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1、2.1引言系统在时域中数学模型的建立微分方程：输入-输出法高阶微分方程系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应系统分析的方法：时域分析方法频域分析方法第1页/共117页本章主要内容：系统时域分析法：1、微分方程的求解直接求解微分方程；零输入响应和零状态响应的概念和求解。2、根据单位冲激响应求系统的响应；卷积积分。3、算子符号表示法。第2页/共117页2.2系统数学模型（微分方程）的建立例2-1图2-1所示为RLC并联电路的，求并联电路的端电压v(t)与激励源iS(t)间的关系iS(t)iRiCiLRLC+-v(t)第3页/共117页电阻：电感：电容：第4页/共117页例：输入
2、激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。第5页/共117页第6页/共117页第7页/共117页第8页/共117页 例例：如如图图所所示示电电路路，试试分分别别列列出出电电流流i1(t)、电流电流i2(t)和电压和电压uO(t)的数学模型。的数学模型。第9页/共117页第10页/共117页第11页/共117页第12页/共117页2.3用时域经典法求解微分方程设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，则可以用一高阶的微分方程表示复杂的系统。第13页/共117页完全解完全解由由齐次解齐次解与与特解特解组成。组成。齐次解齐次解：齐次方程的解。：齐次方程
3、的解。齐次方程：齐次方程：齐次解的形式是形如 的线性组合。第14页/共117页微分方程的特征方程特征方程的n个根 ，称为微分方程的特征根第15页/共117页1、在、在特征根各不相同特征根各不相同(无重根无重根)的情况下，微分的情况下，微分方程的齐次解：方程的齐次解：2、若特征方程、若特征方程有重根有重根，为为k阶重根，则相应阶重根，则相应于于 的微分方程的齐次解将有的微分方程的齐次解将有k 项，为：项，为：第16页/共117页例例2-3 求解微分方程求解微分方程的齐次解。的齐次解。解：解：特征方程：特征方程：特征根：特征根：齐次解：齐次解：第17页/共117页1、求微分方程求微分方程的齐次解。
4、的齐次解。2、求微分方程求微分方程的齐次解。的齐次解。答案：答案：第18页/共117页3、求微分方程求微分方程的齐次解。的齐次解。答案：第19页/共117页4、求微分方程求微分方程的齐次解。的齐次解。答案：第20页/共117页特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。自由项：将激励代入微分方程右端，化简后的函数式第21页/共117页第22页/共117页注意：注意：1、表中的、表中的B、D是待定系统。是待定系统。2、若自由项由几种函数组合，则特解也为其相应的组合。、若自由项由几种函数组合，则特解也为其相应的组合。3、若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一、若表中所列特解与齐次解重复，则应
5、在特解中增加一项：项：t倍乘表中特解。若这种重复形式有倍乘表中特解。若这种重复形式有k次，则依次增加次，则依次增加倍乘倍乘t，t2，tk诸项。诸项。例如：齐次解：例如：齐次解：激励：激励：特解：特解：第23页/共117页例例2-4 给定微分方程给定微分方程如果已知：如果已知：(1)e(t)=t2；(2)e(t)=et，分别求两，分别求两种情况下此方程的特解。种情况下此方程的特解。解解：(1)将将e(t)=t2代入方程右端，得自由项代入方程右端，得自由项t2+2t 特解特解rp(t)=B1 t2+B2t+B3 将特解代入原微分方程，得：将特解代入原微分方程，得：第24页/共117页等式两端各对应
6、幂次的系统相等，等式两端各对应幂次的系统相等，可得：可得：特解为：特解为：第25页/共117页(2)将e(t)=et代入方程右端，得自由项2et 特解rp(t)=Bet 将特解代入原微分方程，得：Bet+2Bet+3Bet=2Bet 特解为：第26页/共117页1、求微分方程求微分方程的特解。的特解。2、求微分方程求微分方程的特解。的特解。答案：答案：第27页/共117页3、求微分方程求微分方程的特解。的特解。答案：第28页/共117页完全解=齐次解+特解边界条件：在(0+t)内任一时刻t0(通常为0+)时r(t)及其各阶导数(最高为n-1阶)的值。即由此可确定Ai，得到完全解。第29页/共1
7、17页线性常系数微分方程的经典解法：1、通过特征方程写出齐次解(含待定系数)；2、通过自由项写的特解，并代入原方程中确定特解的待定系数；3、完全解=齐次解(含待定系数)+特解，根据边界条件列方程组，求齐次解中的系数。第30页/共117页特征方程的根特征方程的根 称为系统称为系统 的的“固有频固有频率率”，决定齐次解的形式。，决定齐次解的形式。齐次解齐次解自由响应。自由响应。特解特解强迫响应强迫响应第31页/共117页2.4起始点的跳变从0-到0+状态的转变系统加入激励之前的状态：系统加入激励之前的状态：起始状态起始状态(0-状态状态)系统加入激励之后的状态：系统加入激励之后的状态：初始条件初始
