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1、文科数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 13 页）2023 年高三 2 月大联考（全国乙卷）文科数学全解全析及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B D B A A C A B C D 1D【解析】因为2iz，所以2iz，所以111i11i2(1i)444iz故选 D 2 C【解 析】因 为40240,1,2,32xAxxxx NN，1,0,2,3,4B ，所 以0,2 3,AB 故选 C 3B【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知p为
2、“1x，(1)0 x x”，故选 B 4D【解析】对于 A，函数tanyx是奇函数，但在(0,)上不是单调函数，故 A 错误.对于 B，因为函数ln(1)ln(1)yxx的定义域为(1,1)，所以不符合题意，故 B 错误.对于 C，21xyx是奇函数，但211xyxxx在(0,1)上单调递减，故 C 错误.对于 D，令()ee2xxf xx，则()f x的定义域为R，且()ee2()xxfxxf x，所以ee2xxyx是奇函数.因为ee20 xxy，所以函数ee2xxyx在R上单调递增，故 D 正确.故选 D.5B【解析】设正三棱柱111ABCABC的棱长为 2如图，取11AB的中点E，连接1
3、AEC E，则CD1C E，且1CDC E，所以CD与1AC所成的角即为1C E与1AC所成的角，1AC E或其补角即为所求 在1AC E中，12 2AC，5AE，13C E 因为22211ACAEC E，所以1AC E为直角三角形，且190AEC，所以11510sin42 2AEAC EAC故选 B 6A【解析】令1n，得11362aa，解得16a 由632nnSa，得11623nnSa，两式相减，整理文科数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 13 页）得12nnaa，所以数列na是以 6 为首项，2为公比的等比数列，所以16(2)nna，所以6 1(2)1(2)nnS 2 1(2)n，
4、所以55452(12)116(2)16Sa 故选 A 7 A【解析】由22()sin(2)cossin6f xxxx得()sin(2)6f xx，所以()sin(22)6g xx.又3x 是函数()g x的一个极值点，所以当3x 时，函数()g x取得最值，所以22()362kkZ，()26kk Z因为02，所以6故选 A 8C【解析】当0 x 时，0 x，所以22()aafxxxxx，又函数()f x是偶函数，所以当0 x 时，2()af xxx，则2()2afxxx，所以(1)2fa 又(1)1fa，所以曲线()yf x在点(1(1)f，处的切线方程为(2)21yaxa，所以21a ，21
5、aa，解得1a 故选 C 9A【解析】连接,AC BD.由120A，45B及正弦定理，得4 3sinsinBDACBADABC，解得6BD，2 6AC 在ABD中，120BAD，ABAD，6BD，所以2 3ABAD因为四边形ABCD内接于半径为2 3的圆，它的对角互补，所以AC BDAB DCAD BC，所以12 62 3()BCCD，6 2BCCD，所以四边形ABCD的周长为4 3+6 2故选 A 10B【解析】设ABxBCy，则3CDxy，且0303033xyxy，即030303xyxy 作出不等式组030303xyxy表示的平面区域,如图中OMN(不含边界)，其面积为13 32OMNS
6、92 若线段ABBCCD，能构成三角形，则还要满足3(3)(3)xyxyxxyyyxyx，即323232xyyx 文科数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 13 页）作出不等式组323232xyyx表示的平面区域，如图中GEF（不含边界），其面积为133222GEFS98 由几何概型概率计算公式得，线段ABBCCD，能构成三角形的概率918942P 故选 B 11C【解析】设椭圆 C 的右焦点为F，连接AF由椭圆的性质得，AFBF，=2FAF，即椭圆上存在点A，满足=2FAF，即以FF为直径的圆与椭圆有公共点.设椭圆 C 的半焦距为(0)c c，所以cb，所以222cac，即212e，所以
