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1、【试卷】第 1 页 共 4 页 2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（二二）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合|112Axx，2ZBxx，则AB （）A|02xx B|13xx C 1,0,1 D0,1 2设复数z满足32i1 iz，则z （）A5i B5i C1 i D1 i 3命题“(1,3)x ，212xx”的否定是 （）A(1,3)x ，212xx B(1,3)x ，212xx C(1,3)x ，212xx D(1,3)x ，212xx 4若直
2、线24yx 与直线ykx的交点在直线2yx上，则实数k （）A4 B2 C12 D14 5已知21nan，2,nnna nba n为偶数为奇数，若数列nb的前n项和为nS，则2nS（）A23nn B2434nn C232nn D223nn 6如图，在ABC中，E是AB的中点，2BDDC，13FCAF，EF与AD交于点M，则AM （）A33147ABAC B331414ABAC C2839ABAC D3477ABAC 7已知函数()f x是(0,)上的单调函数，且2()log)5f f xxx，则()f x在1,8上的值域为 （）A2,10 B3,10 C2,13 D3,13 8 已知2()si
3、ncos3cosf xxxx，若对任意实数x都有3()sin()2f xAx，其中,RA，0,3)，则的所有可能的取值有 （）A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5ABDCFEM【试卷】第 2 页 共 4 页 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9甲、乙两个盒子中各装有 4 个相同的小球，甲盒子中小球的编号依次为 1，2，3，4，乙盒子中小球的编号依次为 5，6，7，8，同时从两个盒子中各取出 1 个小球，记下小球上的数字记事件 A 为“取出的数字之和为偶数”，事件 B 为“取出
4、的数字之和等于 9”，事件 C 为“取出的数字之和大于 9”，则下列结论正确的是 （）AA 与 B 是互斥事件 BB 与 C 是对立事件 CA 与 C 不是相互独立事件 DA 与 B 是相互独立事件 10为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作(简称实操)能力的培养中职生小王在对口工厂完成实操产品 100 件，质检人员测量其质量(单位：克)，将所得数据分成 5 组：95,97)，97,99)，99,101)，101,103)，103,105根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在99,101)内的为优等品对于这 100 件产品，下列说法正确的是 （）A质量的平
5、均数为 99.7 克(同一区间的平均数用区间中点值代替)B优等品有 45 件 C质量的众数在区间98,100)内 D质量的中位数在区间99,101)内 11勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示若某勒洛四面体内的四面体ABCD的高为2 2，则（）A3 2AB BBCD外接圆的半径为 2 C四面体ABCD的体积为2 6 D该勒洛四面体的表面积为24 12已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，
6、2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，若ADE的周长是 26，则 （）A132a B3 3b C直线DE的斜率为33 D12DE 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分【试卷】第 3 页 共 4 页 13 已知偶函数(1)yf x在区间0,)上单调递减，则函数(1)yf x的单调增区间是 14已知双曲线22221xyab(0b，a为正整数)的离心率72e，焦距不大于4 5，试写出双曲线的一个方程 15临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同经过调查，四户老人各户需要 1
7、 副长联，其中乙户老人需要 1 副短联，其余三户各要 2 副短联 书法爱好小组按要求选出 11 副春联，则不同的赠送方法种数为 16素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，系描水平反映了绘画者的空间造型能力“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图 1 是某同学绘制的“十字贯穿体”的系描作品“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点)若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为 4，高为6 2的正四棱柱构成(图
