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1、新课标全国卷文科数学汇编 立 体 几 何 一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是（）【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）A17 B 18 C 20 D 28【2016，11】平面过正方体1111ABCDABC D的顶点A，平面11CB D，平面ABCDm，平面11ABB An，则,m n所成角的正弦值为（）A32 B22 C33 D13【2015，6】九章算术是我国古代内容
2、极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的体积约为 162 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有()A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20，则 r=()B A1 B2 C4 D8 【2015，11】【2014，8】【2
3、013，11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D816 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A6 B9 C12 D15【2012，8】平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为2，则此球的体积为（）A6 B4 3 C4 6 D6 3【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，
4、则相应的侧视图可以为（）二、填空题【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCASCB平面，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为_ 【2013，15】已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB12，AB平面 ，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_ 【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD
5、，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积【2016，18】如图所示，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E连结PE并延长交AB于点G（1）求证：G是AB的中点；（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求
6、四面体PDEF的体积 PABDCGE 【2015，18】如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE平面 ABCD，()证明：平面 AEC平面 BED；()若ABC=120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积【2014,19】如图，三棱柱111CBAABC 中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1）证明：;1ABCB（2）若1A
7、BAC,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC 的高.【2013，19】如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160 (1)证明：ABA1C；(2)若 ABCB2，A1C6，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积【2012，19】如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，90ACB，AC=BC=21AA1，D 是棱 AA1的中点（1）证明：平面 BDC1平面 BDC；（2
8、）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 【2011，18】如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD 底面ABCD（1）证明：PABD；（2）若1PDAD，求棱锥DPBC的高 DA1B1CABC1半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积解 析 一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ
9、 不平行的是（）【解法】选 A由 B，ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C，ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由D，ABNQ，则直线 AB平面 MNQ 故 A 不满足，选 A 【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）A17 B 18 C 20 D 28 解析：选 A 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R，则37428833R，解得2R该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14，所以该几何体的表面积为22714 23 284S 14 3 1
10、7故选 A【2016，11】平面过正方体1111ABCDABC D的顶点A，平面11CB D，平面ABCDm，平面11ABB An，则,m n所成角的正弦值为（）A32 B22 C33 D13 解析：选 A 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示通过寻找线线平行构造出平面，即平面AEF，即研究AE与AF所成角的正弦值，易知3EAF，所以其正弦值为32故选 A 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积ABCDA1B1C1D1EF 解法二（原理
11、同解法一）：过平面外一点A作平面，并使平面11CB D，不妨将点A变换成B，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面1ABD，如图所示，即研究1AB与BD所成角的正弦值，易知13ABD，所以其正弦值为32故选 A D1C1B1A1DCBA【2015，6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的体积约为 162 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米