7、椭圆C的离心率的取值范围为2 1)2，故选 C 12D【解析】（1）比较ab，的大小：因为121.111，所以12ln1.1ln11，所以ab（2）比较bc，的大小：令()ln(1)f xxx，则11()1xfxxx 当01x时，()0fx；当1x 时，()0fx，所以当0 x 时，()(1)0f xf，即ln1xx，所以121ln1111，即bc（3）比较ac，的大小：因为ln1xx，所以11ln1xx，即1ln1xx，所以11101ln1.1=ln1101111，即ac 综上，acb故选 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132213yx【解析】由题意知，22
8、a，1a.又因为2cea，所以2c，所以3b，所以双曲线E的方程为2213yx 故填2213yx.142 2,)【解析】由ab，得22mm 因为0m，所以2222 2mmmm，当且仅当2m 时取等号，所以实数的取值范围是2 2,)故填2 2,)152 33【解析】由2a，224bcbc知，222bcbca，由余弦定理，得2221cos22bcaAbc 文科数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 13 页）又0A,所以3A.由sinsin2sinbBcCA及正弦定理，得2224bca 联立，得4 323bc，所以ABC的面积为114 32 332 3sin223323SbcA 故填2 33.1
9、648【解析】由ABBD，ACCD知，四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接,OB OC，则OAOBOC因为ABBCCA，所以ABC为等边三角形，所以ABC的外接圆的圆心为ABC的中心H连接OH，AH，则OH 平面ABC.设ABBCCAa，OHh，则点D到平面ABC的距离为2h，所以四面体ABCD的体积为221332346Vhaha，即238 36ha，248ha 设四面体ABCD外接球O的半径为R，则222OAOHAH，即22223()32Rha2h 213a216hh.设216()(0)m xxxx，则32216216()2xm xxxx，令32160 x，则2x，当02x时，()
10、0m x，当2x 时，()0m x，所以()m x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，所以()m x在2x 处取得极小值，即最小值，所以当2h 时，R取得最小值，为2 3，所以四面体ABCD外接球 O 的表面积的最小值为2441248R .故填48.说明：13.若写成2233xy或22103yx 或22330 xy，均给分.14.若写成2 2也给分.15.若写成23或4 36也给分.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分
11、）【解析】（1）由题意知，11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.412.912.813.2 13.511.212.611.812.813.212.0（1 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 13 页）250.0，（2 分）所以25012.520 x，（3 分）222212201()()()20sxxxxxx（4 分）20222222122012201112()202020iixxxx xxxxxx（5 分）0.43 所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为 12.5,0.43.（6 分）（2）因为20(12.511.5)0.
12、43U（8 分）6.821.96，（11 分）所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为 11.5cm”的说法不成立（12 分）说明：第一问：1.1 分段写成11.613.012.0给 1 分；2.2 分段写成 250 不扣分；3.4 分段：若最后结果正确，不写全公式不扣分，最后结果错误，正确写出公式给 1 分；4.5 分段：若最后结果正确，不写全公式不扣分，最后结果错误，正确写出公式给 1 分.第二问：1.代入公式正确给 2 分，计算结果正确给 2 分，判断给 1 分，说明不成立给 1 分.18（12 分）【解析】（1）因为对任意*mnN，n mnmaaa，所以11nnaaa，（1 分）所以数列
13、na是公差1da的等差数列，1nana（2 分）设等比数列 nb的公比为q，因为11ba，220ba，331ba，所以112112031a qaa qa 又因为110ba，解得111ba，2q，所以12nnnanb，（6 分）（2）因为12nnnc，所以01231123422222nnnT，12341234222222nnTn，（8 分）两式相减，得234111(1)1111122(1)2122222222212nnnnnnTnnn，文科数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 13 页）所以1242nnnT（12 分）说明：第一问：1.1 分段为考生写出“11nnaaa”或“数列na是等差数
