2020-2021学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷-(解析版).docx

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1、 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷2020-2021一、选择题（共 小题）.10已知全集 ， ， ， ， ， ，集合 ， ， ，则 （）123U 1 0 1 2 3 4 A 0 1 2AU ，A 3 4 ， ，B 1 3 4 ， ，C 0 1 2 ，D 1 4已知向量 （ ， ）， （ ， ），且 ，则 （1 2 x 4 | |）ABCD 8某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 ，则该三棱锥的体积为1（）ABC 3D 44已知等比数列的各项均为正数，且 ，则a 9log a +log a +log a +log a +log aa n33 13 23 33 43 5（）

2、ABC 10D 15设抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ， 是 上一点若C ，|PF| 45C y 4x F l x M P2则|PM|（A6已知函数）B 5C，给出下列四个结论：D函数 （ ）是周期为 的偶函数；f x函数 （ ）在区间f x上单调递减；函数 （ ）在区间f x上的最小值为 ；1将函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与 （ ）的图象重f x g xsin2x 合其中，所有正确结论的序号是（）ABCD7已知定义在 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x），且 f（1）0，当 x（0，1）R时，（ ）2 + 设 （5），则 ， ， 的大小关系为（a

3、 b c）f xxa fxAbacBacbCcabDbca8已知圆 C：x +y 4，直线 l：x+y+t0，则“l 与 C 相交”是“|t|2”的（）22A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件9已知双曲线（a0，b0）的左焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 C 的一条渐近线的垂线， 为垂足若| | |，则 的离心率为（）FD D DF DACAB2CD10在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ymx（m0）与曲线 yx 从左至右依次交于 A，3， 三点若直线 ： +30（ ）上存在点 满足|2，则实数 的取B Cl kx yk RPk值范围是（A（2，2

4、）BDC（，2）（2，+）二、填空题（共 小题）.511设 a 若复数 zi（1+ai）为纯虚数，则 aR，z 212在（x + ） 的展开式中，常数项是（用数字作答）2613在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据周髀算经记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五一般地，像（3，4，5）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组若从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（

5、12，16，20）这些勾股数组中随机抽取 1 组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为14若函数 f（x）sin（x+）+cosx 为偶函数，则常数 的一个取值为 15设函数 yf（x）的定义域为 D，若对任意 x D，存在 x D，使得 f（x ）f（x ）1，1212则称函数 （ ）具有性质 ，给出下列四个结论：f xM函数 3 不具有性质 ；y x xM函数具有性质 ；M若函数 log （ +2）， 0， 具有性质 ，则 510；yxxtMt8若函数具有性质 ，则 5M a其中，正确结论的序号是三、解答题（共 小题）.616在ABC 中，c3，且 bc，再从条件、条件中选

6、择一个作为已知，求：（） 的值；b（）ABC 的面积条件：sin 2sin ；BA条件：sin +sin 2sin ABC17某公司为了解用户对其产品的满意程度，从 A 地区随机抽取了 400 名用户，从 B 地区随机抽取了 100 名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到的数据按照20，40），40，60），60，80），80，100分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（）从 地区抽取的 400 名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不A低于 60 分的概率；（）从 地区抽取的 100 名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于 80 分的B个数为 ，求 的分

7、布列和数学期望；XX（）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A 地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为 ， 地区抽取的B名用户对4001001该公司产品的评分的平均值为 ，以及 ， 两个地区抽取的A B名用户对该公司产品5002的评分的平均值为 ，试比较 和0的大小（结论不要求证明）018P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAD平面 ABCD PA PD如图，在四棱锥 ， ， ，PA PD， 是线段EAD的中点，连结 BE（）求证： ；BE PA（）求二面角 的余弦值；A PD C（）在线段上是否存在点 ，使得 EF平面 PCD？若存在，求出 的

8、值；若不FPB存在，说明理由19已知椭圆（ ）过点a b 0，且 的离心率为C（）求椭圆 的方程；C（）过点 （ ， ）的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围P 1 0 l C A B |PA| |PB|已知函数 （ ） （20 f x lnx）a+2 x+ax a R（ ）2（）当 时，求曲线 （ ）在点（ ， （ ）处的切线方程；a 0 y f x 1 f 1（）求 （ ）的单调区间；f x（）若 （ ）恰有两个零点，求实数 的取值范围f xa21已知无穷数列满足： ，a 0 a（ ， ）对任意正整数 ，记a +c n N c R n 2*a 2n1n+1n 对任意 ， ， ， ，

