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1、会计学1平面向量的数量积的平面向量的数量积的向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ，则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.OAB当当=0时，时，与与 同向；同向；当当=180时，时，与与 反向；反向；当当=90时，时，与与 垂直，记作垂直，记作 。第1页/共22页问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；第2页/共22页平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义说明：说明：已已知知两两个个非非零零向向量量a 和和b，它它们们的的夹夹角角为为 ，我我们们把把数数量量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即，即 （2）a b中间的中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能在向量的运算中不能省略，也不能写写 成成ab，ab 表示向量的另一种运算（外积）表示向量的另一种运算（外积）规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0（1）第3页/共22页问题问题3 3：向量的数量积运算与实数同向量
3、积的线性运算的向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？结果有什么不同？实数同向量积的实数同向量积的线性运算的结果是线性运算的结果是向量向量两向量的数量积是一个实数，是一个两向量的数量积是一个实数，是一个数量数量问题问题4：影响数量积大小的因素有哪些？：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。夹角夹角 的范围的范围 正正负负0数量积符号由数量积符号由cos 的符号所决定的符号所决定第4页/共22页第5页/共22页例例1.已知已知 ，的夹角的夹角=120=120，求求 。解：解：第
4、6页/共22页二、投影二、投影:B1OABba A1OABba 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上(向量向量 在在 方向上方向上)的的投影投影.数量积的几何意义：数量积的几何意义：第7页/共22页 向量向量 在方向在方向 上的上的投影投影是数量是数量,不是向量不是向量,什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？OABabOABabBOAabOABbaOABba第8页/共22页三、平面向量数量积的几何意义三、平面向量数量积的几何意义:第9页/共22页练一练：练一练：第10页/共22页由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：注：常记注：常记 为为 。
5、0证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据第11页/共22页四、平面向量数量积的运算率四、平面向量数量积的运算率:(1)交换律交换律：(2)数乘结合律数乘结合律：(3)分配律分配律：数量积不满足数量积不满足结合律结合律和和消去率消去率第12页/共22页第13页/共22页平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质:设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的 单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则:判断两个向量判断两个向量垂直垂直的依据的依据第14页/共22页求向量求向量模模的依据的依据求向量求向量夹角夹角的依据的依据平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质:第15页/共22页（
6、2 2）判断：）判断：第16页/共22页第17页/共22页1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定；注意：注意：2、两个向量的数量积称为内积，写成 ;与代数中的数ab不同，书写时要严格区分；3、在实数中,若a0,且ab=0,则b=0；但在数量积中,若 ，且 ,不能推出 。因为其中cos有可能为04、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有 不能得5、在实数中（ab)c=a(bc),但第18页/共22页例例2.我们知道，对任意我们知道，对任意 ，恒有，恒有对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？第19页/共22页第20页/共22页第21页/共22页