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1、2.2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积.3.3.平面向量数量积的重要性质 （1 1）ea=ae=；（2 2）非零向量a，b，ab ；（3 3）当a与b同向时，ab=；当a与b反向时，ab=,aa=，|a|=|=;（4 4）cos cos=；（5 5）|ab|a|b|.|.|b|cos|cos|a|cos|cos ab=0=0|a|b|-|-|a|b|a2 2第1页/共42页4.4.平面向量数量积满足的运算律 （1 1）ab=（交换律）；（2 2）（a）b=（为实数）；（3 3）（a+b）c=.baaba bac+bc第2页/共42页5.5.平
2、面向量数量积有关性质的坐标表示 设 向 量 a=（x1 1，y1 1），b=（x2 2，y2 2），则 ab=，由此得到 （1 1）若a=（x，y）,则|a|2 2=或|a|.（2 2）设A（x1 1，y1 1），B（x2 2，y2 2），则A、B两点间的距离|AB|=|=|AB|=|=.（3 3）设a=（x1 1，y1 1），b=（x2 2，y2 2），则ab .x1 1x2 2+y1 1y2 2x2 2+y2 2x1 1x2 2+y1 1y2 2=0=0第3页/共42页基础自测基础自测1.1.已知a=(2,3),=(2,3),b=(-4,7),=(-4,7),则a在b上的投影为（）A.A.
3、B.B.C.C.D.D.解析解析 设a和b的夹角为，|a|cos|cos=|=|a|C第4页/共42页2.2.若|a|=2cos|=2cos 1515，|b|=4sin|=4sin 1515，a，b的夹角为3030，则ab等于（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析B第5页/共42页3.3.已知a=(1,-3),=(1,-3),b=(4,6)=(4,6)，c=(2,3)=(2,3)，则a（bc）等于（）A.A.（2626，-78-78）B.B.（-28-28，-42-42）C.-52C.-52D.-78D.-78 解析解析 a(bc)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).)=(1
4、,-3)(42+63)=(26,-78).A第6页/共42页4.4.向量m=(=(x-5,1),-5,1),n=(4,=(4,x),),mn，则x等于（）A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 解析解析 由mn=0=0，得4(4(x-5)+-5)+x=0=0，得x=4.=4.D第7页/共42页5.5.（20092009江西文，1313）已知向量a=(3,1),=(3,1),b=(1,3),=(1,3),c=(=(k,2),2),若（a-c）b,则k=.解析解析 a-c=(3,1)-(=(3,1)-(k,2)=(3-,2)=(3-k,-1),-1),(a-c)b，b=(1,3),=(1
5、,3),(3-(3-k)1-3=0,)1-3=0,k=0.=0.0 0第8页/共42页题型一 平面向量的数量积【例1 1】已知向量a=(cos =(cos x,sin ,sin x),),b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且x .(1)(1)求ab及|a+b|;|;(2)(2)若f(x)=)=ab-|-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.利利用用数数量量积积的的坐坐标标运运算算及及性性质质即即可可求求解解，在求在求|a+b|时注意时注意x的取值范围的取值范围.思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析第9页/共42页解解 0 0|a+b|=2cos|=2cos x.第
6、10页/共42页(2)(2)由(1)(1)可得f(x)=cos)=cos 2 2x-2cos-2cos x=2cos=2cos2 2x-2cos-2cos x-1 1=2(cos=2(cos x-)-)2 2-.-.x ，cos cos x11，当cos cos x=时，f(x)取得最小值为-；当cos cos x=1=1时，f(x)取得最大值为-1.-1.第11页/共42页 探究提高 （1 1）与三角函数相结合考查向量的数）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公类问题，
