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1、信号与系统信号与系统2.1 引言信号与系统信号与系统系统数学模型的时域表示系统数学模型的时域表示 时域分析时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。方法的基础。本章我们主要讨论输入、输出描述法。本章我们主要讨论输入、输出描述法。输入输出输入输出描述：描述：一一元元N阶微分方程阶微分方程状态变量状态变量描述：描述：N元元一一阶微分方程阶微分方程信号与系统信号与系统系统分析过程系统分析过程经典法：经典法：前面电
2、路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有关的问题有待进一步解决有待进一步解决 h(t)；卷积积分法：卷积积分法：任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法新方法)列写方程列写方程：根据元件约束，网络拓扑约束：根据元件约束，网络拓扑约束解方程解方程：经典法经典法双零法双零法零输入零输入：可利用经典法求可利用经典法求零状态零状态：利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解变换域法：变换域法：主要是拉普拉斯变换主要是拉普拉斯变换信号与系统信号与系统2.2 微分方程的 建立信号与系统信号与系统微分方程的列写微分方程的列写
3、根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑约束网络拓扑约束列写系列写系统的微分方程。统的微分方程。元件特性约束元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KV
4、L。信号与系统信号与系统电感电感电阻电阻电容电容根据根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。例：例：求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。解：解：微分方程的列写微分方程的列写信号与系统信号与系统微分方程的列写微分方程的列写用用 p 表示微分算子，即有表示微分算子，即有1/p 表示积分算子，即有表示积分算子，即有算子法列写电路的微分方程算子法列写电路的微分方程由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：
5、信号与系统信号与系统用消元法求得。用消元法求得。例：例：列写列写 与与 的微分方程。的微分方程。解：解：微分方程的列写微分方程的列写信号与系统信号与系统即得即得 写成微分方程形式为写成微分方程形式为 微分方程的列写微分方程的列写信号与系统信号与系统微分方程的一般形式微分方程的一般形式或者或者一个线性连续一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。信号与系统信号与系统2.3 微分方程经典求解法信号与系统信号与系统2.4 起始点的跳变信号与系统信号与系统2.5 零输入响应和零状态响应信号与系统信号与系统 也称也称 固有响应固有响应，由系统本
6、身特性决定，与外加激励形，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于式无关。对应于齐次解齐次解。形式取决于形式取决于外加激励外加激励。对应于。对应于特解特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起
7、始状态等于不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：自由响应：暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义各种系统响应定义信号与系统信号与系统2.7 卷积信号与系统信号与系统卷积在工程和数学上的应用：卷积在工程和数学上的应用：u统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。u概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。u声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。u电子工程与信号处理中，
8、任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。u物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。信号与系统信号与系统h(t)e(t)r(t)?h(t)?e(t)r(t)h(t)e(t)?r(t)1定定义义与物理意与物理意义义历历史：史：1919世世纪纪，欧拉，泊松，杜阿美，欧拉，泊松，杜阿美尔尔卷积与反卷积互逆卷积与反卷积互逆i)卷卷积积ii)反卷反卷积积1：系统辨识系统辨识iii)反卷反卷积积2 2：信号检测信号检测卷积定义卷积定义信号与系统信号与系统定定义义：设有两个设有两个 函数函数 ,积分积分称为称为 的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积，记
9、为，记为卷积定义卷积定义信号与系统信号与系统利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应这就是系统的这就是系统的零状态响应。零状态响应。若把它作用于冲激响应为若把它作用于冲激响应为h(t)的的LTIS，则响应为，则响应为 物理意物理意义义：将信号分解成冲激信号之和，借助系将信号分解成冲激信号之和，借助系统统的的冲激响冲激响应应h(t)，求出系求出系统对统对任意激励信号的零状任意激励信号的零状态态响响应应，即：，即：任意信号任意信号任意信号任意信号 可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和信号与系
