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1、 2019-2020 学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 20.0 分）1. 氢原子的电子和原子核中间距离约为，用科学记数法表示正确是( )A.B.C.D.2. 下列因式分解正确的是()B.D.A.C.+=+=2+22222 3 =+ 1) 3) = 92你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形构成的图形为轴对称图形，则还需要涂黑的小正方形序号是()A.B.C.D.或或或或或或或或4. 下列运算中正确的是( )B.D.A.C.) =33 255832 =193 2) =5. 当 为任意实数时，下列分式中一定有意义的是( )B.C.D.A.2212+1
2、中的垂直平分线交BCEFBD= 24，那么的大小是( )A.B.C.D.325458607. 当 = 1时，分式22( )A.B.C.D.等于 0等于 1等于1没有意义8. 在 中，边的距离为( )= 90，AD 平分交于点 ，若D= 32，且 BD：= 9：7，则BC点 到DABA.B.C.D.12181614 上任意一点， 、 分别与BC OE OF两边垂直，等腰三角形+ABCC.D.A.B. 2441585的平分线交BC于点 ，过点 作D D， ，垂直分别为 ， ，下面四个结论：E F=；垂直平分 EF；：=A.B.C.D.4 个1 个2 个3 个二、填空题（本大题共 6 小题，共 12
3、.0 分）11. 因式分解：=_ 312. 已知 = 1是分式方程1= 的根，则 =_，试添加一个条件使得，14. 如图，把长方形折叠后使两部份重合，若1 = 70，则等于_。是BCAD+的最小值为_AC16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了= 1,2，3，4， )的展开式的系数规律(按 的次数由大到小的顺序)：+a 1 1+= +=11 2 1+2221 3 3 11 4 6 4 1+=+33322+4=4+3+2 2+3 4请依据上述规律，写出 2)2016展开式中含 2014项的系数是_三、解答题（本大题共 12 小题，共 68.0
4、分）17.=+若，求 、 的值A B18.如图，已知直线 ， 及a b，以点 为圆心， 为半径作圆，交O a两边于点 ， ，再分M N别以点 ， 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 ，连结M N b A， ， ，则OA MA NA=，请证明 19.1计算：4 + ( 1)20170220.如图，AC 平分，=求证：= 21.化简： + 2 +22.解方程3(1)(2)+= 1 9 32124+=+ 1 1 1223.中，= 12，= 5，点 在ABCDEAB沿 24.如图，中，= 90(1)作的高尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的条件下，若 = 8，= 6，求 CD 的长25.
5、1212 ()，其中 = 先化简，再求值：26.为了美化环境，某地政府计划对辖区内2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前 2 个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积 27.如图，在等腰三角形中， =，点 ， 分别在边 ， 上，且D E AB AC=，连接 BE，ABCCD，线段 BE，CD交于点 F(1)判断与的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点 ， 的直线垂直平分线段 BCA F28.如图，点 为线段C上一点，分别以 、 、 为底作顶角为120的等腰三角形，顶角顶AB AC CBAB点分别为 、 、 点 、 在的同侧，点 在另一侧)D E
6、E F AB的中点，则ABD(1)如图 1，若点 是C=_；(2)如图 2，若点 不是C的中点AB求证：为等边三角形； 连接 CD，若= 90，= 3，请直接写出的长EF - 答案与解析 -1.答案：A解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 10 ，其中1 第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 10，n 为由原数左边起绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 10 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定解：0.00000000529 = 5.29 109 ，故选A2.答案：C解析：本题考查因式
7、分解的定义，正确理解因式分解的定义是答题的关键根据定义逐一选项判断即可.解：2 + 2 +2，故此选项错误；B. +=22，故此选项错误；22C. +3 =3) =+1)，是因式分解，故此选项正确；2D. +9 ，是整式的乘法不是因式分解，故此选项错误2故选C3.答案：B解析：本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义和性质是解题的关键，根据轴对称图形的定义解答即可解：根据题意可知，涂黑或或时，构成的图形为轴对称图形故选B 4.答案：C解析：解：A、 3)2 = 6，故选项错误；B、=2 ，故选项错误；53C、32 = ，故选项正确；19D、2) =，故选项错误3故选：CA、原式利用幂的
8、乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用同分母幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5.答案：C解析：本题考查了分式有意义的条件：分母不为零，分式有意义这几个式子有意义的条件是：分式有意义，分母一定不等于零解： 当 = 0时，分母为零，分式没有意义，故选项错误；B.当 = 1时，分母为零，分式没有意义，故选项错误；C.无论 x 为何值，分母都不为零，分式有意义，故选项正确；D.当 = 2 时，分母为零，分式没有意义，