8、条件(0+状态，导出的起始状态，导出的起始状态状态)第32页/共117页对于一个具体的电网络，系统的0-状态就是系统中储能元件的储能情况，即电容上的起始电压和电感中的起始电流。当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫作用于电容以及没有冲激电压(或阶跃电流)强迫作用于电感，则换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。第33页/共117页例2-6 如图所示RC一阶电路，电路中无储能，起始电压和电流都为0，激励信号e(t)=u(t)，求t0系统的响应电阻两端电压解：根据KVL和元件特性写出微分方程 当输入端激励信号发生跳变时，电容二端电压保持连续值，仍等于0，而电阻两端电压将产生跳变，即
9、特征根：齐次解：特解：0 代入起始条件：完全解：第34页/共117页当系统已经用微分方程表示时，系统的当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含是否包含 及其各阶导数。及其各阶导数。它的原理是根据它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。及其各阶导数应该平衡相等。第35页/共117页解法二：用匹配法 将 代入 得 （2-1）为保持方程左右两端各阶奇异函数平衡，可以判断，等式左端最高阶项应包含 ，所以 在0点发生跳变。将（2-1）两端同时做积分得 第36
10、页/共117页例2-7 电路如图，在激励信号电流源 的作用下，求电感支路电流 。激励信号接入之前系统中无储能，各支路电流 解：根据KCL和电路元件约束性得 左端二阶导数含有 项，则一阶导数在0点发生跳变，在0点没有跳变。两端做积分得 第37页/共117页第38页/共117页系统的特征方程：由于 在t0+时刻之后为零，因而特解为零，完全解为齐次解，利用初始条件代入式子 求得系数 第39页/共117页为简化一下推导，引入符号考虑到电路耗能与储能的不同相对条件，分成以下几种情况给出的表达式（1）电阻 等幅正弦振荡 第40页/共117页（2）产生衰减振荡，电阻R越大衰减越慢，R较小时，衰减很快，以致不
11、能产生振荡，即以下两种情况（3）（4）第41页/共117页将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统列写微分方程将联立微分方程化为一元高阶微分方程齐次解Aet(系数A待定)求特解已定系数的完全解-系统之响应完全解=齐次解+特解(系数A待定)0-状态0+状态第42页/共117页2.5零输入响应和零状态响应完全响应的分解：1、自由响应和强迫响应2、零输入响应和零状态响应第43页/共117页零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。记作rzi(t)零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零)，由系统的外加激励信号所产生的响应。记作rzs(t)
12、第44页/共117页系统方程：系统方程：零输入响应：零输入响应：，无特，无特解。解。r(k)(0+)=r(k)(0-)零状态响应：零状态响应：第45页/共117页第46页/共117页例2-8 已知系统方程式 若起始状态为激励信号 ，求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应以及完全响应。解：方程式的齐次解是：，由激励信号 求出特解是1。则完全响应表达式为 由方程式两端奇异函数平衡条件判断出 在起始点无跳变，自由响应 强迫响应 第47页/共117页求零输入响应齐次解为：初始条件 则：于是：求零状态响应 先求出 对 两边求积分得r(t)的一阶导数有跳变，r(t)为连续，所以 代入 得：A=
13、-1，第48页/共117页将自由响应 强迫响应零输入响应 零状态响应第49页/共117页常系数线性微分方程描述的系统的线性的扩展：1、响应的可分解性：系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。2、在LTI系统中，重点研究零状态响应3、为求解零状态响应，可以利用卷积方法求解4、零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于外加激励信号呈线性，称为零状态线性。5、零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。6、把激励信号与起始状态都视为系统的外施作用，则系统的完全响应对两种外施作用也呈线性。第50页/共117页例：给定系统微分方程系统的激励为 ，起始
14、状态为 ，求系统的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。第51页/共117页解：1)求齐次解 特征方程为：特征根为：齐次解为：第52页/共117页2)求特解 自由项为：特解为：第53页/共117页3)求完全解 完全解为：利用冲激函数匹配法判断跳变：第54页/共117页完全响应为：自由响应为：强迫响应为：第55页/共117页4)求零输入响应 第56页/共117页5)求零状态响应 利用冲激函数匹配法判断跳变：第57页/共117页第58页/共117页2.6冲激响应与阶跃响应冲激响应冲激响应h(t)：系统在单位冲激信号：系统在单位冲激信号(t)的激励的激励下产生的零状态响