14、列”；2.6 分段为12nnnanb，写出一个给 1 分.第二问：1.写出12nnnc给 1 分，写出2nT正确给 1 分，相减正确给 1 分，求和正确给 1 分，化简正确给 1 分，结果正确给 1 分；2.若结果正确，11(1)21212nnn和222nn 都没有写，不扣分；3.若2nT展开没有写，结果正确，只给 1 分，中间过程分全部扣掉.19（12 分）【解析】（1）如图，取AE的中点G，连接GFDG，因为BFAE，2AEBF，所以BFAG，BFAG，所以四边形ABFG是平行四边形，所以FGAB，FGBA（1 分）又因为BACD，BACD，所以FGCD，FGCD，所以四边形CDGF是平行
15、四边形，所以CFDG（2 分）因为BAAD，平面ADE平面ABCD，BA平面ABCD，平面ADE 平面ABCDAD，所以BA平面ADE（3 分）又DGADE 平面，所以BADG（4 分）因为ADDEAE，G为AE的中点，所以DGAE.（5 分）又AE，BA平面AEFB，且AEBAA，所以DG平面AEFB，所以CF平面AEFB（6 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 13 页）（2）如图，连接,BD BG由（1）知，BFAG，BFAG，所以BFEG，BFEG，所以四边形BGEF是平行四边形，所以BGEF 因为EF 平面CEF，BGCEF 平面，所以BG平面CEF（7 分）又由（1）
16、知，CFDG，CF 平面CEF，DGCEF 平面，所以DG平面CEF（8 分）因为DGBG，平面BDG，且DGBGG，所以平面BDG平面CEF（10 分）设点N为线段DG上任意一点，则MN 平面BDG，MN平面CEF，所以点N的轨迹为线段DG，长度为3（12 分）说明：第一问：1.写出“四边形ABFG是平行四边形”或“FGAB，FGBA”得 1 分；2.2 分段为证明CFDG；3.3 分段为证明“BA平面ADE”，没有写“BA平面ABCD，平面ADE 平面ABCDAD”不扣分；4.4 分段没有写“DGADE 平面”不扣分；5.6 分段没有写“AE，BA平面AEFB，且AEBAA”不扣分.或另解
17、：因为BFAE，BCAD，所以60CBFDAE.因为2,1,CBBF所以由余弦定理得3CF，（1 分）所以2224,CBBFCF所以CFBF.（2 分）因为BAAD，平面ADE平面ABCD，BA平面ABCD，平面ADE 平面ABCDAD，所以BA平面ADE（3 分）因为BFAE，BCAD，BCBFB，AEADA，所以平面BCF平面ADE.所以BA平面BCF.（4 分）因为CF 平面BCF，所以BACF.（5 分）又BABFB，所以CF平面AEFB（6 分）另解的评分细则：1.1 分段是得出3CF；2.2 分段为证明CFBF；3.3 分段为证明“BA平面ADE”，没有写“BA平面ABCD，平面A
18、DE 平面ABCDAD”不扣分；4.4 分段没有写“BCBFB，AEADA”不扣分；5.5 分段没有写“CF 平面BCF”不扣分；文科数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 13 页）6.6 分段没有写“BABFB”不扣分.第二问：1.7 分段是证明“BG平面CEF”，没有写“因为EF 平面CEF，BGCEF 平面”不扣分；2.8 分段是证明“DG平面CEF”，没有写“CF 平面CEF，DGCEF 平面”不扣分；3.10 分段是证明“平面BDG平面CEF”，没有写“DGBG，平面BDG，且DGBGG”不扣分；4.指出“点N的轨迹为线段DG”得 1 分；5.指出“线段DG的长度为3”得 1 分
19、.20（12 分）【解析】（1）由2222(4)12ypxxy，（1 分）得2(4)212xpx，即2(82)40 xp x.（2 分）由对称性可得关于x的方程有两个相等的正的实数根，所以2(82)160p，且820p，解得2p，（3 分）所以抛物线C的方程为24yx（4 分）（2）由题意，知直线AB的斜率不为 0，故设直线AB的方程为4xmy，（5 分）如图，设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)P x y，44(,)Q xy 将直线AB的方程代入圆E的方程中，消去x，得22(1)12my，（6 分）所以22121ym，所以21yy，且22122121yym（7 分）直线OA
