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1、新课标全国卷文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F是双曲线22:13yCx的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为（）A13B12C23D32【解法】选D由2224cab得2c，所以(2,0)F，将2x代入2213yx，得3y，所以3PF，又 A 的坐标是 (1,3)，故 APF 的面积为133 (21)22，选 D【2017，12】设 A、B 是椭圆 C：2213xym长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足 AMB=120 ，则 m的取值范围是( ) A(0,19,)UB(0,39,)UC(0,14,)UD(0,34,)U【解法】
2、选A图 1 图 2 解法一：设EF、是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点M是椭圆C 短轴的端点时AMB最大，依题意只需使0120AEB1当 03m时，如图1，03tantan6032AEBabm，解得1m，故 01m；2 当3m时，如图2，0tantan60323AEBamb，解得9m综上可知， m 的取值范围是(0,19,)U，故选 A解法二：设EF、是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点M是椭圆C 短轴的端点时AMB最大，依题意只需使0120AEBTT1当 03m时，如图1，01cos,cos1202EA EBu uu r uuu r，即12EA EBEA EBuu u ruu u ruu
3、u r uuu r，带入向量坐标，解得1m，故 01m；2 当3m时，如图2，01cos,cos1202EA EBuu u r u uu r，即12EA EBEA EBuu u ruuu ruu u r uuu r，带入向量坐标，解得9m综上可知， m 的取值范围是(0,19,)U，故选 A【2016，5】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A13B12C23D34解析：选 B 由等面积法可得1112224bcab，故12ca，从而12cea故选 B【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C:
4、y2=8x，的焦点重合，A,B 是 C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=( ) A3 B 6 C9 D12 解：选B抛物线的焦点为(2,0)，准线为x=-2，所以 c=2，从而 a= 4，所以 b2= 12，所以椭圆方程为2211612xy，将 x=-2 代入解得y= 3，所以 |AB|=6，故选 B 【2014，10】 10已知抛物线C：y2=x 的焦点为F，A(x0,y0)是 C 上一点， |AF|=054x，则 x0=( )A A1 B2 C4 D8 解：根据抛物线的定义可知|AF|=001544xx，解之得x0=1 故选 A 【2014，4】4已知双曲线)0(13222ayax的离
5、心率为2，则 a=( ) D A2 B26C25D 1 解：2222232cabaeaaa，解得 a=1，故选 D 【2013，4】已知双曲线C：2222=1xyab(a0，b0)的离心率为52，则 C 的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy12xDy xTIIV解析：选C52e，52ca，即2254ca c2a2b2，2214ba12ba双曲线的渐近线方程为byxa，渐近线方程为12yx故选 C【2013，8】O 为坐标原点， F 为抛物线C：y24 2x的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF|4 2，则 POF的面积为 ()A2 B2 2C2 3D4 答案： C 解析：利用 |PF|
6、24 2Px，可得 xP3 2， yP2 6 SPOF12|OF| |yP|2 3故选 C【2012，4】4设1F、2F是椭圆 E：2222xyab（0ab）的左、右焦点，P 为直线32ax上一点，21F PF是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）A12B23C34D45【解析】如图所示，21F PF是等腰三角形，212130F F PF PF，212| | 2F PF Fc，260PF Q，230F PQ，2|F Qc，又23|2aF Qc，所以32acc，解得34ca，因此34cea，故选择C【2012，10】 10等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线216yx
7、的准线交于A，B 两点，| 4 3AB，则 C 的实轴长为（）A2B2 2C4 D8 【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221xyaa，即222xya（0a） ，抛物线216yx的准线方程为4x，联立方程2224xyax，解得2216ya，因为| 4 3AB，所以222|(2 |)448AByy，从而212y，所以21612a，24a，2a，因此 C 的实轴长为24a，故选择C【2011，4】椭圆221168xy的离心率为（）QxJC=-4+0BA13B12C33D22【解析】选D因为221168xy中，2216,8ab，所以2228cab，所以2 2242cea【2011，9】已知直线l过
8、抛物线的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，12AB，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（） A18B24C36D48【解析】不妨设抛物线的标准方程为220ypx p，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为2px代入22ypx得yp，即2ABp，又12AB，故6p，所以抛物线的准线方程为3x，故16 12362ABPS故选 C二、填空题【2016，15】设直线2yxa与圆22:220Cxyay相交于,A B两点，若2 3AB，则圆C的面积为解析：4由题意直线即为20 xya，圆的标准方程为2222xyaa，所以圆心到直线的距离2ad，所以22222aABa2222 32a，
9、故2224ar，所以24Sr故填4【2015，16】已知 F 是双曲线C:2218yx的右焦点， P 是 C 左支上一点，(0,66)A，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为解：12 6a=1，b2=8， c=3，F(3,0)设双曲线的的左焦点为F1，由双曲线定义知|PF|= 2+|PF1|， APF 的周长为 |PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2，由于 |AF|是定值，只要|PA|+|PF1|最小，即A,P,F1共线，(0,66)A， F1 (-3,0)， 直线 AF1的方程为1366xy， 联立 8x2-y2=8 消去 x 整理得 y2+6 6y-96=0，
