ）1111 0，fa故 （ ）在区间（2，4 ）上有一个零点，f xa因此 a时， （ ）在区间（0，+）上有两个零点，f x综上，当 （ ）有两个零点时， f xa21（15 分）给定正整数 m，t（mt），若数列A：a ，a ，a ，满足：a （0，1，12ni ， + + ，则称数列 具有性质 （ ， ）a a a aa

33、mAE t m+i t12it对于两个数列 ： ， ， ，； ： ， ，c ，B b b b C c c1212nn定义数列 + ： + ， + ， +c ，B C b c b cb1122nn（）设数列 具有性质 （4，2），数列 的通项公式为 （ N*），求数列 +AEBb n n A Bn的前四项和；（）设数列 （ N*）具有性质 （4， ），数列 满足 1， 2， 3，A i b4EmBbbb123i4 且 （ N*）若存在一组数列 ， ， ，使得 + + + 为常b b j A A A A A A B+4j1212jkk数列，求出 所有可能的值；m（）设数列 （ N*）具有性质 （ ， 1）（常数 2），数列 满足 1，b2b t b b A AA i E t ttBb1i2， 且 （ N*）若存在一组数列 ， ， ，使得 + + +A BjAA A+j t1212tjkk为常数列，求 的最小值（只需写出结论）k解：（ ）数列 + 的前四项和为 的前四项和与 的前四项和之和，为 2+1012，A BIAB（ ）由题知 4，数列 （ N*）满足 ， （ N*），II m A ia ab bj+4i+4jiij故只要考虑数列 ， 的前四项，A Bij取 ， ， ， 为 1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0