15、应。下产生的零状态响应。阶跃响应阶跃响应g(t)：系统在单位阶跃信号：系统在单位阶跃信号u(t)的激励的激励下产生的零状态响应。下产生的零状态响应。第59页/共117页第60页/共117页nm时nm时，表达式还将含有(t)及其相应阶的导数(m-n)(t)、(m-n-1)(t)、(t)。系数可以通过冲激函数匹配法求出第61页/共117页第62页/共117页2.6卷积 卷积积分指的是两个具有相同自变量卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数的函数f1(t)与与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量相卷积后成为第三个相同自变量t的的函数函数f(t)。这个关系表示为这个关系表示为做变量代换可得第63页
16、/共117页线性时不变系统中，(t)作用于系统产生的响应为h(t)则(t-)作用于系统产生的响应为h(t-)e()(t-)作用于系统产生的响应为e()h(t-)作用于系统时，响应为第64页/共117页第65页/共117页卷积的运算：011021-21、改换图形中的横坐标；2、把其中的一个信号反褶；第66页/共117页0113、把反褶后的信号做位移，移位量是t，t0图形右移；t0图形左移；t4、两信号重叠总分相乘 ；5、完成相乘后图形的积分。第67页/共117页011tt-2第68页/共117页011tt-2第69页/共117页第70页/共117页第71页/共117页2.7卷积的性质(一)卷积代
17、数1.交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)证：令令例第72页/共117页 2.分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证第73页/共117页第74页/共117页 3.结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)证第75页/共117页第76页/共117页(二)卷积的微分与积分与信号的运算相似，卷积也有微分、积分性质，但与信号的微分、积分运算有所区别。(1)微分第77页/共117页证由卷积的第二种形式，同理可证第78页/共117页(2)积分第79页/共117页证同理可证 第80页/共117页应用类似
18、的推导，可导出卷积的高阶导数和多重积分的运算规律。若 s(t)=f1(t)*f2(t)则 s(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)其中,i、j取正整数时为导数的阶次；i、j取负整数时为重积分的阶次。第81页/共117页例第82页/共117页(三)与冲激函数或阶跃函数的卷积(1)f(t)*(t)=f(t)证 从f(t)与(t)卷积结果可知(t)是卷积的单位元。第83页/共117页(2)f(t)*(t-t0)=f(t-t0)证 第84页/共117页第85页/共117页(3)(4)第86页/共117页Next第87页/共117页011021011021第88页/共117页021第89页
19、/共117页021第90页/共117页第91页/共117页第92页/共117页011021第93页/共117页第94页/共117页011021011第95页/共117页第96页/共117页2.8用算子符号表示微分方程第97页/共117页第98页/共117页(一一)算子符号基本规则算子符号基本规则两条基本规则两条基本规则:1、对算子多项式可以进行因式分解，但不能进、对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因子相消。行公因子相消。即第99页/共117页？第100页/共117页2、算子的乘除顺序不可随意颠倒。、算子的乘除顺序不可随意颠倒。即第101页/共117页（二）用算子符号建立微分方程i(t)
20、iL(t)e(t)C=1F第102页/共117页电感：电容：第103页/共117页i(t)iL(t)e(t)第104页/共117页第105页/共117页第106页/共117页（三）传输算子概念传输算子第107页/共117页i1(t)vo(t)e(t)1F1H2H+-+-i2(t)2-1(a)(1)(2)(3)第108页/共117页对方程(1)求微分对方程(2)求微分由上式可得第109页/共117页第110页/共117页2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应(1)给定：解：特征方程：特征根：方法一：齐次解：第111页/共117页第112页/共117页特征根齐次解：方法二：第113页/共117页(2)给定：解：特征方程：特征根：齐次解：第114页/共117页(3)给定：解：特征方程：特征根：齐次解：第115页/共117页第116页/共117页感谢您的观看！第117页/共117页