10、统信号与系统卷积的计算卷积的计算可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确 积分变量改为积分变量改为时延时延3.相乘相乘4.乘积的积分乘积的积分2.1.对对延时延时t，(-t)=t-积分结果为积分结果为t t 的函数的函数1、借助于阶跃函数、借助于阶跃函数 u(t)确定积分限确定积分限2、利用图解说明确定积分限、利用图解说明确定积分限其中，积分限的确定是非常关键。其中，积分限的确定是非常关键。信号与系统 翟懿奎信号与系统信号与系统Ot()tf
11、1111-Ot()tf2323Ot t()t t-2f23Ot t()t t-tf223Ot t()t t1f111-卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统下限下限下限下限 上限上限上限上限t-3t t-0-0t t t t：移动的距离：移动的距离：移动的距离：移动的距离-11 1 ,未移动未移动的坐标是浮动的。的坐标是浮动的。的坐标是浮动的。的坐标是浮动的。当当 从从 到到 变化时，变化时，对应的对应的 从左向右移动。从左向右移动。Ot t231-1,卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统Ot t()t t1f111-t -1两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积
12、为0，即积分为，即积分为0卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统-1 t 1Ot t()t t1f111-时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0 0，积分下限，积分下限-1-1，上，上限限t t。卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统1 t 2即即 1 t 2Ot t()t t1f111-卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统2 t 4即即 2 t 4两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为，即积分为0信号与系统信号与系统卷积结果卷积结果Ot()tf1111-Ot()tf2323)(tftO2421-1卷积图解过程卷积图
13、解过程信号与系统信号与系统一般规律：一般规律：()各段上积分上下限的确定各段上积分上下限的确定:上限取小上限取小,下限取大下限取大卷积结果所占的时宽两卷积函数所占的时宽之和卷积结果所占的时宽两卷积函数所占的时宽之和()积分限由积分限由 的范围决定。的范围决定。积分上下限和卷积结果区间的确定积分上下限和卷积结果区间的确定一、积分上下限确定一、积分上下限确定二、卷积结果区间的确定二、卷积结果区间的确定A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D-1+1信号与系统信号与系统例：例：求：求：卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统解：解：图图解法解法卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与
14、系统iv)相乘；相乘；v)求积分求积分当当 时时当当 时时当当 时时当当 时时当当 时时卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统卷积图解过程卷积图解过程信号与系统信号与系统 由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。是非常关键的。上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也可借助于阶跃函数可借助于阶跃函数 u(t)确定积分限。确定积分限。信号与系统信号与系统常见函数的卷积常见函数的卷积常见函数的卷积：
15、（常见函数的卷积：（P57 表表2-3）利用利用常见函数的卷积公式常见函数的卷积公式与与卷积的性质卷积的性质相结合，可以方便地求较复杂信号相结合，可以方便地求较复杂信号的卷积运算。的卷积运算。信号与系统信号与系统2.8 2.8 卷积的性质卷积的性质信号与系统信号与系统一代数性质一代数性质1交换律交换律2分配律分配律3结合律结合律系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算信号与系统信号与系统系统并联系统并联系统并联，框图表示：系统并联，框图表示：结论：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于子系统并联时，总系统的冲激响应等于各各子系统冲激响应之和子系统冲激响应之和。返回返回返回返回信号与系
16、统信号与系统系统级联系统级联系统级联，框图表示：系统级联，框图表示：结论：结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。子系统冲激响应的卷积。信号与系统信号与系统二时移性质二时移性质设设则则信号与系统信号与系统三微分积分性质三微分积分性质g(t)的一重积分的一重积分积分性质积分性质微分性质：微分性质：推广：推广：设设推广：推广：信号与系统信号与系统三微分积分性质三微分积分性质微分性质积分性质联合使用微分性质积分性质联合使用对于卷积很方便，特别是下面这个公式。对于卷积很方便，特别是下面这个公式。微分微分 n 次，次，积分积分 m 次次m
17、=n,微分次数积分次数微分次数积分次数 信号与系统信号与系统四四.与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：推广：信号与系统信号与系统例例 利用微积分性质求卷积利用微积分性质求卷积对其中一个函数求导，得到冲激函数，另一个函数积分，卷积对其中一个函数求导，得到冲激函数，另一个函数积分，卷积结果不变。结果不变。例例2-17 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统例例 利用微积分性质求卷积利用微积分性质求卷积信号与系统信号与系统 例例2-18 已知已知，试求试求。信号与系统信号与系统例例2-19 已知信号已知信号如下，求卷如下，求卷积积(1)(2)(3)信号与系统信号与系统（1）信号与系统信号与系统（2）信号与系统信号与系统（3）