9、故选项错误故选 C6.答案：C解析：解：是 BC 的垂直平分线，=， =，是的平分线，=，=，= 60，= 24，= 1 (180 60 24) = 323= 90 32 = 58，故选：C由 EF是BC的垂直平分线，得到=，根据等腰三角形的性质得到=，由BD是的平分线，得到=，根据三角形的内角和即可得到结论本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键7.答案：A解析：本题主要考查的是分式的值，先化简后计算是解题的关键先将分式的分子和分母进行分解，然后再进行约分，最后将 = 1代入计算即可解：原式=，11 = 011当 = 1时，
10、原式=故选 A8.答案：C= 32 7 = 14，97= 90，AD 平分，= 14， 即 D 到 AB 的距离为 14故选：C过点 D 作于 E，根据比例求出 CD 的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得=，得到答案本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键9.答案：B解析：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键连接 AO，根据三角形的面积公式即可得到12+ 1= 12，根据等腰三角形的性质进而2求得+的值解：连接 AO，如图，=+= 5，=+= 1+ 1= 12，22 1+= 12，2= 245故选 B
11、10.答案：C解析：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用由中， 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作，根据角平分线的性质，可；又由线段得=，由 ，推出=，继而证得= 垂直平分线的判定，可得垂直平分 EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得：=： ；无法判断CE，故错误解： 中， 的平分线交于点 ，D，BC=，= 90，=，=，故正确； =，=，点 在D的垂直平分线上，点 在A的垂直平分线上，EFEF垂直平分 EF，故正确； = 1，= 1，=，22：=： ，故正确；CE 不一定等于，不一定平行 故错误故选： C11.答案
12、：+ 3)解析：此题主要考查了提公因式法和运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键，本题比较基础，难度不大.先根据提公因式法提取公因式 2 ，再运用公式法进行因式分解即可x解： 3 =2 9) =+ 3)故答案为+ 3)1612.答案：解析：本题主要考查分式方程的解法，先将 的值代入已知方程即可得到一个关于 的方程，解此方程即x k可求出 的值k1= 得，解：将 = 1代入 1 =11，11解得， = 61故答案为 613.答案：=解析：解：若添加=，=故填=要使全等，可加，已知=，=所以可以再添加一组边从而利用来判定其、 添SAS=或=本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等
13、的一般方法有： 、SSS SAS ASA AAS加时注意： 、AAA SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角14.答案：70解析：本题考查平行线的性质和折叠的性质根据折叠的性质及1 = 70可求出的度数，再由平行线计算即可得的性质即可得，从而得，最后由=解：由折叠可得=，1 = 180， 1 = 70，= 55，长方形 ABCD， += 180，= 125，= 55，= 125 55 = 70故答案为7015.答案：13解析：解：连接 BE，与交于点 则就是BE+的最小值，= 1，2等边的边长为 4，= 4，= 2，= 1
14、，= 1，= 2 3，22 ，= (23) + 1 = 132 2 2=+2的最小值为 13故答案为13要求 + 的最小值，需考虑通过作辅助线转化，EM CM的值，从而找出其最小值求解此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用得出 点位置是解题关M键16.答案：4032解析： 本题考查多项式的有关知识、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型首先确定 2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题解： 2)2016展开式中含 2014项的系数，由 2)2016 2 + (2)2016，2015=+2016 2 =可知，展开式中第二项为20
15、16 20152014， 2)2016展开式中含 2014项的系数是4032，故答案为403217.答案：解：()()+=+，)()()()(=，()()()()，()()，()()+ = 1 = 3即，= 2= 1解得：解析：这是一道考查分式的混合运算及解二元一次方程组的题目，解题关键在于掌握分式的基本性质，化为同分母的进行计算18.答案：证明：由作法得= ，= ，在和中=，= 解析：利用作法得到= ，= ，则利用“ ”可判定SSS，从而得到=本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
16、结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的判定与性质19.答案：解：原式= 2 + 2 1= 3解析：首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用20.答案：证明： 平分，=，又=，=，=解析：由“SAS”可证，可得=本题考查了全等三角形的判定和性质，证明21.答案： 2 + a
