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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习1第四单元第四单元三角函数与平面向量三角函数与平面向量2第第25讲讲解斜三角形解斜三角形3 1.掌掌握握正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理，并并能解决一些简单的三角度量问题能解决一些简单的三角度量问题.2.能能够够运运用用正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理等等知知识识和和方方法法解解决决一一些些与与几几何何计计算算有有关的实际问题关的实际问题.41.在在ABC中，已知中，已知BC=12，A=60，B=45，则，则AC=()DA.3 B.3 C.4 D.4 由正弦定理得由正弦定理得 =,所以所以AC=4 .52.在在
2、ABC中，若中，若a、b、c成等比数列，且成等比数列，且c=2a，则，则cosB=()DA.B.C.D.因为因为a、b、c成等比数列，所以成等比数列，所以b2=ac.又又c=2a,所以所以b2=2a2,所以所以cosB=.63.在在ABC中中,sinA:sinB:sinC=2:(+1),则则三角形的最小内角是三角形的最小内角是()A.60 B.45 C.30 D.以上答案都错以上答案都错 由正弦定理由正弦定理 =2R，得得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC,所以所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 (+1).因为因为a为最小值，所以为最小值，所以A为最小内角为最小
3、内角.因为因为cosA=,且且A(0,60)，所以，所以A=45，故选，故选B.B74.某某人人向向正正东东方方向向走走了了x km，他他向向右右转转150,然然后后朝朝新新方方向向走走了了 km，结结果果他他离离出出发发点点恰恰好为好为 千米，那么千米，那么x的值是（的值是（）CA.B.2C.2 或或 D.3 先先根根据据已已知知条条件件画画出出草草图图，再再用用余余弦弦定定理理或或正正弦弦定定理理列列方方程程，解解方方程程即即可，选可，选C.85.已已知知ABC的的三三个个内内角角A、B、C成成等等差差数数列列，且且AB=1,BC=4，则则边边BC上上的的中中线线AD的长为的长为 ，SAC
4、D=.由已知，由已知，B=60，AB=1，BD=2.由余弦定理知由余弦定理知AD=.9又又cosADB=,又又0ADB180，所以所以ADB=30，所以，所以ADC=150，所以所以SACD=ADDCsinADC=.101.正弦定理及变式正弦定理及变式(1)=2R;(2)a=2RsinA,b=,c=2RsinC;(3)sinA=,sinB=,sinC=;(4)sinA sinB sinC=a b c.(5)在下列条件下，应用正弦定理求解在下列条件下，应用正弦定理求解:()已知两角和一边，求其他边和角；已知两角和一边，求其他边和角；()已知两边和其中一边的对角，求另一边已知两边和其中一边的对角，
5、求另一边的对角及其他边和角的对角及其他边和角.2RsinB112.余弦定理及变式余弦定理及变式(1)a2=b2+c2-2bccosA;b2=;c2=a2+b2-2abcosC.(2)cosA=;cosB=;cosC=.a2+c2-2accosB12(3)在下列条件下，应运用余弦定理求解在下列条件下，应运用余弦定理求解:()已知三边，求三个角；已知三边，求三个角；()已知两边和它们的夹角，求第三边和已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；其他两个角；()已知两边和其中一边的对角，求第三已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.(此类问题需要讨论此类问题需要讨论)3.三角形
6、的面积公式三角形的面积公式S=absinC=bcsinA.acsinB134.应用解三角形知识解决实际问题的步骤应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)根据题意画出示意图；根据题意画出示意图；(2)确确定定实实际际问问题题所所涉涉及及的的三三角角形形，并并搞搞清清该三角形的已知条件和未知条件；该三角形的已知条件和未知条件；(3)选选用用正正、余余弦弦定定理理进进行行求求解解，并并注注意意运运算的正确性；算的正确性；(4)给出答案给出答案.14题型一题型一 正弦定理的应用正弦定理的应用例例1 在在ABC中，已知中，已知a=,b=,B=45,求角求角A、C及边及边c.由正弦定理，得由正弦定理，得s
7、inA=,因为因为ba,所以所以BA,所以所以A=60或或120.15 已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角解解三三角角形形问问题题,用用正正弦弦定定理理解解,求求得得sinA=时时，要要注注意意角角A是是锐锐角角还还是是钝钝角角，若若不不能能确确定定，则需分类讨论则需分类讨论.(1)当当A=60时，时，C=75，所以所以c=.(2)当当A=120时，时，C=15，所以所以c=.16题型二题型二 余弦定理的应用余弦定理的应用例例2 钝角钝角ABC的三内角的三内角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，sinC=,(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角，求角