20、的方程为11yyxx，代入抛物线方程24yx，消去x，得2114xyyy，解得114xyy或0y，所以1314xyy（8 分）同理，得2424xyy，（9 分）所以1121212234121|sin|2144|sin|2OAOBAOBSyyyyOAOBxxSOPOQyyOPOQPOQyy（10 分）2212121212()()16|16|(4)(4)|y yy yx xmymy21221212()16|4()16|y ym y ym yy（11 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 13 页）222122212212()()11216|16|16|()16|1y ymm y ymm
21、 22229954(1)(4)4()92mmm，所以当0m 时，12SS取得最大值，为916（12 分）说明：第一问：1.1 分段为圆与抛物线联立；2.2 分段为化简为 x 的方程.第二问：1.5 分段为设直线 1 分；2.6 分段为将直线AB的方程代入圆E的方程；3.7 分段为求出22122121yym；4.8 分段和 9 分段为求出34,yy，各 1 分；5.10 分段为求出1234|yyyy；6.11 分段为代入求出21221212()16|4()16|y ym y ym yy；7.“显然直线AB的斜率不为 0，”这句话必须有，否则最多得 11 分.21（12 分）【解析】（1）由题意，
22、知()f x的定义域为(0 )，1()e(ln1)xfxxx（1 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 11 页（共 13 页）3.证明“当104a时，符合题意”，给 2 分；4.综上，给 1 分.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）()2 cos04m，222(cossin)022m，（1 分）即sincos0m（2 分）又sin,cosyx，（3 分）0 xym，即直线l的直角坐标方程为0 xym（4 分）（2）依题意，知曲线C的普通方程为2214yx，（5 分）其
23、与x轴的交点分别为 A(1 0)，B(1 0)，（6 分）设点(,)M x y，由|3|MAMB，得2222(1)3(1)xyxy，（7 分）即22410 xyx，（8 分）22(2)3xy，它表示圆心为(2 0)E，半径为3的圆 点(,)M x y既在直线l上，又在圆E上，|2|32m，即|2|6m，（9 分）2626m ，即实数m的取值范围为 26 26，（10 分）说明：第一问：1.(2 cos4)的展开正确，给 1 分；2.直线l的直角坐标方程为0 xym求解正确，sin,cosyx没有写不扣分；直线l的直角坐标方程求解错误，写sin,cosyx给 1 分.第二问：1.正确求出曲线C的
24、普通方程给 1 分；2.正确求出 A，B 点的坐标给 1 分；文科数学 全解全析及评分标准 第 12 页（共 13 页）3.代入|3|MAMB正确，给 1 分；4.得到圆的方程22410 xyx 或22(2)3xy给 1 分；5.只要得到2626m 给 1 分.23（10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】（1）当2a 时，原不等式可化为2|1|2|2xx（1 分）当2x 时，原不等式可化为2(1)(2)2xx，整理得2x，所以2x （2 分）当12x时，原不等式可化为2(1)(2)2xx，整理得2x，所以此时不等式的解集是空集（3 分）当1x 时，原不等式可化为2(1)(2)2xx，整理
25、得2x ，所以2x （4 分）综上，当2a 时，不等式()2f x 的解集为(,2)(2,)（5 分）（2）若存在2 4x，使得()0f x，即存在2 4x，使得|2|2axx 式可转化为(2)22xaxx，（6 分）即2222xaxaxx （7 分）因为2 4x，所以式可化为41(1)0axax，（8 分）若存在2,4x使得式成立，则min4(1)10axa，即01aa，（9 分）所以01a，即a的取值范围为0 1，（10 分）说明：第一问：1.把2a 代入正确得 1 分；三种情况讨论各 1 分；综上 1 分；2.当12x时，得2x，没有得出不等式的解集是空集扣掉 1 分；但是答案正确，答案分不扣，这1 分仍然给.第二问：1.转化 1 分，化简 1 分，2 种讨论各 1 分，综上 1 分；2.或另解：即22xax 且22axx（7 分）对于22xax，即41ax2 4)(,x，文科数学 全解全析及评分标准 第 13 页（共 13 页）所以min44(1)104ax.（8 分）对于22axx，即(1)0ax2 4)(,x，所以10,a 即1a.（9 分）综上，01a，即a的取值范围为0 1，（10 分）