8、 2)，则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点D的最短路线长为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知23sincoscbaCC（1）求角A；（2）若1b，且ABC的面积为3tan4A，求a 18(12 分)为指导高一新生积极参加体育锻炼，某高中在新生中随机抽取了 400 名学生，利用一周时间对他们的各项运动指标(高中年龄段指标)进行考查，得到综合指标评分综合指标评分结果分为两类：60 分及以上为运动达标，60 分以下为运动不达标统计结果如下：运动达标占比 运动不达标
9、占比 男生 40%15%女生 25%20%（1）完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；运动达标 运动不达标 总计 男生 女生 总计 （2）现从运动不达标的学生中按性别用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中任选 4 人进行运动示范【试卷】第 4 页 共 4 页 指导，设抽取的 4 人中女生的人数为，当0时，0()P取得最大值，求0的值 参考公式：22()()()()()n adbcab bd cd ac，nabcd 参考数据：0.10 0.05 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 19(1
10、2 分)如图，在多面体ABCDEFG中，平面/ABC平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，2ABBC，侧面ACGD是正方形，DA 平面ABC，且/FBGC，GEDE（1）证明：AEGE（2）若O是DG的中点，/OE平面BCGF，求直线OE与平面BDG所成角的正弦值 ABCDEFG 20(12 分)已知数列na的各项均为正数且均不相等，记nS为na的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列1na 是等比数列；2121aa；11nSna是等比数列注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 21(12 分)已知抛物线2:2(0)Typx p，点F为其焦点，直线:4l x 与
11、抛物线交于M，N两点，O为坐标原点，8 6OMNS（1）求抛物线T的方程；（2）过x轴上一动点(,0)(0)E aa 作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为AB，CD的中点，求HK的最小值 22(12 分)已知函数2(1)()ln(0)1xf xaxax（1）若函数()f x在区间(0,)上为增函数，求a的取值范围；（2）设*Nn，证明：213211ln(1)421321nnnnn 第 1 页 共 14 页 2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（二二）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共
12、40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合|112Axx，2ZBxx，则AB （）A|02xx B|13xx C 1,0,1 D0,1 1D【命题意图】本题考查集合的交集，要求学生理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集【解题分析】集合|112|03Axxxx，|22 1,0,1Bxx Z，0,1AB故选 D 2设复数z满足32i1 iz，则z （）A5i B5i C1 i D1 i 2B【命题意图】本题考查复数的运算，要求学生掌握复数代数表达式的四则运算，了解复数加减运算的几何意义【解题分析】由32i1 iz得(32i)(1 i)33i2i25iz
13、 3命题“(1,3)x ，212xx”的否定是 （）A(1,3)x ，212xx B(1,3)x ，212xx C(1,3)x ，212xx D(1,3)x ，212xx 3C【命题意图】本题考查命题的否定，要求学生能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定【解题分析】命题“(1,3)x ，212xx”是存在量词命题，它的否定是“(1,3)x ，212xx”故选 C 4若直线24yx 与直线ykx的交点在直线2yx上，则实数k （）A4 B2 C12 D14 4A【命题意图】本题考查直线的交点，要求学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，能用解方程组的方法求出两条直线的交点坐标【解题分析】易知直线2y
14、x与24yx 的交点为2 8,3 3，所以8233k，解得4k 5已知21nan，2,nnna nba n为偶数为奇数，若数列nb的前n项和为nS，则2nS（）A23nn B2434nn C232nn D223nn 第 2 页 共 14 页 5D【命题意图】本题考查等差数列，要求学生探索并掌握等差数列的前n项和公式，会求构造数列的前n项和【解题分析】易知2122123452222nnnSbbbaaaaaa 1234212242()()()()nnnaaaaaaaaa 212(341)232nnnnn，故选 D 6如图，在ABC中，E是AB的中点，2BDDC，13FCAF，EF与AD交于点M，则