10、解得 y=2 6或 y=8 6(舍去 )，此时 S APF=S AFF 1-S PFF 13(662 6)12 6三、解答题【2017，20】设 A，B 为曲线 C：42xy上两点， A 与 B 的横坐标之和为4（1）求直线AB 的斜率；_r rTT（2）设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线AB 平行，且BMAM，求直线AB 的方程解析：第一问： 【解法 1】设1122(,),(,)A xyB xy,AB 直线的斜率为k，又因为A,B 都在曲线C 上，所以4/211xy4/222xy-得2221122121()()44xxxxxxyy由已知条件124xx所以，21211yy
11、xx即直线 AB 的斜率 k=1【解法 2】设),(),(2211yxByxA,AB 直线的方程为y=kx+b, 所以4/2xybkxy整理得：,4, 044212kxxbkxx且421xx所以 k=1 第二问：设00(,)M xy所以200/ 4yx又12yx所以00011,2,12kxxy所以 M（2,1） ，11(2,1)MAxy，22(2,1)MBxy，且AMBM，0AM BMg即05)()(221212121yyyyxxxx，设 AB 直线的方程为yxb，,4/2xybxy化简得0442bxx，所以2212121,24,4byybyybxx由得0772bb所以 b=7 或者 b=-1
12、(舍去 ) 所以 AB 直线的方程为y=x+7 【2016，20】在直角坐标系xOy中，直线:(0)lyt t交y轴于点M，交抛物线2:2(0)Cypx p于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H（1）求OHON； （2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？请说明理由解析（1）如图， 由题意不妨设0t，可知点,M P N的坐标分别为0,Mt，2,2tPtp，2,Nttp，HNPMOyx从而可得直线ON的方程为yxpt，联立方程22pxtypxy，解得22xtp，2yt即点H的坐标为22,2ttp，从而由三角形相似可知22HNOHytONyt（2）由于0,Mt，22,2tHt
13、p，可得直线MH的方程为22tytxtp，整理得2220typxt，联立方程222202tyypxtpx，整理得22440tyyt，则2216160tt，从而可知MH和C只有一个公共点H【2015，20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. ()求 k 的取值范围；()u uu u r uu u rOM ON =12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解：()依题可设直线 l 的方程为 y=kx+1，则圆心 C(2,3)到的 l 距离2|231|11kdk. 解得474733k-+. 所以 k的取值范围是47 47
14、(,)33. ()将 y=kx+1 代入圆 C 的方程整理得(k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 设 M(x1, y1),N(x2, y2)，则1212224(1)7,.11kxxx xkk所以uuuu r uuu rOM ON =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 24 ( +1)8+1k kk=12，解得 k=1 =1k，所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心在直线 l 上，所以 |MN|=2. 【2013，21】已知圆M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆N 内切，圆心
15、 P 的轨迹为曲线C. (1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|. 解： 由已知得圆M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为22=143xy(x2)(2)对于曲线C 上任意一点P(x，y)，
16、由于 |PM| |PN| 2R22，所以 R2，当且仅当圆P 的圆心为 (2,0)时， R2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24. 若 l 的倾斜角为90 ，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3. 若 l 的倾斜角不为90 ，由 r1R 知 l 不平行于x 轴，设 l 与 x 轴的交点为Q，则1|QPRQMr，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x 4)由 l 与圆 M 相切得2| 3 |1kk1，解得 k24. 当 k24时，将224yx代入22=143xy，并整理得7x28x80，解得 x1,246 27，所以 |AB|21k|x2x1|187. 当 k24时，由
17、图形的对称性可知|AB|187. 综上， |AB|2 3或|AB|187. 【2012，20】设抛物线C：pyx22（0p）的焦点为F，准线为l，A 为 C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于 B，D 两点。（1）若 BFD =90， ABD的面积为24，求p的值及圆F的方程；（2）若 A，B， F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与 C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。【解析】（1）若 BFD =90，则 BFD为等腰直角三角形，且|BD|=2p，圆 F的半径|2rFAp，又根据抛物线的定义可得点A 到准线l的距离|2dFAp。因为 ABD 的面积为24，所以1|
18、4 22BDd，即1224 22pp，所以24p，由0p，解得2p。从而抛物线C的方程为24xy，圆 F的圆心 F（ 0，1） ，半径| 22rFA，因此圆 F的方程为22(1)8xy。（2）若 A，B，F三点在同一直线m上，则 AB为圆 F的直径， ADB=90，r根据抛物线的定义， 得1| |2ADFAAB， 所以30ABD， 从而直线m的斜率为33或33。当 直 线m的 斜 率 为33时 ， 直 线m的 方 程 为332pyx， 原 点O 到 直 线m的 距 离12231()3pd。依题意设直线n的方程为33yxb，联立2332yxbxpy，得22 3203xpxpb，因为直线n与 C
19、只有一个公共点，所以24803ppb，从而6pb。所以直线n的方程为336pyx，原点 O 到直线n的距离22631()3pd。因此坐标原点到m，n距离的比值为12236pdpd。当直线m的斜率为33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3。【2011，20】在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（ 2）若圆C与直线0 xya交于A，B两点，且OAOB，求a的值【解析】（1）曲线261yxx与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为322,0 , 322,0故可设C的圆心为3,t，则有2222312 2tt，解得1t则圆C的半径为22313t，所以圆C的方程为22319xy（2）设11,A x y，22,B xy，其坐标满足方程组220,319.xyaxy消去y，得方程22228210 xaxaarr_由已知可得，判别式2561640aa，因此21,28256 1644aaax，从而124xxa，212212aax x由于OAOB，可得12120 x xy y又11yxa，22yxa所以212122()0 x xa xxa由得1a，满足0，故1a