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1、它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。第1页/共290页第一章 行列式第二章 矩阵及其运算第三章 矩阵的初等变换 及线性方程组第四章 向量组的线性相关性基础基本内容用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容第五章 相似矩阵及二次型矩阵理论第2页/共290页一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元(一次)线性方程组:第一章 行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相
2、减消去x2,得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式第3页/共290页方程组的解为由方程组的四个系数确定.第4页/共290页 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表定义定义即第5页/共290页主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式第6页/共290页第7页/共290页第8页/共290页第9页/共290页则二元线性方程组的解为第10页/共290页例例1 1解第11页/共290页二、三阶行列式定义定义记记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式三阶行列式.第12页/共290页(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标
3、第13页/共290页(2)(2)对角线法则对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式第14页/共290页 如果三元线性方程组的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.第15页/共290页若记或第16页/共290页记即第17页/共290页第18页/共290页得第19页/共290页得第20页/共290页则三元线性方程组的解为:第21页/共290页例例 解解按对角线法则，有第22页/共290页例例3 3解解方程左端第23页/共29
4、0页例4 解线性方程组解解由于方程组的系数行列式第24页/共290页同理可得故方程组的解为:第25页/共290页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结第26页/共290页思考题第27页/共290页思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数 的线性方程组,又得第28页/共290页故所求多项式为第29页/共290页1.2 全排列及其逆序数 引例:用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题,答案是:3!=6.将此问题推广:把n个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法.定义:把 n 个
5、不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(或排列).n 个不同的元素的所有排列的种数,通常用 Pn 表示,称为排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列第30页/共290页二、排列的逆序数 定义:在一个排列 i1 i2 is it in 中,若数 isit,则称这两个数组成一个逆序.例如:排列32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序.以 n 个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序 定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.前面的数比后面的数大第31页/共290页3 2 5 1 4逆序数为31故此排列的逆序数为:3+1+0+
6、1+0=0+1+0+3+1=5.例如:排列32514 中,计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.方法1:分别计算出排在1,2,n 前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出 1,2,n 这 n 个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.第32页/共290页 方法2:依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法3:依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.第3
7、3页/共290页例1:求排列32514的逆序数.解:在排列32514中,3排在首位,则3的逆序为0;2的前面比2大的数只有一个3,故2的逆序为1;3 2 5 1 4没有比5大的数,故其逆序为0;个,故其逆序为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序为1.5的前面1的前面比1大的数有3即于是排列32514的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.第34页/共290页解:此排列为偶排列.例2:计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列217986354的逆序数为:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18
8、.(2)n(n1)(n2)21解:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2)t=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为:第35页/共290页 此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列;当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列.(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解:0121233(k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为:此排列当 k 为偶数时为偶排列,当 k为奇数时为奇
9、排列.第36页/共290页1.n个不同的元素的所有排列种数为n!个;2.排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法.三、小结第37页/共290页1.3 n 阶行列式的定义一、概念的引入三阶行列式说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).第38页/共290页 例如 a13a21a32,将行下标标准排列,列下标排列312的逆序数为t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32 的前面取+号.例如 a11a23a32,将行下标标准排列,列下标排列13
10、2的逆序数为t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取号.其中是对列下标的所有排列求和(3!项),t 是列下标排列 p1p2p3 的逆序数.第39页/共290页二、n 阶行列式的定义定义:设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积,并冠以符号(1)t,得到形如 其中 p1p2 pn 为自然数1,2,n 的一个排列,t为排列p1p2 pn的逆序数.的项,第40页/共290页所有这 n!项的代数和称为(由上述数表构成的)n 阶行列式.记作简记作 det(aij).数 aij 称为行列式 det(aij)(第 i 行第 j 列)的元素.