7、除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识角恒等变换的相关知识.（2 2）求平面向量数量积的步骤：首先求）求平面向量数量积的步骤：首先求a与与b的夹角的夹角 为为,00，180180，再分别求，再分别求|a|，|b|，然后再求数量积即然后再求数量积即ab=|=|a|b|cos|cos，若知道向量，若知道向量 的坐标的坐标a=(=(x1 1,y1 1),),b=(=(x2 2,y2 2),),则则ab=x1 1x2 2+y1 1y2 2.第12页/共42页知能迁移1 1 （1 1）已知O是A
8、BC内部一点，=0 0，且BAC=30=30，则AOB的面积为（）A.2A.2B.1B.1C.C.D.D.解析解析 由 =0 0得O为ABC的重心.SAOB=SABC.又 cos 30=2 cos 30=2 ，得 =4.=4.SABC=sin 30=1.=sin 30=1.SAOB=.=.D第13页/共42页（2 2）（20092009重庆理，4 4）已知|a|=1,|=1,|b|=6,|=6,a(b-a)=2)=2，则向量a与b的夹角是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 a(b-a)=)=ab-a2 2=2,=2,ab=2+=2+a2 2=3=3 cos cosa，b=a与b的夹角
9、为 .C第14页/共42页题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2 2】已知向量a=(cos(-=(cos(-),sin(-),sin(-),),b=（1 1）求证：ab；（2 2）若存在不等于0 0的实数k和t，使x=a+(+(t2 2+3)+3)b,y=-=-ka+tb，满足xy，试求此时 的最小值.（1 1）可通过求可通过求ab=0=0证明证明ab.（2 2）由由xy得得xy=0=0，即即求求出出关关于于k,t的的一一个个方方程程，从从而而求求出出 的的代代数数表表达达式式，消消去去一一个个量量k，得得出出关关于于 t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小值.思维启迪第15页/
10、共42页(1)(1)证明证明 ab=cos(-=cos(-)cos(-)cos(-)+sin(-)+sin(-)sin(-sin(-)=sin)=sin cos cos-sin-sin coscos=0.=0.ab.（2 2）解解 由xy得xy=0,=0,即a+（t2 2+3+3）b（-ka+tb）=0=0，-ka2 2+（t3 3+3+3t）b2 2+t-k（t 2 2+3+3）ab=0=0，-k|a|2 2+（t3 3+3+3t）|b|2 2=0.=0.又|a|2 2=1=1，|b|2 2=1=1，-k+t3 3+3+3t=0=0，k=t3 3+3+3t.故当t=时，有最小值 .第16页/
11、共42页 探究提高 （1 1）两两个个非非零零向向量量互互相相垂垂直直的的充充要要条条件件是是它它们们的的数数量量积积为为零零.因因此此，可可以以将将证证两两向向量量的的垂垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2 2）向向量量的的坐坐标标表表示示与与运运算算可可以以大大大大简简化化数数量量积积的的运运算算，由由于于有有关关长长度度、角角度度和和垂垂直直的的问问题题可可以以利利用用向向量量的的数数量量积积来来解解决决，因因此此，我我们们可可以以利利用用向向量量的的坐标研究有关长度、角度和垂直问题坐标研究有关长度、角度和垂直问题.第17页/共42页知能迁
12、移2 2 已知平面向量a=（-,-,）,b=(-,-1).=(-,-1).(1)(1)证明：ab;(2)(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(+(t2 2-2)-2)b,y=-=-ka+t2 2b,且xy，试把k表示为t的函数.(1)(1)证明证明 ab=(,-1)=(,-1)ab.第18页/共42页(2)(2)解解 xy,xy=0,=0,即a+(+(t2 2-2)-2)b（-ka+t2 2b）=0.=0.展开得-ka2 2+t2 2-k(t2 2-2)-2)ab+t2 2(t2 2-2)-2)b2 2=0,=0,ab=0,=0,a2 2=|=|a|2 2=1,=1,b2 2=|=|
13、b|2 2=4,=4,-k+4+4t2 2（t2 2-2-2）=0,=0,k=f(t)=4)=4t2 2(t2 2-2).-2).第19页/共42页题型三 向量的夹角及向量模的问题【例3 3】（1212分）已知|a|=1|=1，ab=，（a-b）（a+b）=，求：（1 1）a与b的夹角；（2 2）a-b与a+b的夹角的余弦值.解解 （1 1）（a-b）（a+b）=，|a|2 2-|-|b|2 2=，又|a|=1|=1，|b|=|=3 3分 设a与b的夹角为，则cos cos=0 0 180 180,=45.6=45.6分5 5分第20页/共42页（2 2）（a-b）2 2=a2 2-2-2ab
