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1、.word 格式.二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax bxc 0根的分布情况22设方程ax bxc0a 0的不等两根为x1,x2且x1 x2，相应的二次函数为fx ax2bxc 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0两个正根即两根都大于 0一正根一负根即一个根小于0，一个大于 0 x1 0 x2x1 0,x2 0 x1 0,x2 0大致图象a（0）得出的结论大致图象a（0）得出的结论
2、综合结论（不讨论）.专业资料.学习参考.0b 02af0 0 0b 02af0 0f0 0 0b 02af0 0 0b 02af0 0f0 0a 0b 02aa f0 0 0b 02aa f0 0a f0 0.word 格式.表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1 k,x2 kx1 k,x2 kx1 k x2大致图象a（0）得出的结论大致图象a（0）得出的结论kkk 0b k2afk 0 0b k2afk 0fk 0 0b k2afk 0综合结论（不讨论 0b k2afk 0fk 0a）0b k2aa fk 0 0b k2aa fk 0a
3、 fk 0.专业资料.学习参考.word 格式.表三：（根在区间上的分布）两根有且仅有一根在m,n内分布情况两根都在m,n内一根在m,n内，另一根在（图象有两种情况，只画了一种）p,q内，m n p q大致图象a（0）得出的结论大致图象a（0）得出的结论综合结论（不讨论）满足的条件是.专业资料.学习参考.0fm 0fn 0bm n2afm fn 0 fm 0fn 0fmfn 0或fp f q 0fp 0 fq 0 0fm 0fn 0bm n2afm fn 0 ffffm 0n 0fmfn 0或fp f q 0p 0 q 0fm fn 0 fmfn 0fpfq 0a根在区间上的分布还有一种情况：
4、两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1 m,x2 n，（图形分别如下）需.word 格式.fm 0fm 0（1）a 0时，；（2）a 0时，fn 0fn 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：若fm0或fn 0，则此时fmgfn 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x2 0在区间1,3上有一根，因为f1 0，所以mx m2x2 x1mx2，另一根为222，由1 3得mm2 m 2即为所求；3方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即
5、0，此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x 4mx2m6 0有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：由f3gf0 0即14m15m3 0得出23 m 1532；由 0即16m 42m6 0得出m 1或m，当m 1时，根x 23,0，即1421533m 1满足题意；当m 时，根x 33,0，故m 不满足题意；综上分析，得出3 m 或m 11422根的分布练习题根的分布练习题例 1、已知二次方程2m1x 2mxm1 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。2解：由2m1gf00即2m1m1 0，从而得2
6、1 m 1即为所求的范围。2例 2、已知方程2x m1xm 0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由.专业资料.学习参考.word 格式.02m18m 0m1m 32 2或m 32 2 0m 12g2m 0m 0f0 00 m 32 2或m 32 2即为所求的范围。例3、已知二次函数y m2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由m2gf1 0即m2g2m1 02 m 例 4、已知二次方程mx22m3x4 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0gf104g3m10m 围。（注：本题
7、对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例 1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程x axa 7 0的两个根一个大于 2，另一个小于 2；221即为所求的范围。21即为所求范3（2）方程7x(a13)xa a2 0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；22（3）方程x ax 20的两根都小于 0；2变题：方程x ax 20的两根都小于12（4）方程x(a4)x2a 5a 3 0的两根都在区间1,3上；22（5）方程x ax 40在区间（1，1）上有且只有一解；2例 2、已知方程x mx 4
8、0在区间1，1上有解，求实数m的取值范围2例 3、已知函数f(x)mx(m 3)x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围2检测反馈：122222若、是关于 x 的方程x2kxk60的两个实根,则(1)(1)的最小值为1若二次函数f(x)x(a1)x5在区间(,1)上是增函数，则f(2)的取值范围是_23若关于x的方程x(m2)x2m1 0只有一根在(0,1)内，则m_24对于关于 x 的方程 x2+(2m1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围：（1）有两个负根（2）两个根都小于1（3）一个根大于 2，一个根小于 2（4）两个根都在（0，2）内（5）一个根
9、在(2，0)内，另一个根在(1，3)内（6）一个根小于 2，一个根大于 4.专业资料.学习参考.word 格式.（7）在（0，2）内 有根（8）一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数f(x)mx x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。22 2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨设fx ax bx c 0a 0，则二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：2m n b2am bb n即m,n2a2ab m n2a图象最大、最小值（1）若（2）若fxmax fmfxmax maxfn,fmfxmax fnfxmin fnb fxmin
10、f 2afxmin fm对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：bb b m,n，则fxmax maxfm,f,fn，fxmin minfm,f,fn；2a2a2abm,n，则fxmax maxfm,fn，fxmin minfm,fn2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。.专业资料.学习参考.word 格式.二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭
11、区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数fx ax22ax2ba 0在2,3上有最大值 5 和最小值 2，求a,b的值。解：对称轴x012,3，故函数fx在区间2,3上单调。3ab2 5a 1fxmax f3（1）当a 0时，函数fx在区间2,3上是增函数，故；f x f 22b 2b 0 min（2）当a 0时，函数fx在区间2,3上是减函数，故例 2、求函数fx x22ax1,x1,3的最小值。解：对称轴x0 a（1）当a 1时，ymin f1 22a（2）当1 a 3时，ymin fa1a2；（3）当a 3时，fxmax f2b2 5a 1f x f 3 3ab2 2b 3 min
12、ymin f3106a改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当a 2时，fxmax f3106a；（2）当a 2时，fxmax f1 22a。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当a 1时，fxmax f3106a，fxmin f1 22a；（2）当1 a 2时，fxmax f3106a，fxmin fa1a；2（3）当2 a 3时，fxmax f1 22a，fxmin fa1a；2（4）当a 3时，fxmax f1 22a，fxmin f3106a。例 3、求函数y x 4x3在区间t,t 1上的最小值。2解：对称轴x0 2（1）当2t即t 2时，ymi
13、n ftt 4t 3；（2）当t 2t 1即1t 2时，ymin f2 1；2（3）当2 t 1即t 1时，ymin ft 1t 2t2例 4、讨论函数fx x xa 1的最小值。2.专业资料.学习参考.word 格式.x2 xa1,x a解：fx x xa 12，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线x xa1,x a2111111x ，x，当a ，a，a 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）222222因此，（1）当a 11113时，fxmin fa；（2）当 a 时，fxmin fa a21；22224（3）当a 1 13时，fxmin fa224.专业资料.学习参考.