11、即第41页/共290页 说明1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明2.n 阶行列式是 n!项的代数和;说明3.n 阶行列式的每项都是位于不同行,不同列 n 个元素的乘积,的符号为(1)t;说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.第42页/共290页例1:计算对角行列式解:分析.展开式中项的一般形式是从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能 p1=4;若p14,则即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14 a23 a32 a41即第43页/共290页例2:计算上三角行列式
12、解:分析展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项.显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即第44页/共290页显然=1458同理可得下三角行列式第45页/共290页对角行列式第46页/共290页例5:设证明:D1=D2.中b的指数正好是a的行标与列标的差第47页/共290页证:由行列式定义有第48页/共290页第49页/共290页由于 p1+p2+pn=1+2+n,所以故第50页/共290页 行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式.n 阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的 n 个元素的乘积,正负号由下标排
13、列的逆序数决定.三、小结第51页/共290页思考题已知多项式求 x3 的系数.思考题解答含 x3 的项有仅两项,即对应于=x3+(2x3)故 x3 的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43第52页/共290页一、对换的定义1.4 对 换 定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如第53页/
14、共290页二、对换与排列奇偶性的关系 定理1:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.对换 a与b即除 a,b 外,其它元素的逆序数不改变.证明:先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如因此,相邻对换排列改变奇偶性.当 ab 时,对换后 a 的逆序数不变,b 的逆序数增加1;第54页/共290页次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.对一般对换的情形,例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换 a与b第56页/共2
15、90页 推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明:由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),论成立.因此,推第57页/共290页下面讨论行列式的另一种定义形式.对于行列式的任一项其中12ijn为自然排列,其逆序数0,t 为列标排列p1p2pipjpn的逆序数,对换元素第58页/共290页 此时,行标排列12jin的逆序为奇数,而列标排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性.换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变,即t(1jin)+t(p1pjpipn)与t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性.因此
16、,对故第59页/共290页 一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为(1)t.因此,总可以经过若干次对换行列式的任一项,得其中 s 为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数.第60页/共290页定理2:n 阶行列式也可定义为其中s为行标排列q1q2qn的逆序数,并按行标排列求和.定理3:n 阶行列式也可定义为其中 t 为行标排列 p1p2pn与列标排列 q1q2qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论,还可以如下定义第61页/共290页 例1:试判断 a14a23a31a42a56a65 和a32a43a1
17、4a51a25a66是否六阶行列式中的项.解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列,列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数)所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.第62页/共290页 解:将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶
18、数)所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号.例2:在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.第63页/共290页 项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之和为 t(341562)+t(234165)=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数)所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号.第64页/共290页例3:用行列式的定义计算解:由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素,所以Dn=(1)t a1 n-1 a2 n-2
19、 an-1 1 an nDn=(1)t 12(n1)n=(1)t n!即而t=t(n1)(n2)21 n =0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2所以第65页/共290页三、小结1.对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性.2.行列式的三种定义方法:其中 r 为行标排列 p1p2pn与列标排列 q1q2qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.第66页/共290页思考题证明在全部 n 阶排列中(n2),奇偶排列各占一半.思考题解答 证:设在全部 n阶排列中有s个奇排列,t 个偶排列,则 s+t=n！现来证 s=t.若将所有 s个奇排列的前两个数作对换,则这 s 个奇排
20、列全变成偶排列,故必有s=t=若将所有 t 个偶排列的前两个数作对换,则这 t 个偶排列全变成奇排列,如此产生的 s 个偶排列不会超过所有的 s 个奇排列,所以 t s.过所有的 t 个偶排列,所以 s t.如此产生的 t 个奇排列不会超第67页/共290页1.5 行列式的性质 一、行列式的性质行列式DT称为行列式D的转置行列式.记将D的行列互换就得到第68页/共290页证明:记行列式 D=det(aij)的转置行列式为:性质性质1:1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.按定义即 bij=aji(i,j=1,2,n),第69页/共290页又由行列式的另一种表示得,所以,DT=D,结论成立