9、， 对任意 ， M c| i 1 2 3n |a | 2 M c|i N |a | 2*nii（）写出 ， ；M M23（）当 时，求证：数列c是递增数列，且存在正整数 ，使得 ；c Ma knk（）求集合 M 参考答案一、选择题（共 小题）.10已知全集 ， ， ， ， ， ，集合 ， ， ，则 （）1U 1 0 1 2 3 4 A 0 1 2AU ，A 3 4 ， ，B 1 3 4 ， ，C 0 1 2 ，D 1 4解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，U 1 0 1 2 3 4 A 0 1 2 ， ， A 1 3 4U故选： B已知向量 （ ， ）， （ ， ），且 ，则 （1 2 x

10、 4 | |）2ABCD 8解：根据题意，向量 （ ， ）， （ ， ），1 2 x 4若 ，则 ，则 ，x+8 0 x 8故 （ ， ），则 8 4 | |4，故选： C某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 ，则该三棱锥的体积为13（）ABC 3D 4解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥 ，底面三角形是等腰直角三角形，ABCP ABC ， ，三棱锥的高为AB BC 2 AB BC PO 2该三棱锥的体积为 V故选： A4已知等比数列的各项均为正数，且 ，则a 9log a +log a +log a +log a +log aa n33 13 23 33 43

11、5（）A解：BC 10D 15 （log a +log a +log a +log a +log a log a a a a a）log a ，log 9 10553 13 23 33 43 531 2 3 4 53 33故选： C设抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ， 是 上一点若C ，|PF| 45C y 4x F l x M P2则|PM|（）AB 5CD解： 是 上一点且C ，|PF| 4P PD 4 x+1 x 3 代入 得 ，12y 4x2y2PPPM2，故选： C6已知函数，给出下列四个结论： 函数 （ ）是周期为 的偶函数；f x函数 （ ）在区间f x上单调递减；

12、上的最小值为 ；函数 （ ）在区间f x1将函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与 （ ）的图象重f x g xsin2x合其中，所有正确结论的序号是（A B）CD解：由 （ ） （ ） （2x） （ ），所以 （ ）不是偶函数，f x f xfxcoscos 2x+故错误；因，所以 ， ，而余弦函数在 ， 上单调递减，故正2x 0 0 x确；因，所以 2x，所以 （ ）的最小值为 ，故错 f xx误；将函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度后， f x（ ） （ cosy cos2 x2x）sin2x，故正确；故选： D已知定义在 R 上的奇函数 （ ）满足 （ ） （ ），且

13、 （ ） ，当 （ ， ）7f xf x+2f xf 10x0 1时，（ ）f x设 （ ），2 +x a f 5x，则 ， ， 的大小关系为（a b c） A b a c B a c b C c a b D b c a解：因为当 （ ， ）时， （ ） ，2 +xxx0 1 f x又 （ ） （ ），且 （ ）为奇函数，f x+2 f x f x所以 （ ） （ ） （ ） ，即 ，0 a 0f 5 f 3f 1，故 ，b 0，故 ，c 0所以 b a c 故选： A已知圆 ： ，直线 ： ，则“ 与 相交”是“ ”的（|t| 2）8C x +y 42l x+y+t 0lC2A充分而不必要条

14、件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解：圆心 （ ， ），半径为 ，C 0 02则圆心到直线 的距离为l，因为 与 相交，则有 ，所以d r，lC即，所以“ 与 相交”是“ ”的必要而不充分条件|t| 2lC故选： B9已知双曲线（ ， ）的左焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的一Fa 0 b 0FAC条渐近线的垂线A， 为垂足若FD D |DF| |DA|，则 的离心率为（C）B 2CD解：过点 作D 于点 ，DC AF C|DF| |DA|，点 为C的中点，AF|CF|AF|，而点 （ ， ）到渐近线 c 0Fyx ，即 ，cos AFD （ ） （ ），即 ，c ac 2