15、AM （）A33147ABAC B331414ABAC C2839ABAC D3477ABAC 6A【命题意图】本题考查平面向量基本定理，要求学生了解平面向量的线性运算性质及其几何意义【解题分析】在ABC中，设,AMADR，由2BDDC 可得1233ADABAC，故1233AMADABAC 又E是AB的中点，13FCAF，所以2ABAE ，43ACAF，所以2839AMADAEAF 由点E，M，F三点共线，可得28139，解得914，故33147AMABAC 故选 A 7已知函数()f x是(0,)上的单调函数，且2()log)5f f xxx，则()f x在1,8上的值域为 （）A2,10
16、B3,10 C2,13 D3,13 7D【命题意图】本题考查函数概念及单调性，要求学生会借助函数图象，用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义【解题分析】因为()f x是(0,)上的单调函数，所以存在唯一的(0,)t，使得()5f t，则2()logf xxxt，2()logf xtxx，2()2log5f ttt因为22logytt为(0,)上的增函数，且22 2log 25，所以2t，所以2()log2f xxx因为()f x在1,8上单调递增，所以(1)()(8)ff xf，得3()13f x 8 已知2()sincos3cosf xxxx，若对任意实数x都有
17、3()sin()2f xAx，其中,RA，0,3)，则的所有可能的取值有 （）A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 ABDCFEM第 3 页 共 14 页 8C【命题意图】本题考查三角函数，要求学生理解三角函数及其性质，会利用三角恒等变换化简三角函数，并根据函数性质确定相交量的值【解题分析】由已知得211cos2()sincos3cossin2322xf xxxxx 1333sin2cos2sin 222232xxx，对于任意实数x都有33()sin 2sin()322f xxAx成立，即对于任意实数x都有sin 2sin()3xAx成立，sin()yAx与sin 23yx的最值和最小正周期
18、相同，1A，2，即1A ，2 当1,2A时，sin 2sin(2)3xx，2,3kkZ，又0,3)，3或73；当1,2A 时，sin 2sin(2)3xx，(21),3kk Z，又0,3)，23或83；当1,2A 时，sin 2sin(2)3xx，(21),3kkZ，又0,3)，43；当1,2A 时，sin 2sin(2)3xx，2,3kk Z，又0,3)，53 综上所述，满足条件的的值有 6 个故选 C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9甲、乙两个盒子中各装有 4 个相同的小
19、球，甲盒子中小球的编号依次为 1，2，3，4，乙盒子中小球的编号依次为 5，6，7，8，同时从两个盒子中各取出 1 个小球，记下小球上的数字记事件 A 为“取出的数字之和为偶数”，事件 B 为“取出的数字之和等于 9”，事件 C 为“取出的数字之和大于 9”，则下列结论正确的是 （）AA 与 B 是互斥事件 BB 与 C 是对立事件 CA 与 C 不是相互独立事件 DA 与 B 是相互独立事件 9AC【命题意图】本题考查事件之间的关系，要求学生了解两个随机事件独立性的含义，会进行事件间的独立性和对立性的判断 第 4 页 共 14 页【解题分析】从两个盒子中取出的两个数字之和只有 2 种结果：偶
20、数和奇数而“数字之和为 9”是结果为奇数的其中一种情况，所以事件A与B是互斥事件而不是对立事件，选项 A 正确从两个盒子各取 1个小球，共有4 416种结果，其中数字之和为偶数的有 8 种；数字之和等于 9 的有54,63,72,8 1这 4 种；数字之和大于 9 的有64,73,74,83,84,82这 6 种所以81()162P A，41()164P B，3()8P C 因为5()()18P BP C，所以B与C不是对立事件，选项 B 错误事件()AC为“取出的数字之和为偶数且大于 9”，其结果有 4 种：64,73,82,84所以41()164P AC，显然()()()P ACP A P
21、 C，所以A与C不是相互独立事件，选项 C 正确因为当取出的数字之和为偶数时，不可能出现取出的数字之和等于 9 这种情况，所以()0P AB，而1()()08P A P B，所以A与B不是相互独立事件，选项 D 错误 10为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作(简称实操)能力的培养中职生小王在对口工厂完成实操产品 100 件，质检人员测量其质量(单位：克)，将所得数据分成 5 组：95,97)，97,99)，99,101)，101,103)，103,105根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在99,101)内的为优等品对于这 100 件产品，下列说法正确的
22、是 （）A质量的平均数为 99.7 克(同一区间的平均数用区间中点值代替)B优等品有 45 件 C质量的众数在区间98,100)内 D质量的中位数在区间99,101)内 10ABD【命题意图】本题考查频率分布直方图，要求学生结合实例，能用样本估计总体的集中趋势与离散程度参数，会根据频率分布直方图获取样本数字特征【解题分析】对于选项 A，质量的平均数为(96 0.02598 0.15 100 0.225 102 0.075 104 0.025)299.7(克)，选项 A 正确；对于选项 B，优等品有0.225 2 10045 件，选项 B 正确；对于选项 C，频率分布直方图上不能判断质量众数所在