21、 说明:性质1行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.第70页/共290页性质性质2:2:互换行列式的两行(列),行列式变号.证明证明:设行列式第71页/共290页是由行列式互换 i,j(i j)两列得到.即,当 k i,j 时,bpk=apk;当 k=i,j 时,bpi=apj,bpj=api;第72页/共290页于是其中 t 为排列 p1 pi pj pn的逆序数,设 s 为排列p1 pj pi pn的逆序数.显然 t 与 s 的奇偶性不同,即(1)t=(1)s,所以,第73页/共290页例如第74页/共290页 推论:如果行列式有两行(列)完全相
22、同,则此行列式为零.证明:互换相同的两行,则有D=D,所以D=0.性质性质3:3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.即第75页/共290页 推论推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零证明:第76页/共290页 性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如则D等于下列两个行列式之和:第77页/共290页证明:故结论成立.第78页/共290页 性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.例如第79页/共290页
23、引入记号:用 ri 表示第 i 行,ci 表示第 i 列.在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换.利用性质2交换行列式的第 i,j 两行(列),记作ri rj (ci cj);利用性质6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去,记作ri+rj k(ci+cj k);利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数k,记作ri k(ci k);第80页/共290页二、行列式计算 计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,得到行列式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值 等于其主
24、对角元的乘积.第81页/共290页例1:计算5阶行列式解:Dr2+3r1第82页/共290页r3 2r1r4 3r1第83页/共290页r5 4r1r2 r3第84页/共290页r4+r2r4+r3第85页/共290页r5+2r3r5+2r4第86页/共290页例2 计算解：第87页/共290页第88页/共290页解:将第2,3,n 列都加到第一列得:例3:计算 n 阶行列式第89页/共290页第2,3,n 行都减去第一行得:第90页/共290页例4:设证明:D=D1D2.证明:对D1作行运算 ri+t rj,把D1化为下三角形行列式:第91页/共290页对D2作列运算 ci+kcj,把D2化
25、为下三角形行列式:先对D的前k行作行运算 ri+trj,然后对D的后n列作列运算 ci+kcj,把D化为下三角形行列式:故,D=p11 pkk q11 qnn=D1D2.第92页/共290页例5 计算2n阶行列式其中未写出的元素为0.解：将D2n中的第2n行依次与前面的行对换，换至第二行；再将D2n中的第2n列依次与前面的列对换，换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得第93页/共290页第94页/共290页例6 在n阶行列式中，若则称D为对称行列式；若则称D为反对称行列式；证明：奇数阶反对称行列式的值为0.反对称行列式的主对角元全为0第95页/共290页证明：设 n 阶反对称行列式为：由行列
26、式的性质1可知：第96页/共290页每行提取（1）n为奇数所以D0.第97页/共290页 行列式的6个性质.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式的值.三、小结思考题其中已知 abcd=1.计算行列式,第98页/共290页思考题解答第99页/共290页第100页/共290页1.6 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式引例,考察三阶行列式第101页/共290页 在 n 阶行列式D中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后,留下来的 n1 阶行
27、列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式,记作 Mij.即第102页/共290页记 Aij=(1)i+j Mij,称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.第103页/共290页例如第104页/共290页 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.第105页/共290页 引理:如果一个 n 阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零,那么,行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积,即 D=aij Aij.=aij Aij.第106页/共290页证:当 aij 位于第一行第一列时,又由于 A11=(1)1+1M11=M11,由上节例4,即教材
28、中的例10得:D=a11M11.从而 D=a11A11,即结论成立.第107页/共290页再证一般情形,此时 把D的第 i 行依次与第 i 1行,第 i 2行,第1行交换,得第108页/共290页 再 把D的第 j 列依次与第 j 1列,第 j 2列,第1列交换,得第109页/共290页=(1)i+j aij M11,显然,M11恰好是aij在D中的余子式Mij,即M11=Mij,因此,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立.第110页/共290页 定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin
29、(i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni (i=1,2,n).二、行列式按行(列)展开法则第111页/共290页证:第112页/共290页D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n).由引理得:引理的结论常用如下表达式:(i=1,2,n)第113页/共290页 推论:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.证:把行列式D=det(aij)按第 j 行展开,得把 ajk 换成 aik(k=1,2,n),当 i
30、 j 时,可得第114页/共290页第 j 行第 i 行相同同理 a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j 所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j 第115页/共290页关于代数余子式的重要性质其中第116页/共290页说明：由证明过程可知第117页/共290页第118页/共290页例1:计算行列式解:第119页/共290页例2:计算行列式解:D第121页/共290页例3:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式说明：（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特点是：每列（行）元素都是分别是同一个数的不同方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按递升次序排