15、a 0c a+c 2b 2 c a22222 或 （舍），c 2aca离心率 e2故选： B10在平面直角坐标系中，已知直线 （ ）与曲线 从左至右依次交于 ，y mx m 0 y x3 AxOy， 三点若直线 ： （ ）上存在点 满足 ，则实数 的取| 2kB Cl kx y+3 0 k RP|值范围是（）（ ， ）2 2BDA（， ）（ ， ）2 2 +C解： （ ） 和 都是奇函数，f x y mxx3 为原点，且 ， 两点关于原点对称A CB故原点 为线段O的中点AC | + | |2 | 2| | 2 ， |PB| 1即 为单位圆P 上的点x +y 122直线 ： l y kx+3与

16、单位圆有交点， ，解得 k 2或 k21故选： D二、填空题共 小题，每小题 分，共 分。5 5 25设 若复数 （）为纯虚数，则 a， z111 a Rz i 1+ai02 解：因为复数 （）a+i 为纯虚数，z i 1+ai所以 ，a 0则 ，z i所以 z12故答案为： ； 0 112在（x +） 的展开式中，常数项是6（用数字作答）152解：展开式的通项为C xr 12 3r6要求常数项，只要令 可得 12 3r 0 r 4 T C15456故答案为：1513在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据周髀算经记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个

17、特例：若勾为三，股为四，则弦为五一般地，像（ ， ， ）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称3 4 5为勾股数组若从（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ，3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ，15 17 9 12 15 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12， ）这些勾股数组中随机抽取 组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差16 20 1数列的概率为解：从（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ，

18、），3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ）9 12 15 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 16 20这些勾股数组中随机抽取 组，1基本事件总数 ，n 10被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有：（ ， ， ），（ ， ，3 4 5 6 8），（ ， ， ），（ ， ， ），共 个，9 12 15 12 16 20 410被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率 P故答案为： 若函数 （ ） （ ） 为偶函数，则常数 的一个取值为+co

19、sx（答案不唯14 f xsin x+一） 解：根据题意，函数 （ ） （ ）为偶函数，f x sin x+cosx 则 （ ） （ ），即 （ ）（ ） （ ）+cosx，+cos x sin x+fxf x sinx+变形可得： （ ）sin x+（ ） ，+sin x0则有 ，必有2sinxcos ，则 cos 0 k +，0故答案为： （答案不唯一）设函数 （ ）的定义域为 ，若对任意 ，存在 ，使得 （ ） （ ） ，15 y f xDx Dx Df x1 f x2112则称函数 （ ）具有性质 ，给出下列四个结论：f xM函数 3 不具有性质 ；y x xM函数具有性质 ；M若函数

20、 （y log x+2）， ， 具有性质 ，则 x 0 t M t 510；8若函数具有性质 ，则 a 5M其中，正确结论的序号是 解：对于：函数 的值域为 ，则当 （ ） 时，不存在 ，使得 （ ）y x x R f x0x Rf x1312 （ ） ，即不具有性质 ，故正确；f x1M2函数，满足 （ ） （ ），故函数为偶函数，由于 x x ，f x f x e +e 2即，所以，则对于任意的 ，总存在 ，使得 （ ） （ ） ，即具有性质 ，故正x D x Df xf x21M121确；若函数 （），当 ， 时 ，yx 0 t，若满足 （ ）（ ）f x1 f x2y log x+28

21、 ，则1，即（ ） ，解得 ，故正确；log t+2 3 t 5108 若 函 数， 值 域 满 足 对 称 性 ， 且 不 包 括 ， 则0，解得 ，故不具有性质 ，故错误；a5M故答案为：三、解答题共 小题，共 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。616在ABC 中，求：85， ，且 ，再从条件、条件中选择一个作为已知，c 3 b c（） 的值；b （）ABC 的面积条件：条件：sinB 2sinA；sinA+sinB 2sinC解：选条件：sinB 2sinA（）在ABC 中，因为，所以因为，且 ，c 3， ，b 2a所以化简得 ，2a2 7a+6 0解得 或a 2当时， ，与题