14、+b2 2|a-b|=|=8 8分（a+b）2 2=a2 2+2+2ab+b2 2=1+2=1+2|a+b|=,|=,设a-b与a+b的夹角为 ，1010分则cos =cos =1212分第21页/共42页 探究提高 （1 1）求求向向量量的的夹夹角角利利用用公公式式coscosa，b=.=.需分别求向量的数量积和向量的模需分别求向量的数量积和向量的模.（2 2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.|a|2 2=a2 2=aa;|;|ab|2 2=a2 222ab+b2 2;若若a=(=(x,y)，则，则|a|=.|=.第22页/共42页知能迁移3 3
15、已知|a|=4,|=4,|b|=8,|=8,a与b的夹角是120.120.(1)(1)计算：|a+b|;|4|;|4a-2-2b|;|;(2)(2)当k为何值时，(a+2+2b)()(ka-b)？解解 由已知，ab=48(-)=-16.=48(-)=-16.（1 1）|a+b|2 2=a2 2+2+2ab+b2 2 =16+2(-16)+64=48,=16+2(-16)+64=48,|a+b|=4 .|=4 .第23页/共42页|4|4a-2-2b|2 2=16=16a2 2-16-16ab+4+4b2 2=1616-16(-16)+464=316=1616-16(-16)+464=3162
16、2,|4|4a-2-2b|=16 .|=16 .（2 2）若(a+2+2b)()(ka-b),),则(a+2+2b)()(ka-b)=0,)=0,ka2 2+（2 2k-1-1）ab-2-2b2 2=0.=0.1616k-16-16（2 2k-1-1）-264=0-264=0，k=-7.=-7.第24页/共42页方法与技巧方法与技巧1.1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代.2.2.要熟练类似（a+b)()(sa+tb)=)=sa2 2+(+(t+s)ab+tb2 2的运算律（、s、tR R）.3.3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2 2=a2 2,将模的运算转化为向量的
17、数量积的运算.4.4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(ab)c (bc)a.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高第25页/共42页失误与防范失误与防范1.1.零向量:(1):(1)0 0与实数0 0的区别，不可写错：0 0a=0 00,0,a+(-(-a)=)=0 00,0,a0 0=0=00 0;(2);(2)0 0的方向是任意的，并非没有方向，0 0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.2.2.ab=0=0不能推出a=0 0或b=0
18、0,因为ab=0=0ab.3.3.ab=ac(a0 0)不能推出b=c.即消去律不成立.4.4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，应为120,120,而不是60.60.第26页/共42页一、选择题1.1.（20092009宁夏文，7 7）已知a=(-3,2),=(-3,2),b=(-1,0)=(-1,0)，向量 a+b与a-2-2b垂直，则实数 的值为（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 a=(-3,2),=(-3,2),b=(-1,0),=(-1,0),a+b=(-3 -1,2 ),=(-3 -1,2 ),a-2-2b=（-3-3，2 2）-2-2（-1-1，0 0）=（-
19、1-1，2 2）.由（a+b）(a-2-2b),),知4 4 +3 +1=0.+3 +1=0.=-=-A定时检测定时检测第27页/共42页2.2.已知向量a,b的夹角为120120，|a|=1|=1，|b|=5|=5，则|3|3a-b|等于（）A.7A.7B.6B.6C.5C.5D.4D.4解析解析 A第28页/共42页3.3.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|=|=|a|b|sin|sin,若a=(-,-1),=(-,-1),b=(1,)=(1,)，则|ab|等于（）A.A.B.2B.2C.2C.2D.4D.4 解析解析|a|=|=|b|=2|=2，
20、ab=-2 =-2 ，cos cos=又0 0，sin sin=|ab|=22 =2.|=22 =2.B第29页/共42页4.4.已知非零向量a,b，若|a|=|=|b|=1,|=1,且ab，又知 （2 2a+3+3b）(ka-4-4b)，则实数k的值为（）A.-6A.-6B.-3B.-3C.3C.3D.6D.6 解析解析 由（2 2a+3+3b）（ka-4-4b）=0=0，得2 2k-12=0,-12=0,k=6.=6.D第30页/共42页5.5.（20092009全国文，8 8）设非零向量a、b、c满足|a|=|=|b|=|=|c|,|,a+b=c,则a,b=（）A.150A.150B.1