31、列,从0到 n1次.第122页/共290页（2）范德蒙德(Vandermonde)行列式的结果是满足条件的所有因子的连乘积，共有个因子.第123页/共290页证:用数学归纳法所以,当 n=2 时,(1)式成立.假设对 n-1 阶范德蒙德行列式,(1)式成立.对 n 阶范德蒙德行列式,作如下变换,ri x1ri-1 (i=n,n1,2,1).得第124页/共290页按第一列展开,并把每列的公因子(xi x1)提出,就有:n1阶范德蒙德行列式则根据归纳假设得证:第125页/共290页例4:计算 解:Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方幂的次数自左至右按递升次序排列,但不是从0到 n1,而是从
32、1递升至 n.若提出各行的公因子,则方幂的次数便是从0升到 n1,于是得:第126页/共290页上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置,由范德蒙行列式知评注:本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子,调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.第127页/共290页例5:计算第128页/共290页解：考虑行列式是中元素的余子式.第129页/共290页一方面，这是一个关于 y 的 n 次多项式，其中的系数是第130页/共290页另一方面，将按最后一列展开：其中是的系数.第131页/共290页比较
33、可得：这种方法称为：加边法（升阶法）.第132页/共290页例6.计算行列式分析：元素的特点是除主对角元外，第 i 列的元素为第133页/共290页解：第134页/共290页第135页/共290页例4.已知求第136页/共290页解：第137页/共290页第138页/共290页第139页/共290页 1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结2.第140页/共290页思考题求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+A1n.设 n 阶行列式思考题解答解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成A11+A12+A1n第141页/共290页1.7 克拉
34、默(Cramer)法则 设线性方程组 若常数项b1,b2,bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,bn全为零,则称此方程组为齐次线性方程组;(1)第142页/共290页齐次线性方程组易知，一定是(2)的解，称为零解。若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。第143页/共290页 定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为第144页/共290页其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即第145页/共290页 证明:用系数
35、行列式D的第 j 列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得 再把 n 个方程相加,得D第146页/共290页 由行列式代数余子式的性质可知,上式中xj 的系数等于D,而 xi(i j)的系数均等于0,等式右端为Dj.于是因此,当 D0 时,方程组(2)有唯一解:Dxj=Dj (j=1,2,n)(2)由于方程组(2)与方程组(1)等价,故也是方程组(1)的唯一解.第147页/共290页 定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理3:如果齐次线性方程组(3)的系数行列式 D0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.(3)定理4:如果齐次
36、线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式 D 必为零.在后面我们将证明:齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式 D 必为零.第148页/共290页例1:用克拉默法则解方程组解:第149页/共290页所以第150页/共290页例2:问 取何值时,齐次方程组有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解:则=0,=2或=3时,齐次方程组有非零解.第153页/共290页例3.求使得 3 点共线的充分必要条件.解：假设这3点位于直线上，其中a,b,c 不同时为 0,即有3点共线等价于上述关于a,b,c 的齐次线性方程组有非零解，其充要条件是第154页/共290页例
37、4.证明 n 次多项式至多有 n 个互异的根.证明：用反证法,假设 n 次多项式有 n 个互异的根：即有第155页/共290页上述关于的齐次线性方程组的系数行列式为：因为互不相等，所以从而齐次方程组只有零解，这与矛盾，故结论成立！第156页/共290页用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.小结第157页/共290页思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?思考题解答不能.此时方程组可能为无解,或
38、有无穷多解.第158页/共290页2.1 矩 阵一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数aij和常数项bj(i=1,2,n,j=1,2,m).对线性方程组的研究可转化为对这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为第159页/共290页 2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中 表示有航班.第160页/共290页 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.第161页/共290页二、
39、矩阵的定义 定义:由mn个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的 m 行 n 列的数表:称为m行n列的矩阵.简称 mn 矩阵.记作简记为:A=Amn=(aij)mn=(aij).这mn个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素.第162页/共290页矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.第163页/共290页 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如:是一个24实矩阵;是一个33复矩阵;第164页/共290页是一个14(实)矩阵;是一个31(实)矩阵;
40、是一个11(实)矩阵.第165页/共290页例如:是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：方阵和方阵的行列式是不同的含义.第166页/共290页记作 称为对角对角矩阵矩阵(或对角阵对角阵）.（2）形如 的方阵,不全为0第167页/共290页 (3)如果En=diag(1,2,n)=diag(1,1,1),则称En为(n阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为E.(4)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).第168页/共290页 (5)元素全为零的矩阵称为零矩阵,mn 阶零矩阵记作Omn或O.