12、有()B A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 解：设圆锥底面半径为 r，依题1162 3843rr ，所以米堆的体积为211163203()54339 ，故堆放的米约为3209 16222，故选 B 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20，则 r=()B A1 B2 C4 D8 解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 2 r2+r 2r+r2+2r 2r=5 r2+4r2=16+20，解得 r=2，故选 B
13、【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是()B A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱 故选 B 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D816 解析：选 A该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V半圆柱1222 48，V长方体4 2 216所以所求体积为
14、 168 故选 A 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B9 C12 D15【解析】由三视图可知，该几何体为 三棱锥 A-BCD，底面BCD 为 底边为 6，高为 3 的等腰三角形，侧面 ABD底面 BCD，AO底面 BCD，因此此几何体的体积为 11(6 3)3932V ，故选择 B【2012，8】8平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的 距离为2，则此球的体积为（）A6 B4 3 C4 6 D6 3【解析】如图所示，由已知11O A，12OO，在1Rt OO A中，球的半径3ROA，所以此球的体积
15、344 33VR，故选择 B【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算 【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由OBDCA半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积等腰三角形及底边上的高构成的平面图形 故选 D 二、填空题【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SC
16、ASCB平面，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为_【解析】取SC的中点O，连接,OA OB，因为,SAAC SBBC，所以,OASC OBSC，因为平面SAC 平面S B C，所以OA平面S B C，设O Ar，3111123323A SBCSBCVSOArrrr ，所以31933rr，所以球的表面积为2436r【2013，15】已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB12，AB平面 ，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_ 答案：92 解析：如图，设球 O 的半径为 R，则 AH23R，OH3R又EH2，EH1在 RtOEH
17、中，R222+13R ，R298 S球4 R292 【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 【解析】设圆锥底面半径为r，球的半径为R，则由223416rR，知2234rR 根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PBQB 设POx，QOy，则2xyR 又PO BBO Q，知22rO Bxy 即2234xyrR 由 及xy可得3,22RxR y 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面
18、平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13 故答案为13 三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积 【解法】（1）90BAPCDP ，,ABAP C DD P 又ABCD ABDP 又AP 平面PAD，DP 平面PAD，且APDPP AB 平面PAD AB 平面PAB，所以 平面PAB
19、平面PAD（2）由题意：设=PAPDABDC a，因为90APD ，所以PAD为等腰直角三角形 即=2ADa 取AD中点E，连接PE，则22PEa，PEAD 又因为平面PAB 平面PAD 所以PE 平面ABCD 因为AB 平面PAD，ABCD 所以AB AD，CD AD 又=ABDC a 所以四边形ABCD为矩形 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积 所以311218233233PABCDVAB AD PEaaaa 即2a 11=2 2 3+2
20、26=6+2 322S 侧 【2016，18】如图所示，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E连结PE并延长交AB于点G（1）求证：G是AB的中点；（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积 PABDCGE 解析：（1）由题意可得ABC为正三角形，故6PAPBPC 因为P在平面ABC内的正投影为点D，故PD 平面ABC 又AB平面ABC，所以ABPD 因为D在平面PAB内的正投影为点E，故DE 平面PAB 又AB平面PAB，所以ABDE 因为ABPD，ABDE，PDDED
21、，,PD DE 平面PDG，所以AB平面PDG又PG 平面PDG，所以ABPG 因为PAPB，所以G是AB的中点（2）过E作EFBP交PA于F，则F即为所要寻找的正投影 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积EGCDBAPF 理由如下，因为PBPA，PBEF，故EFPA同理EFPC，又PAPCP，,PA PC 平面PAC，所以EF 平面PAC，故F即为点E在平面PAC内的正投影 所以13D PEFPEFVSDE16PF EF DE 在PDG中，3
22、2PG，6DG，2 3PD，故由等面积法知2DE 由勾股定理知2 2PE，由PEF为等腰直角三角形知2PFEF，故43D PEFV 【2015，18】如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE平面 ABCD，()证明：平面 AEC平面 BED；()若ABC=120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 解：()BE平面 ABCD，BEAC ABCD 为菱形，BDAC，AC平面 BED，又 AC 平面 AEC，平面 AEC平面 BED 6 分()设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由ABC=120 可得，AG=GC=32x，GB=GD=2x 在 R