17、b是本题的关键解析：分析先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得详解解：原式= 2 + 2ab + 2 + 2 + ab 2ab 2 = 2 + ab点睛本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式法则 22.答案：解：(1)3 +解得： = 4，+ 3) = 2 9经检验 = 4是分式方程的解； 1 + 1) = 4解得： = 1，经检验 = 1是增根，分式方程无解解析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方x程的解;(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得
18、到分式方程的解x此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验23.答案：解：由折叠性质可知：在 中，由勾股定理得：= 5，=，+= 13，22=，= 13 5 = 8= ，则中，由勾股定理可知： 2 +设= 12 在 2 =2，即 2 + 64 = (12 2，10解得： = 3= 103解析：由勾股定理可求得则 = 12 ，在 = 13，由翻折的性质可求得= 8， =， ，设= ，中，由勾股定理列方程求解即可本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，在 中，由勾股定理列出关于 的方程是x解题的关键24.答案：解：(1)如图，线段即为所求；CD (2) = 8，= 6，=
19、6 + 8 = 1022= 86 = 4.810解析：本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的作法是解答此题的关键(1)以 为圆心，以一定长为半径作圆，圆与 交两点，再作这两点的垂直平分线即可CAB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论(2)先根据勾股定理求出25.答案：解：原式=AB 1 ，= 21 ，21，= 2，= 2 = 41当 = 时，原式1 +122解析：首先计算括号里面的减法，然后再计算除法，最后再计算减法，化简后，再代入 的值可得a答案此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值26.答案：解：设原计划每月绿化面积为2，根据题意可
20、得：60 = 60 + 2，解得： = 10， 经检验得： = 10是原方程的根，答：原计划每月绿化面积为2解析：直接利用实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前 2 个月完成任务，进而得出等式求出答案此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键27.答案：解：=；在和中，=,，=；(2)连接 AF=，=，由(1)可知=，=，=，点 、 均在线段A F的垂直平分线上，BC即直线垂直平分线段 BCAF解析：本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大(1)证得后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；(2)利用垂直
21、平分线段的性质即可证得结论28.答案：(1)90；(2)延长FC AD H交 于 ，连接 HE，如图 2， =，=，= 120，= 30，同理：= 30，= 30，=，同理，四边形 BDHF、四边形是平行四边形，AECH=，=，= 60，是等边三角形，=，= 60，= 120，=，=，=是等边三角形；3，过 E 作= 60，如图于 M， = 90，= 60，= 30，= 30，= 30，= 1，2= 3，= 2，= 1，= 60，= 30，= 30 + 60 = 90，=，= 1= 1，2= 30，= 23，3中，= 1 + (23) = 21，=+222233由知：是等边三角形，= 213解
22、析：解：(1)如图 1，过 作于 ，连接 CD，HE设= ，则= ，=， =，= 2 ， 是的中点，=，AB= 120，= 30，= ，= ，=，= 60，= 60，= 30，= 120，+= 90；故答案为：90；(2)见答案；见答案(1)如图 1，作辅助线，构建高线，根据等腰三角形三线合一的性质得 =，可得 = 90；(2)作辅助线，构建等边三角形 AEH，先证明四边形 BDHF、四边形=，证明=+是平行四边形，得对AECH边相等，再证明是等边三角形，由证明，可得=，=，SAS所以是等边三角形；过 作于 ，先得M= 2，= 1，证明= 30 + 60 = 90，根据勾股定E理得2321，可
23、得3的长EF=+= 1 + ( ) =22223此题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中 30 度角的性质等知识点；熟练掌握 30 度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键，本题难度适中= 90，= 60，= 30，= 30，= 30，= 1，2= 3，= 2，= 1，= 60，= 30，= 30 + 60 = 90，=，= 1= 1，2= 30，= 23，3中，= 1 + (23) = 21，=+222233由知：是等边三角形，= 213解析：解：(1)如图 1，过 作于 ，连接 CD，HE设= ，则= ，=， =，= 2 ，
24、 是的中点，=，AB= 120，= 30，= ，= ，=，= 60，= 60，= 30，= 120，+= 90；故答案为：90；(2)见答案；见答案(1)如图 1，作辅助线，构建高线，根据等腰三角形三线合一的性质得 =，可得 = 90；(2)作辅助线，构建等边三角形 AEH，先证明四边形 BDHF、四边形=，证明=+是平行四边形，得对AECH边相等，再证明是等边三角形，由证明，可得=，=，SAS所以是等边三角形；过 作于 ，先得M= 2，= 1，证明= 30 + 60 = 90，根据勾股定E理得2321，可得3的长EF=+= 1 + ( ) =22223此题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中 30 度角的性质等知识点；熟练掌握 30 度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键，本题难度适中