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1、第22讲三角形与全等三角形内容索引基础诊断 梳理自测，理解记忆考点突破 分类讲练，以例求法易错防范 辨析错因，提升考能基础诊断返回 知识梳理1 11.三角形三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而组成的图形叫做三角形.2.三角形边、角关系三角形边、角关系(1)三角形的任何两边之和 第三边；任何两边之差 第三边.(2)三角形的内角和等于 ，三角形的外角和等于 .(3)三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和.(4)三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角.大于小于180360等于大于3.三角形中的主要线段三角形中的主要线段(1)一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三
2、角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点，叫三角形的 ，它到各边的距离相等.(2)连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形三条中线的交点，叫三角形的 .(3)三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.三角形三条高线的交点，叫三角形的 .(4)连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.内心重心垂心4.全等形、全等三角形全等形、全等三角形(1)能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(2)当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫
3、做对应角.5.全等三角形的性质全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等.6.全等三角形的判定全等三角形的判定(1)对应相等的两个三角形全等(SAS)；(2)对应相等的两个三角形全等(ASA)；(3)对应相等的两个三角形全等(AAS)；(4)对应相等的两个三角形全等(SSS)；(5)对应相等的两个直角三角形全等(HL).两边和夹角两角和夹边两角和其中一角的对边三边斜边和一条直角边7.中垂线、角平分线中垂线、角平分线(1)经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中
4、垂线.中垂线是线段的对称轴.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.反之，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(2)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.角平分线所在的直线是角的对称轴.角平分线上的点到角的两边的距离相等.反之，角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上.8.证明全等三角形的三种基本思路证明全等三角形的三种基本思路(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等.另外，在寻求全等条件
5、时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件.1.(2016百色)三角形的内角和等于()A.90 B.180C.300 D.360诊断自测2 212345B2.(2016随州)如图，直线ab，直线c分别与a、b相交于A、B两点，ACAB于点A，交直线b于点C.已知142，则2的度数是()1234解析解析直线ab，1CBA，142，CBA42，ACAB，2CBA90，248.CA.38 B.42C.48 D.5853.(2016毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点1234D512344
6、.(2016湖州)如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD8，则点P到BC的距离是()C解析解析过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PAPE，PDPE，PEPAPD，PAPDAD8，A.8 B.6C.4 D.251234D51234返回ABDCBD(SSS)，故正确；ADBCDB，AODCOD(SAS)，AODCOD90，AOCO，5考点突破返回例例1(2016西宁)下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11
7、cm D.13cm,12cm,20cm考点一三角形三边关系分分析析根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断.A、348，故以这三根木棒不可以构成三角形；B、8715，故以这三根木棒不能构成三角形；C、5511，故以这三根木棒不能构成三角形；D、121320，故以这三根木棒能构成三角形.答案分析规律方法D本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边.规律方法练习1答案分析(2016长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是()A.6 B.3 C.2 D.11A分析分析设第三边为x，则4x10，故符合条件的整数为6.三角形
8、内外角的性质考点二例例2(2016大庆)如图，在ABC中，A40，D点是ABC和ACB角平分线的交点，则BDC.分析分析D点是ABC和ACB角平分线的交点，110ABCACB18040140，DBCDCB70，BDC18070110.答案分析规律方法本题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键.规律方法(2016南京)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图，BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证：BAECBFACD360.练习2证法1：_，BAE1CBF2ACD318035
9、40，BAECBFACD540123，_，BAECBFACD540180360.请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.答案解解BAE1CBF2ACD3180；123180.证法2：过点A作射线AP，使APBD，APBD，CBFPAB，ACDEAP，BAEPABEAP360，BAECBFACD360.考点三全等三角形的判定与性质例例3(2016湘西)如图，点O是线段AB和线段CD的中点.(1)求证：AODBOC；答案证明证明点O是线段AB和线段CD的中点，AOBO，CODO.在AOD和BOC中，AODBOC(SAS).答案规律方法(2)求证：ADBC.证明证明AODBOC，AB，ADBC
10、.本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：利用SAS证出AODBOC；找出AB.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两个三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可.规律方法练习3答案(2016重庆)如图，在ABC和CED中，ABCD，ABCE，ACCD，求证：BE.解解ABCD，DCACAB，又ABCE，ACCD，CABDCE，BE.例例4(2015绍兴)正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角DAG，其中0180，连结DF，BF，如图
11、.(1)若0，则DFBF，请加以证明；全等三角形综合问题考点四答案规律方法解解证明：如答图1，四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，AGAE，ADAB，GFEF，DGFBEF90，DGBE，在DGF和BEF中，DGFBEF(SAS)，DFBF.答图1(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；答案规律方法解解图形(即反例)如答图2：答图2(3)对于(1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.答案规律方法解解补充一个条件为：点F在正方形ABCD内，即若点F在正方形ABCD内，DFBF，则旋转角0.本题主要
12、考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件.规律方法(2015菏泽)如图，已知ABC90，D是直线AB上的点，ADBC.(1)如图1，过点A作AFAB，并截取AFBD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；练习4答案解解CDF是等腰三角形，理由如下：AFAD，ABC90，FADDBC90，在FAD与DBC中，ADBC，FADDBC，AFBD，FADDBC(SAS)，FDDC，CDF是等腰三角形.(2)如图2，E是直线BC上一点，且CEBD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固
13、定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.答案返回解解如图，作AFAB于A，使AFBD，连结DF，CF，AFAD，ABC90，FADDBC90，在FAD与DBC中，ADBC，FADDBC，AFBD，FADDBC(SAS)，FDDC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDADCB，BDCDCB90，BDCFDA90，CDF是等腰直角三角形，FCD45，AFCE，且AFCE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，APDFCD45.返回易错防范返回易错警示系列 22留心“边边角”不可以判定三角形全等试试题题如图，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且CDBE，求证：ADCAEB.错误答案展
14、示错误答案展示证明：在ACD和ABE中，ACDABE，ADCAEB.正确解答分析与反思剖析剖剖析析全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成败，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”、“边角边”、“角角边”及“斜边、直角边”.本题错解的原因是将“边边角”作为判定三角形全等的条件.正确解答分析与反思正确解答正确解答证明：连接BC.ABAC，ABCACB.在DBC和ECB中，DBCECB(SAS)，BDCCEB，ADCAEB.分析与反思分分析析与与反反思思(1)先看一个事实，如图，将等腰ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的DAB和DAC无疑是不全等的，由此可知，
15、有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等.因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟.返回(2)怎样添加辅助线：做个比喻，思考某些题目，在沟通已知和结论的途中，一条河挡住了道路，这时添加必要的辅助线，就好像在河上架起桥梁.添加辅助线的原则一是当分析思考出现上述需要时才添加，而不要在思考伊始就乱连乱添，把图形复杂化，反而把思路搞乱；原则二是顺着思考分析的方向，注意沟通过程中的需要，而水到渠成地添上适宜的一笔；原则三是注意总结在什么情况下需要怎样添加的规律，如对于涉及(指题设或结论中出现)三角形的(中点)中线的问题，可以把该中线延长一倍，再把其端点和中点所在的边的端点相连接，构成三角形全等.