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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳2 +bx + c =1、一元二次方程 ax 0根的分布情况设方程 ( )的不等两根为 1, 2 且 ，相应的二次函数为 f x = ax + bx + c = ，方程的ax2 +bx +c = 0 a 0 x xx x ( ) 2 01 2根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0( )x1 0, x2 0, x2 0一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0(x 0得出 - b 0f D 0- b 02a 0 0ff(0
2、) 0得出 - b 0的2a结 论 ( ) f 0- b 02a 0 0综 合 结 论 （ 不 讨 论 D 0 - 0 0 D 0 - b 02aa f 0 0a f(0) 0）1表二：（两根与k 的大小比较）分布 情 况两根都小于 k 即x k x k, x 2k一个根小于 k ，一个大于 k 即x1 k 0得出 - 0 D 0- b k2a 0f kf(k) 0得出 - bk的2a结 f k 0- b k2a 0综合结论（ 不 讨 论 D D 00 - b b k k2a 2a a f (k) 0 a f (k) 0a f k( ) 0）2表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 (m,
3、n)内两根有且仅有一根在 (m,n)内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 (m,n)内，另一根在 (p,q)内， m n p 0 ( )f m 0 ( )f n 0b - m n2af(m) f (n) 0( ) ( )f n 0 ( )f q 0 f m f n( ) ( ) 或 0 ( )f m 0 ( )f n 0b - m n 2a f (m)( )f n0 ( ) ( ) 或 ( ) ( ) ( )(m) f (n) 0f p 0 f p f q ( )f q 000综合结论（不讨论 f (m) f (n) 0ff( ) ( )m f n ( ) ( )p f q00）根在区间上的
4、分布还有一种情况：两根分别在区间 (m,n)外，即在区间两侧 ，（图形分别如下）需满x n1 , 2足的条件是3 f m 0 时， ； （2） a 0 时， ( )0 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 (m,n)内有以下特殊情况：1 f (m)= 0 f (n)= 0 f (m)g f (n) 0 m n若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 (m,n)内，从而可以求出参数的值。如方程 ( ) 在区mx2 - m + 2 x + 2 = 0mx - m + x + = x - mx - 2
5、 2 2 2 间(1, 3)上有一根，因为 f (1)= 0，所 以 ( ) ( )( )，另一根为 ，由 得2 2 2 1 2 1 3 m m m 3 即为所求；2 (m,n) D = 0 D = 0方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 - 4mx + 2m + 6 = 0 有且 一 根 在 区 间 (-3, 0)内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由 f (-3)g f (0) 0 即 (14m +15)(m + 3) 0 得 出 15
6、16m - 4 2m + 6 = 0 m = -1 33 m- - D = 0 ( ) m = m = -1 x = -2(-3, 0)；由 即 得出 或 ，当 时，根 ，即214 2m = - 31 - m m b b n - m - n 即 2a 2abb - , - m nm n2a 2a5图象最大、最小值ff( ) ( )x = f mmax(x) f (n)=minff( ) ( ) ( )x = max f n , f mmax ( ) ( )f x = f nmax- b( ) x= f min 2af(x) f (m)=min对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向
7、下，都只有以下两种结论：b - b- b（1）若 - m n，则 ( )max ( ) ( ) ， ( ) ( ) ( ) ； , = f m f f n f = min f m , f , f nf x , xmax , min2 2a 2aa b（2）若 - m n，则 f (x)max = maxf (m), f (n)， f (x) minf (m), f (n), min =2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 f (x)= ax - ax + + b(a )在2, 3上有最大值 5 和最小值 2，求 a,b 的值。2 2 2 0改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？62本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？2 4 3例 3、求函数 在区间 上的最小值。f x = x2 + x - a +1例 4、讨论函数 ( ) 的最小值。7