8、A、B、C.17 由由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,得得(c-b)a2+b3=c3,所以所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0,即即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0,所以所以b=c或或b2+bc+c2-a2=0,当当b=c时，有时，有B=C，所以，所以C为锐角，为锐角，又又sinC=,所以所以B=C=45,所以所以A=90，这与，这与ABC为钝角三角形矛盾为钝角三角形矛盾.18当当b2+bc+c2-a2=0时，时，b2+c2-a2=-bc,所以所以cosA=-,所以所以A=120，又又sinC=且且C为锐角，所以为锐角，所以C=45，所以所以B=18
9、0-A-C=15，综上可知综上可知,A=120,B=15,C=45.若将边化角若将边化角,常用三角函数公式来化简常用三角函数公式来化简;若将角化边若将角化边,则常通过因式分解来得到则常通过因式分解来得到.19题型三题型三 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理在平面几何中的综合应用在平面几何中的综合应用例例3 已已知知圆圆内内接接四四边边形形的的边边长长为为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求求四四边边形形ABCD的面积的面积.20 如图，连接如图，连接BD，设四边形设四边形ABCD的面积为的面积为S，则则S=SABD+SBCD =ABADsinA+BCCDsinC,因为四边形因为四边形ABC
10、D为圆内接四边形，为圆内接四边形，所以所以A+C=180，所以所以sinA=sinC,cosA=-cosC,所以所以S=(ABAD+BCCD)sinA=16sinA,21在在ABD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA.在在BCD中，由余弦定理同样可得，中，由余弦定理同样可得，BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA.由由BD2=BD2，得，得20-16cosA=52+48cosA，即即cosA=-,又又A(0,)，所以，所以A=120,所以所以S=16sin120=8 .将四边形转
11、化为三角形问题，创将四边形转化为三角形问题，创造应用解三角形的情景，进而运用有关造应用解三角形的情景，进而运用有关的知识去解决问题的知识去解决问题.22 ABC中中，a、b、c为为内内角角A、B、C的的对对边边，R为为ABC的的外外接接圆圆的的半半径径，如如图图，在在以以O为为圆圆心心，2为为半半径径的的 O中中，BC和和BA是是 O的的弦弦，其其中中BC=2，ABC=45，求弦，求弦AB的长的长.23 ABC的外接圆半径为的外接圆半径为2,由正弦定理得：由正弦定理得：AC=2RsinB=2 ，sinA=，得，得A=30.由余弦定理由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACcosC =4+8
12、+8 cos(A+B)=4(+2)=2(+1)2,所以所以AB=+.24 如如图图，ACD是是等等边边三三角角形形，ABC是是等等腰腰直直角角三三角角形形，ACB=90，BD交交AC于于E，AB=2.(1)求求cosCBE的值；的值；(2)求求AE.25 (1)因为因为BCD=90+60=150，又又DC=AC=BC,所以所以 =15,所以所以cosCBE=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=.(2)在在ABE中，中，AB=2.由正弦定理得由正弦定理得 =,所以所以AE=-.26正正、余余弦弦定定理理体体现现了了三三角角形形中中角角与与边边存存在在一一
13、种种内内在在联联系系，其其主主要要作作用用是是将将已已知知边边、角角互互化化或或统统一一.一一般般的的，利利用用公公式式a=2RsinA等等（R为为外外接接圆圆半半径径），可可将将边边转转化化角角的的三三角角函函数数关关系系，然然后后利利用用三三角角函函数数知知识识进进行行化化简简，其其中中往往往往用用到到三三角角形形内内角角和和定定理理；利利用用公公式式cosA=等等，可可将将有有关关三三角角形形中中的的角角的的余余弦弦化化为为边边的的关关系系，然然后后充充分分利利用用代代数数知知识求边识求边.27学例1 (2009湖湖南南卷卷)在在锐锐角角ABC中中，BC=1,B=2A,则则 的的值值等等
14、于于 ，AC的的取取值值范围为范围为 .2 设设A=B=2.由正弦定理得由正弦定理得 =,所以所以 =1 =2.由锐角由锐角ABC得得0290045.又又0180-3903060,故故3045 cos ,所以所以AC=2cos(,).28 (2007江江苏苏卷卷)在在ABC中中，内内角角A、B、C对对边边长长分分别别为为a、b、c，已已知知c=2,C=.(1)若若ABC的面积等于的面积等于 ,求求a、b;(2)若若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求求ABC的的面积面积.学例229 (1)由余弦定理及已知条件得，由余弦定理及已知条件得，c2=a2+b2-2abcosC,所以所以a2+b
15、2-ab=4,又又SABC=absinC=ab=4,a2+b2-ab=4 a=2 ab=4，b=2.解得解得由由30(2)由题意得，由题意得，sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,所以所以sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA =4sinAcosA，所以所以sinBcosA=2sinAcosA.当当cosA=0时，时，A=，B=，a=,b=;当当cosA0时时,得得sinB=2sinA,由正弦定理得由正弦定理得b=2a.a2+b2-ab=4 a=b=2a，b=,所以所以SABC=absinC=.由由解得解得31本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来