22、意矛盾b 2a 3 c所以 ，所以 a 2 b 4（）因为， （ ，），所以A0所以选条件：sinA+sinB 2sinC（）在ABC 中，因为，所以由因为 得 sinA+sinB 2sinC a+b 2c 6，且 ，c 3， ，a 6 b所以解得 b 4（）由（）知 ，所以 b 4 a 6 b 2因为所以， （ ，），所以A0某公司为了解用户对其产品的满意程度，从 地区随机抽取了17 A名用户，从 地区B400随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到的数100据按照 ， ）， ， ）， ， ）， ，20 40 40 60 60 80分组，绘制成评分频率分布直方图：8

23、0 100如图 （）从 地区抽取的A名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不400低于 分的概率；60（）从 地区抽取的B名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于 分的80100个数为 ，求 的分布列和数学期望；X X（）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为 ， 地区抽取的B1名用户对400100该公司产品的评分的平均值为 ，以及 ， 两个地区抽取的A B2名用户对该公司产品500的评分的平均值为 ，试比较 和0的大小（结论不要求证明）0解：（）由题知 地区共抽取A名用户，其中有名用户对该公司产品的

24、评分不240400低于 分，60所以从 地区抽取的A名用户中随机选取一名，400这名用户对该公司产品的评分不低于 分的概率是60；（）由题可知 的可能取值为 ， ，X 0 1 2.；所以 的分布列如下表：XXP012所以 的数学期望X（）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAD平面 ABCD PA PD， ，18 ，PA PD， 是线段EAD的中点，连结 BE（）求证： ；BE PA（）求二面角 的余弦值；A PD C（）在线段上是否存在点 ，使得 EF平面 PCD？若存在，求出 的值；若不FPB存在，说明理由解：（）证明：因为四边形为菱形，所以 ，AB ADABCD又因

25、为， 为E的中点，所以 ，AD BE AD又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面所以 BE平面 PAD， ，ABCD AD因为平面 PAD，所以 BE PAPA（）连结 PE因为 ， 为PA PD E AD的中点，所以 PE AD由（）可知 BE平面 PAD，所以 ， BE AD PE BE设 ，则 如图，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 ， ， 轴，AD 2a PE a E EA EB EP x y z建立空间直角坐标系 E xyz则所以，因为 BE平面 PAD，所以是平面的一个法向量PAD设平面则的法向量为 （ ， ， ），x y zPCD，所以令，则 ，y 1，得 （），

26、 所以由题知，二面角 为钝角，所以二面角 的余弦值为A PD C A PD C（）当点 是线段F的中点时， 平面 PCD理由如下：PB EF因为点 平面 PCD，所以在线段上存在点 ，使得 EF平面 PCD，等价于FEPB0假设线段上存在点 使得 EF平面 PCDFPB设所，则以由，解得所以当点 是线段F的中点时， 平面 PCD，且EFPB19已知椭圆（ ）过点a b 0，且 的离心率为C（）求椭圆 的方程；C（）过点 （ ， ）的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围P 1 0 l C A B |PA| |PB| 解：（）由题意得解得所以椭圆 的方程为C（）当直线 的斜率不存在时，直线

27、： 与椭圆 交于l x 1，lC两点，所以，所以当直线 的斜率存在时，设其方程为 （ ），y k x 1l由得（ ） ，1+4k x 8k x+4k 4 02222且 （64k 4 1+4k）（ ） （4k 4 16 3k +1） 04222设 （ ， ）， （ ， ），则A x y B x y，1122所以（）1+k |x x（ ） x +x +1|21 212，令 t 1+4k，则 ，t 12所以，当 ，即 时，t 1 k 0 取最大值 |PA| |PB| 3综上所述， 的取值范围是|PA| |PB|已知函数 （ ） （20 f x lnx）a+2 x+ax a（ R ）2（）当 时，求曲

28、线 （ ）在点（ ， （ ）处的切线方程；a 0 y f x 1 f 1（）求 （ ）的单调区间；f x（）若 （ ）恰有两个零点，求实数 的取值范围f xa解：（）当 时， （ ） ，a 0 f x lnx 2x，所以 （ ） ， （ ） f 1 2 f 1 1 所以曲线在点（1， （1）处的切线方程为 +2（ 1），即 + +10fyxx y（）因为 （ ） （ +2） + 2，定义域为（0，+），f x lnxax ax所以当 0 时， （ ）与 （ ）在（0，+）上的变化情况如下：af xf xxf（x）+0（ ）f x最大值所以 （ ）在f x内单调递增，在内单调递减当 0 2 时，

