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1、.word.二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为 20f xaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0120,0 xx两个正根即两根都大于 0120,0 xx一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0120 xx大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f大
2、致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f综合结论（不讨论a）00200baa f 00200baa f 00 fa表二：（两根与k的大小比较）.word.分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf综合结论（不讨论a）020bkaa f k 020bkaa f k 0kfa表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,两根有且仅有一根在nm,（图象有两种情况，只
3、画了一种）一根在nm,，另一根在qp,，qpnmkkk.word.大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q综合结论（不讨论a）0nfmf 00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xm xn，（图形分别如下）需满足的条件是.word.（1）0a 时，00f mf n；（2）0a 时，00f mf n对以上的根的分布表中一
4、些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：若 0f m 或 0f n，则此时 0f mf n 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为 10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间nm,，即0，此时由0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260 xmxm有且一根在区间3,0，求m的取值 X
5、 围。分析：由 300ff即141530mm得出15314m ；由0 即2164 260mm得出1m 或32m，当1m 时，根23,0 x ，即1m 满足题意；当32m 时，根33,0 x ，故32m 不满足题意；综上分析，得出15314m 或1m 根的分布练习题根的分布练习题例 1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，XX 数m的取值 X 围。解：由 2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的 X 围。例 2、已知方程2210 xmxm有两个不等正实根，XX 数m的取值 X 围。解：由 0102 200mf 218010mmmm 32 232 20mmm或.word
6、.032 2m或32 2m 即为所求的 X 围。例 3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，XX 数m的取值 X 围。解：由 210mf即 2210mm122m 即为所求的 X 围。例 4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于 1，XX 数m的取值 X 围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则 010ff4 310m13m 即为所求 X 围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1，由0 计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例 1、当关于x的方程的根满足下列条件时，XX 数a的取值 X 围：（1）
7、方程2270 xaxa的两个根一个大于 2，另一个小于 2；（2）方程227(13)20 xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（3）方程022 axx的两根都小于 0；变题：方程022 axx的两根都小于1（4）方程22(4)2530 xaxaa的两根都在区间 1,3上；（5）方程042 axx在区间（1，1）上有且只有一解；例 2、已知方程042 mxx在区间1，1上有解，XX 数m的取值 X 围例 3、已知函数f(x)1)3(2xmmx的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，XX 数m的取值 X 围检测反馈：1若二次函数2()(1)5f xxax在区间1(,1)
8、2上是增函数，则(2)f的取值 X 围是_2若、是关于 x 的方程06kkx2x2的两个实根,则22)1()1(的最小值为3若关于x的方程2(2)210 xmxm 只有一根在(0,1)，则m_4对于关于 x 的方程 x2+(2m1)x+42m=0 求满足下列条件的 m 的取值 X 围：（1）有两个负根（2）两个根都小于1（3）一个根大于 2，一个根小于 2（4）两个根都在（0，2）（5）一个根在(2，0)，另一个根在(1，3)（6）一个根小于 2，一个根大于 4（7）在（0，2）有根（8）一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数1)(2xmxxf的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，X
9、X 数m的取值 X 围。.word.2 2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨设 002acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2图象最大、最小值 nfxfmfxfminmax abfxfmfnfxf2,maxminmax mfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则 nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（2）若nmab,2，则 nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin
10、另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 2220f xaxaxb a在2,3上有最大值 5 和最小值 2，求,a b的值。解：对称轴012,3x ，故函数 f x在区间2,3上单调。（1）当0a 时，函数 f x在区间2,3上是增函数，故 maxmin32f xff xf32522abb10ab；（2）
11、当0a 时，函数 f x在区间2,3上是减函数，故 maxmin23f xff xf25322bab13ab 例 2、求函数 221,1,3f xxaxx的最小值。解：对称轴0 xa（1）当1a 时，min122yfa（2）当13a时，2min1yf aa；（3）当3a 时，min3106yfa.word.改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当2a 时，max3106f xfa；（2）当2a 时，max122f xfa。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当1a 时，max3106f xfa，min122f xfa；（2）当12a时，max3106f x
12、fa，2min1f xf aa；（3）当23a时，max122f xfa，2min1f xf aa；（4）当3a 时，max122f xfa，min3106f xfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t 上的最小值。解：对称轴02x（1）当2t即2t 时，2min43yf ttt；（2）当21tt 即12t 时，min21yf；（3）当21t 即1t 时，2min12yf ttt例 4、讨论函数 21f xxxa的最小值。解：2221,11,xaxxaf xxxaxaxxa，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x ，12x，当12a ，1122a，12a 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当12a 时，min1324f xfa；（2）当1122a时，2min1f xf aa；（3）当12a 时，min1324f xfa