23、区间，质量众数不一定落在区间98,100)内，所以选项 C 错误；对于选项 D，质量在99,101)内的有 45 件，质量在101,103)内的有 15 件，质量在103,105内的有 5 件，第 5 页 共 14 页 所以质量的中位数一定落在区间99,101)内，所以选项 D 正确 11勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示若某勒洛四面体内的四面体ABCD的高为2 2，则（）A3 2AB BBCD外接圆的半径为 2 C四面
24、体ABCD的体积为2 6 D该勒洛四面体的表面积为24 11BC【命题意图】本题结合数学文化考查空间几何体，要求学生了解空间几何体的特征，会进行几何体的体积和表面积计算【解题分析】由已知可知勒洛四面体内的四面体是正四面体，根据题意画出正四面体ABCD，如图所示，设正四面体的棱长为x，所以正四面体底面外接圆的半径12sin603xxR，则正四面体的高222 23xhx，解得2 3x，所以正四面体的体积211(2 3)sin602 22 632V，2 3AB，ABCD 2R 故 A 项错误，B、C 两项正确又因为两个该勒洛四面体的表面积小于半径为2 3的一个球的表面积，而半径为2 3的一个球的表面
25、积为24(2 3)48，所以该勒洛四面体的表面积小于24故D 项错误 12已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，若ADE的周长是 26，则 （）A132a B3 3b 第 6 页 共 14 页 C直线DE的斜率为33 D12DE 12ACD【命题意图】本题考查直线与椭圆，要求学生理解椭圆的基本性质，会进行有关量的计算【解题分析】椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，不妨设椭圆2222:143xyCcc，2ac，3bcC的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，12AFF为等边三角形，过1
26、F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，3tan303DEk 故 C 项正确 由等腰三角形的性质可得2ADDF，2AEEF，由椭圆的定义可得ADE的周长为22426DEDFEFa，132a，1334b 故 A 项正确，B 项错误 对于 D 项，由椭圆的焦点弦长公式，222239412131cos 30144baDEe故 D 项正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知偶函数(1)yf x在区间0,)上单调递减，则函数(1)yf x的单调增区间是 13(,2#(,2)【命题意图】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系【解题分析
27、】根据题意易知偶函数(1)yf x在区间(,0上单调递增，又因为(1)f x(2 1)f x，所以要得到函数(1)f x的图象，只需将函数(1)f x的图象向右平移 2 个单位长度，所以函数(1)f x的单调增区间是(,2 14已知双曲线22221xyab(0b，a为正整数)的离心率72e，焦距不大于4 5，试写出双曲线的一个方程 第 7 页 共 14 页 14222222441,1,1343927yxyxyx(写出其中一个即可)【命题意图】本题考查双曲线的方程，要求学生了解双曲线的性质，会根据离心率与焦距的关系求双曲线的方程【解题分析】由72cea得2247ca，又222cab，所以2224
28、()7aba，即23ba又2 5c，所以27204a，得2780a 因为a为正整数，所以1a 或2a 或3a，即32b 或3b 或3 32b，则双曲线方程为22413yx 或22143xy或2241927xy 15临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同经过调查，四户老人各户需要 1 副长联，其中乙户老人需要 1 副短联，其余三户各要 2 副短联 书法爱好小组按要求选出 11 副春联，则不同的赠送方法种数为 1515120【命题意图】本题考查计数原理，要求学生通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数
29、公式、组合数公式【解题分析】4 副长联内容不同，赠送方法有44A24种；从剩余的 7 副短联中选出 1 副赠送给乙户老人，有17A7种方法，再将剩余的 6 副短联平均分为 3 组，最后将这 3 组赠送给三户老人，方法种数为2223222642364233C C CAC C C90 A所以所求方法种数为24 7 9015120 16素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，系描水平反映了绘画者的空间造型能力“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图 1 是某同学绘制的“十字贯穿体”的系描作品“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分