29、 （ ）与 （ ）在（0，+）上的变化情况如下：af xf xxf（x）+00+（ ）f x极大值极小值所以 （ ）在f x，内单调递增，在内单调递减当 2 时， （ ）0，所以 （ ）在（0，+）上单调递增af x f x当 2 时， （ ）与 （ ）在（0，+）上的变化情况如下：af x f xxf（x）+00+（ ）f x极大值极小值所以 （ ）在f x，内单调递增，在内单调递减（ ）由（ ）可知：III II当 0 时， （ ）在f x内单调递增，在内单调递减，a当时， （ ）取得最大值f x （ ）当 时，i 4ln2 4 a 0，所以 （ ）在（ ， ）上至多有一个零点，不符合题意

30、f x 0 +（ ）当 a 时，4ln2 4ii因为， （ ） ， （ ）在f 1 2 0 f x内单调递减，所以 （ ）在f x内有唯一零点因为 ，a 4ln2 4 e所以 且a e因为，且 （ ）在f x内单调递增，所以 （ ）在f x内有唯一零点所以当 时， （ ）恰有两个零点a 4ln2 4 f x当 时， （ ）在0 a 2 f x，内单调递增，在内单调递减，因为当时， （ ）取得极大值f x，所以 （ ）在（ ， ）上至多有一个零点，不符合题意f x 0 +当 时， （ ）在（ ， ）上单调递增，a 2 f x0 +所以 （ ）在（ ， ）上至多有一个零点，不符合题意f x 0 +

31、当 时， （ ）在a 2 f x，内单调递增，在，内单调递减因为当时， （ ）取得极大值f x所以 （ ）在（ ， ）上至多有一个零点，不符合题意f x 0 +综上所述，实数 的取值范围是（， ）a 4ln2 421已知无穷数列满足： ，a 0 a（ ， ）对任意正整数 ，记a +c n N c R n 2*a 2n1n+1n 对任意 ， ， ， ， ， 对任意 ， M c| i 1 2 3n |a | 2 M c|i N |a | 2*nii（）写出 ， ；M M23（）当 时，求证：数列c是递增数列，且存在正整数 ，使得 ；c Ma knk（）求集合 M【解答】（）解：根据题意可得， ，

32、， ， ；M 2 2 M 2 123 （ ） 证 明 ： 当时 ， 对 任 意，n N， 都 有*所以 ，anan+1所以数列是递增数列，a n因为，所以令，则，所以 ，c所以存在正整数 ，使得 ；c Mk n +10k（ ）解：由题意得，对任意 ，都有 且 M MIIIn NMM*n+1nn由（）可得，当时，存在正整数 ，使得 ，所以 ，kkc M c M所以若 ，则c M，又因为 ， ，M M 2 13所以若 ，则 ，c Mc2所以若 ，则c M，即下面证明当时，对任意 *，都有 a 0n Nn下证对任意 ，n N*假设存在正整数 ，使得k令集合因为，则非空集合 存在最小数 S s0，所以

33、 s 20因为，所以 所以，与矛盾所以对任意 ，n N*所以当时， |a | 2n当 时， 2 2 c 0 c +2c 0下证对任意 ， n N |a | |c|*n假设存在正整数 ，使得 k |a | |c|k令集合 ，则非空集合 存在最小数 T t0T k N |a | |c|*k因为 ，所以 ，所以 |a | |c| t 22a c20因为所以所以，且，与矛盾所以当 时， 2 c 0 |a | |c| 2n所以当时，对任意 ，都有 n N |a | 2*n所以 ，即c M因为所以，且，（ ） 证 明 ： 当时 ， 对 任 意，n N， 都 有*所以 ，anan+1所以数列是递增数列，a n因为，所以令，则，所以 ，c所以存在正整数 ，使得 ；c Mk n +10k（ ）解：由题意得，对任意 ，都有 且 M MIIIn NMM*n+1nn由（）可得，当时，存在正整数 ，使得 ，所以 ，kkc M c M所以若 ，则c M，又因为 ， ，M M 2 13所以若 ，则 ，c Mc2所以若 ，则c M，即下面证明当时，对任意 *，都有 a 0n Nn下证对任意 ，n N*假设存在正整数 ，使得k令集合因