21、20B.120C.60C.60D.30D.30 解析解析 a+b=c,|,|c|2 2=|=|a+b|2 2=a2 2+2+2ab+b2 2.又|a|=|=|b|=|=|c|,2|,2ab=-=-b2 2,即2|2|a|b|cos|cosa,b=-|=-|b|2 2.cos cosa,b=-,=-,a,b=120.=120.B第31页/共42页6.6.在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3=3，cos cos B=，则 等于（）A.B.C.3 D.-3A.B.C.3 D.-3 解析解析 由已知b2 2=ac，a+c=3=3，cos cos B=，得 ，得ac=2.=2.则 =acc
22、oscos =2=2B第32页/共42页二、填空题7.7.（20092009江苏，2 2）已知向量a和向量b的夹角为3030，|a|=2|=2，|b|=|=，则向量a和向量b的数量积ab=.解析解析 由题意知ab=|=|a|b|cos 30=2 =3.|cos 30=2 =3.3 3第33页/共42页8.8.设向量a,b满足|a-b|=2|=2，|a|=2|=2，且a-b与a的夹角为 ，则|b|=|=.解析解析 由已知得 即 ab=2.=2.又|a-b|2 2=4=|=4=|a|2 2+|+|b|2 2-2-2ab，|b|2 2=4,|=4,|b|=2.|=2.2 2第34页/共42页9.9.
23、已知向量a=(=(x,1),1),b=(2,3=(2,3x)，则 的取值范围是 .解解析析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求最值；原式=，当x=0=0时，原式=0=0，当x00时，原式=第35页/共42页 当x0 0时，0 0 当x0 0时，0 0 综上所述，取值范围为 答案答案 第36页/共42页三、解答题10.10.已知点A（1,01,0）,B（0,10,1）,C（2sin2sin，coscos）.（1 1）若|=|=|，求tantan的值；（2 2）若（）=1=1，其中O为坐标原点，求sin 2sin 2的值.解解 (1)(1)A(1,0),(1,0),B（0,10,1）,C（2s
24、in2sin,cos,cos），=(2sin=(2sin-1,cos-1,cos),=(2sin),=(2sin,cos,cos-1).-1).|=|=|，第37页/共42页化简得2sin2sin=cos=cos.coscos00（若coscos=0,=0,则sinsin=1,=1,上式不成立）.tan tan=.=.（2 2）=（1 1，0 0），=（0 0，1 1），=（2sin2sin，coscos），=（1 1，2 2）.（）=1 =1，2sin 2sin+2cos+2cos=1.=1.sin sin+cos+cos=.=.（sin sin+cos+cos）2 2=.=.sin 2si
25、n 2=.=.第38页/共42页11.11.设n和m是两个单位向量，其夹角是6060，求向量a=2=2m+n与b=2=2n-3-3m的夹角.解解 由|m|=1|=1，|n|=1|=1，夹角为6060，得mn=.=.则有|a|=|2|=|2m+n|=|=|b|=|=而ab=（2 2m+n）（2 2n-3-3m）=mn-6-6m2 2+2+2n2 2=-=-设a与b的夹角为，则cos cos=故a，b夹角为120.120.第39页/共42页12.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2sin2 2 +cos 2 +cos 2C=1.=1.（1 1）求角C的大小；（2 2
26、）若向量m=(3=(3a,-,-b),),向量n=（a,-,-），mn，（m+n）(-(-m+n)=-16.)=-16.求a、b、c的值.解解 （1 1）2sin2sin2 2 +cos 2+cos 2C=1=1，cos 2cos 2C=1-2sin=1-2sin2 2 =cos=cos（A+B）=-cos=-cos C.2cos 2cos2 2C+cos+cos C-1=0.cos-1=0.cos C=或-1.-1.C（0 0，），C=.=.第40页/共42页（2 2）mn，3 3a2 2-=0-=0，即b2 2=9=9a2 2.又(m+n)（-m+n）=-16=-16，-8-8a2 2-b2 2=-16=-16，即a2 2+=2.+=2.由可得a2 2=1,=1,b2 2=9,=9,a=1,=1,b=3.=3.又c2 2=a2 2+b2 2-2-2abcos cos C=7,=7,c=.=.返回返回 第41页/共42页谢谢您的观看！第42页/共42页