23、t AEC 中，可得 EG=32x 在 Rt EBG 为直角三角形，可得 BE=22x 9 分 3116632243EACDVAC GD BEx，解得 x=2 由 BA=BD=BC 可得 AE=ED=EC=6 AEC 的面积为 3，EAD 的面积与 ECD 的面积均为5 所以三棱锥 E-ACD的侧面积为3+2 5 12 分 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积18 解析 （1）因为BE 平面ABCD，所以BEAC 又ABCD为菱形，所以ACBD
24、又因为BDBEB，BD，BE 平面BED，所以AC 平面BED又AC 平面AEC，所以平面AEC 平面BED（2）在菱形ABCD中，取2ABBCCDADx，又120ABC，所以3AGGCx，BGGDx 在AEC中，90AEC，所以132EGACx，所以在RtEBG中，222BEEGBGx，所以3116622sin12023233E ACDVxxxx ，解得1x 在RtEBA，RtEBC，RtEBD中，可得6AEECED 所以三棱锥的侧面积112256632 522S 侧 【2014,19】如图，三棱柱111CBAABC 中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1
25、）证明：;1ABCB（2）若1ABAC,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC 的高.证明：()连接 BC1，则 O 为 B1C与 BC1的交点，AO平面 BB1C1C.AOB1C，2分 因为侧面 BB1C1C为菱形，BC1B1C，4分 BC1平面 ABC1，AB 平面 ABC1，故 B1CAB.6分()作 ODBC，垂足为 D，连结 AD，AOBC，BC平面 AOD，又 BC 平面 ABC，平面 ABC 平面 AOD，交线为 AD，作 OHAD，垂足为 H，OH平面 ABC.9分 CBB1=60，所以 CBB1为等边三角形，又 BC=1，可得 OD=34，由于 ACAB1，11122
26、OABC，2274ADODOA，半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积由 OHAD=ODOA，可得 OH=2114，又 O 为 B1C的中点，所以点 B1到平面 ABC 的距离为217，所以三棱柱 ABC-A1B1C1的高高为217。12分 另解(等体积法)：CBB1=60，所以 CBB1为等边三角形，又 BC=1，可得 BO=32，由于 ACAB1，11122OABC，AB=1，AC=22，9分 则等腰三角形 ABC的面积为2212271()22
27、48，设点 B1到平面 ABC的距离为 d，由 VB1-ABC=VA-BB 1C得73121,8427dd解得，所以三棱柱 ABC-A1B1C1的高高为217。12分 【2013，19】如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160 (1)证明：ABA1C；(2)若 ABCB2，A1C6，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 证明：(1)取 AB的中点 O，连结 OC，OA1，A1B 因为 CACB，所以 OCAB 由于 ABAA1，BAA160，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB 因为 OC OA1O，所以 AB平面 OA1C 又 A1C 平面 OA1C，故 A
28、BA1C(2)解：由题设知ABC 与AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OCOA13 又 A1C6，则 A1C2OC221OA，故 OA1OC 因为 OC ABO，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱 ABCA1B1C1的高 又ABC 的面积 SABC3，故三棱柱 ABCA1B1C1的体积 VSABC OA13 【2012，19】如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，90ACB，AC=BC=21AA1，D 是棱 AA1半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图
29、和俯视图如图所示若该几何体的表面积的中点（1）证明：平面 BDC1平面 BDC；（2）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【解析】（1）在Rt DAC中，ADAC，得：45ADC，同理：1114590ADCCDC，得：1DCDC 由题设知 BCCC1，BCAC，1CCACC，所以BC 平面11ACC A 又1DC 平面11ACC A，所以1DCBC 而DCBCC，所以1DC 平面BDC 又1DC 平面1BDC，故平面 BDC1平面 BDC（2）由已知 AC=BC=21AA1，D 是棱 AA1的中点，设12AAa，ACBCADa，则1 1 123122ABCAB CVaaa 由（1
30、），BC 平面11ACC A，所以BC为四棱锥1BACC D的高，所以13111(3)322B ACC DVaaaa 因此平面 BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1 1 111333112112ABCAB CB ACC DB ACC DaaVVVa【2011，18】如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD 底面ABCD（1）证明：PABD；（2）若1PDAD，求棱锥DPBC的高【解析】（1）因为60DBA，2ABAD，由余弦定理得3BDAD，从而222BDADAB，故BDAD，又PD 底面ABCD，可得BDPD 所以BD 平面PAD，故PABD（2）
31、如图所示，作DEPB，垂足为E已知PD 底面ABCD，则PDBC 由（1）知BDAD，又BCAD，所以BCBD 故BC 平面PBD，BCDE，则DE 平面PBC 因为1AD，2AB，60DAB，DA1B1CABC1半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积所以3BD，又1PD，所以2PB 根据DE PBPD BD，得32DE，即棱锥DPBC的高为32 半径若该几何体的体积是则它的表面积是平面过正方体的顶点平面平面处堆放米如图米堆为一个圆锥的四分一米堆底部的弧长为尺米堆的高为体该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积