30、别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点)若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为 4，高为6 2的正四棱柱构成(图 2)，则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点D的最短路线长为 164 22【命题意图】本题结合生活实际情景考查空间几何体，要求学生了解空间几何体的结构特征，会根据生活实际情境解决路线最短问题【解题分析】只需考虑蚂蚁行进的三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平面图，第一条路径是穿过第 8 页 共 14 页 棱ON，此时最短路线长为448ENNF；第二条路径是穿过棱EN和棱NF，此时
31、最短路线长为2()2(42)4 22MECE；第三条路径是穿过棱EN和棱MF，此时最短路线长为2222()(242)440 16 2CEEMFDEN 通过比较可知，4 22最小 CODEFNDOMFCOENDMFCOEN 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知23sincoscbaCC（1）求角A；（2）若1b，且ABC的面积为3tan4A，求a 17【命题意图】本题考查解三角形，要求学生掌握正、余弦定理，会根据正、余弦定理求解有关三角形边、角问题【解题分析】（1）由已知可得23
32、sincoscbaCaC，即2cos3 sincaCbaC1 分 可得2sinsincossin3sinsinCACBAC，2 分 即2sinsincossincoscossin3sinsinCACACACAC，3 分 即2sin3sinsincossinCACAC，又sin0C，sin16A4 分 因为0A，所以3A5 分（2）由已知得1333 3sintan2444ABCSbcAbcA，又1b，7 分 所以3c，8 分 故2222cos7abcbcA，9 分 第 9 页 共 14 页 解得7a 10 分 18(12 分)为指导高一新生积极参加体育锻炼，某高中在新生中随机抽取了 400 名学
33、生，利用一周时间对他们的各项运动指标(高中年龄段指标)进行考查，得到综合指标评分综合指标评分结果分为两类：60 分及以上为运动达标，60 分以下为运动不达标统计结果如下：运动达标占比 运动不达标占比 男生 40%15%女生 25%20%（1）完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；运动达标 运动不达标 总计 男生 女生 总计 （2）现从运动不达标的学生中按性别用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中任选 4 人进行运动示范指导，设抽取的 4 人中女生的人数为，当0时，0()P取得最大值，求0的值 参考公式：22()()()()()n
34、 adbcab bd cd ac，nabcd 参考数据：0.10 0.05 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 18【命题意图】本题考查统计案例，要求学生理解独立性检验在判断相关变量之间是否有关系中的意义，会根据实例进行求解【解题分析】（1）列联表为 运动达标 运动不达标 总计 男生 160 60 220 女生 100 80 180 总计 260 140 400 2 分 因为22400(160 80 100 60)12.83210.828260 140 220 180，5 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“运动达不达标与性别有关
35、”6 分（2）由（1）知，运动不达标的男生、女生人数分别是 60，80，按照分层抽样共抽取 7 人，则男生、女生分别抽取 3 人、4 人从这 7 人中任选 4 人，则女生人数1,2,3,4，8 分 则313447C C4(1)C35P，223447C C18(2)C35P，133447C C12(3)C35P，4447C1(4)C35P，所以()P的最大值为18(2)35P，0212 分 19(12 分)如图，在多面体ABCDEFG中，平面/ABC平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，2ABBC，侧面ACGD是正方形，DA 平面ABC，且/FBGC，GEDE 第 10 页 共 14 页（1
36、）证明：AEGE（2）若O是DG的中点，/OE平面BCGF，求直线OE与平面BDG所成角的正弦值 ABCDEFG 19【命题意图】本题考查立体几何，要求学生理解空间点、线、面的关系，会进行线、面位置关系的判断和点面距的计算【解题分析】（1）DA 平面ABC，平面/ABC平面DEFG，DA平面DEFG，1 分 DAGE 2 分 GEDE，ADDED，AD 平面 ADE，DE 平面 ADE，3 分 GE平面 ADE，4 分 AE 平面 ADE，AEGE5 分（2）如图，O是DG的中点，/OE平面BCGF，OE 平面DEFG，且平面DEFG平面BCGFGF，/OEGF，ABC是等腰直角三角形，45D