41、AO|A|=0|A|=0AO若|A|=0,称 A 为奇异矩阵；若|A|=0,称 A 为非奇异矩阵；对于 n 阶方阵A 第169页/共290页 (6)设A=(aij)为 n 阶方阵,对任意 i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=aji 都成立,则称A为反对称矩阵;例如:A为对称矩阵,B为反对称矩阵.第170页/共290页例1:设解:由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.得:2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即 aij=bij (i=1,2,m;j=1,2,n)则称矩阵A与B相等,记作A
42、=B.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.例如:为同型矩阵.第171页/共290页三、矩阵的应用例1间的关系式线性变换.第172页/共290页系数矩阵第173页/共290页线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应 单位阵.第174页/共290页线性变换对应这是一个以原点为中心旋转 角的旋转变换.第175页/共290页(1)矩阵的概念:m行n列的数表三、小结(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵对角矩阵;零矩阵.第176页/共290页一、矩阵的加法 定义:设两个同型的 mn 矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与
43、B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即对应元素相加对应元素相加2.2 矩阵的运算第177页/共290页例如:说明:只有当两个矩阵是同型矩阵同型矩阵时,才能进行加法运算.第178页/共290页矩阵加法的运算规律交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).(4)称为矩阵矩阵A A的负矩阵的负矩阵.(5)A+(A)=O,AB=A+(B).(3)A+O=A第179页/共290页二、数与矩阵相乘 定义:数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A 或A,简称为数乘数乘.即注意：与 不同！第180页/共290页设A,B为同型的mn 矩阵,为数:1 A=A.(2)(
44、)A=(A).(1)(3)(+)A=A+A.(4)(A+B)=A+B.矩阵的数乘的运算规律矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算线性运算.第181页/共290页三、矩阵与矩阵相乘引例：设有两个线性变换要求从到的线性变换，将（2）代入（1）：第182页/共290页这个线性变换称为线性变换（1）和（2）的乘积.第183页/共290页线性变换（1）对应的矩阵为：线性变换（2）对应的矩阵为：（1）和（2）的乘积对应的矩阵为由此引出矩阵乘法的定义：第184页/共290页 定义:设A=(aij)是一个 ms 矩阵,B=(bij)是一个sn 矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积 C=(cij)是一个mn 矩阵
45、,其中(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.是 A 中的第 i 行元素与 B 中第 j 列的对应元素相乘再相加.第185页/共290页例1:例2:当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数等同看待！第186页/共290页例3:求AB,其中第187页/共290页 注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.例如:不存在.第188页/共290页利用矩阵的乘法：若记则线性变换可记作第189页/共290页对于线性方程组则方程组可以表示为：线性方程组的矩阵表示形式第190页/共290页若记则上述方程组可以表示为线性方程组的向量表示形式第191页/共290
46、页矩阵乘法的运算规律结合律:(AB)C=A(BC);分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;第192页/共290页当 AB 有意义时，BA 可能无意义！例如:不存在.有意义，但是注意:（1）矩阵乘法一般不满足交换律,即:AB BA，因此要注意矩阵相乘的次序.一般，AB称为A左乘B，或者B右乘A.第193页/共290页AB 和 BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵.例如：是一阶方阵，但是是三阶方阵.第194页/共290页即使 AB 和 BA都有意义，也是同型矩阵，它们也可能不相等.例如:设AB BA.第195页/共290页当 AB
47、 BA 时，称 A 与 B 不可交换；当 AB=BA 时，称 A 与 B 可交换，(2)矩阵的乘法一般不满足消去律，即或从上述例子还可以看到：此时 A 与 B 必为同阶方阵。若但AB=O,则称 B 是 A 的右零因子，A 是 B 的左零因子.第196页/共290页后面会证明：若，则类比：当 a=0 时第197页/共290页特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的乘法中的作用.若 A 为方阵，则有第198页/共290页左乘 A 等于用 乘以A中第 i 行的元素.右乘 A 等于用 乘以A中第 i 列的元素.第199页/共290页若则第200页/共290页方阵的幂
48、和方阵的多项式方阵的幂和方阵的多项式定义设 A 是 n 阶方阵，k 个 A 的连乘积称为 A 的k 次幂，记作即当 m，k 为正整数时，有只有方阵能定义幂只有方阵能定义幂当AB不可交换时，一般当AB可交换时，第205页/共290页定义 设是 x 的 k 次多项式，A 是 n 阶方阵，则称为方阵 A 的 n 次多项式.第206页/共290页若 f(x)，g(x)为多项式，A、B为 n 阶方阵，则f(A)g(A)=g(A)f(A)当 AB 不可交换时，一般f(A)g(B)=g(B)f(A)第207页/共290页特别当矩阵为对角阵=diag(1,2,n)时,则f()=a0E+a1+akk,第208页
49、/共290页第209页/共290页 方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2 E A)=2 E+A A2,(E A)3=E 3A+3A2 A3.因为单位矩阵 E 与任意同阶方阵可交换，所以有第210页/共290页解:例4:第211页/共290页由此归纳出第212页/共290页用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.假设,当k=n时结论成立,对 k=n+1时,第213页/共290页所以对于任意的 k 都有:也可利用二项式定理展开计算.第214页/共290页记于是注意到：第215页/共290页即当时，所以第216页/共290页第217页/共290页四、矩阵的转置 定义
50、:把矩阵A 的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A 的转置矩阵,记作AT.例如:第218页/共290页(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质一般地第219页/共290页证明（4）设首先容易看到与为同型矩阵.因为所以的第 i 行第 j 列的元素为第220页/共290页又因为中第 i 行的元素为 B 中第 i 列的元素中第 j 列的元素为 A 中第 j 行的元素于是的第 i 行第 j 列元素为故第221页/共290页解法1:因为例5:已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT第222页/共290页例6：设（