37、OEDGFACB 6 分 又2ABBC，侧面ACGD是正方形，2ACCG，112OEDG，点E到DG的距离为22，7 分 1222222DEGS，则1222323B DEGV8 分 又2BC，2GC，6BGBD，5OB，9 分 12552BGDS，10 分 设点E到平面BDG的距离为h，由B DEGE BDGVV，得12533h，解得105h 所以直线OE与平面BDG所成角的正弦值为105hOE 第 11 页 共 14 页 ABCDEFGOxyzO1ABCDEFGO 方法二：如图，O是DG的中点，/OE平面BCGF，OE 平面DEFG，且平面DEFG平面BCGFGF，/OEGF，ABC是等腰直
38、角三角形，45DOEDGFACB 又2ABBC，侧面ACGD是正方形，2ACCG，112OEDG，取AC中点1O，以1O为坐标原点，111,O B OC OO所在直线为,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0)B，(0,1,2)D，(0,1,2)G，(0,0,2)O，22,222E，22,022OE，(1,1,2)BD ，(0,2,0)DG，设平面BDG的法向量为(,)nx y z，则 200220n BDxyzyxzn DGy ，可取(2,0,1)n，设直线OE与平面BDG所成角为，则2sincos,5105n OEn OEn OE 20(12 分)已知数列na的各项均为正数
39、且均不相等，记nS为na的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列1na 是等比数列；2121aa；11nSna是等比数列注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 20【命题意图】本题考查数列综合，要求学生掌握数列的前n项和与构造数列的关系，会进行等比数列的判断【解题分析】选择为条件，为结论证明过程如下：设等比数列1na 的公比为(0q q 且1)q，则111(1)nnaaq，2 分 由2121aa得2112(1)aa，所以2q，4 分 则111(1)2nnaa，即11(1)21nnaa，5 分 第 12 页 共 14 页 所以1(1)(12)1 2nnaSn，即1(1
40、)(21)nnSan，6 分 所以11112(1)2nnSnaa，10 分 所以11nSna是以12(1)a 为首项，2 为公比的等比数列12 分 选择为条件，为结论证明过程如下：设等比数列1na 的公比为(0q q 且1)q，则111(1)nnaaq，所以211(1)aaq，(*)2 分 因为11nSna是等比数列，所以221113121(11)(3)(1SaSaSa ，4 分 即21211232(1)12(1)2(1)11aaaaaa，所以221111112(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)aaqaaaqaq6 分 因为110a ，所以化简整理得22(2)2(2)qqq，即220qq
41、，因为0q，所以2q，10 分 代入(*)式，得2112(1)aa，即2121aa12 分 选择为条件，为结论证明过程如下：设等比数列11nSna的公比为11(0q q 且11)q，则111111111(11)2(1)nnnSnaSaqaq ，2 分 当2n时，122111111112(1)2(1)12(1)11()nnnnnnaSSaqaqaqq，4 分 所以2112(1)(1)1aaq，6 分 又因为2121aa，所以1112(1)2(1)(1)aaq，因为110a ，所以12q，8 分 所以21112(1)21(1)21nnnaaa，得111(1)2nnaa，10 分 因为当1n 时，上
42、式恒成立，11 分 所以1na 是首项为11a，公比为 2 的等比数列12 分 21(12 分)已知抛物线2:2(0)Typx p，点F为其焦点，直线:4l x 与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点，8 6OMNS（1）求抛物线T的方程；（2）过x轴上一动点(,0)(0)E aa 作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D，第 13 页 共 14 页 点H，K分别为AB，CD的中点，求HK的最小值 21【命题意图】本题考查直线与抛物线综合，要求学生掌握直线的方程，理解抛物线的性质，并能联立直线与抛物线的方程求解有关距离最值问题【解题分析】（1）直线方程为4x，将其代入抛物线可得
43、2 2yp，2 分 由已知得14 4 28 62OMNSp，解得3p，3 分 故抛物线T的方程为26yx 5 分（2）因为(,0)E a，若直线AB，CD分别与两坐标轴垂直，则直线AB，CD中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线AB，CD的斜率均存在且不为 0设直线AB的斜率为(0)k k，则直线AB的方程为()yk xa6 分 联立26()yxyk xa，得2660kyyka，则236240k a，设11(,)A x y，22(,)B xy，则126yyk，设(,)HHH xy，则1232Hyyyk，则23HHyxaakk，8 分 所以233,Hakk，同理可得2(3,3)Kkak
44、，9 分 故22242422424233991133993 226HKkkkkkkkkkkkk，10 分 当且仅当441kk且221kk，即1k 时等号成立，11 分 故HK的最小值为 6 12 分 22(12 分)已知函数2(1)()ln(0)1xf xaxax（1）若函数()f x在区间(0,)上为增函数，求a的取值范围；（2）设*Nn，证明：213211ln(1)421321nnnnn 22【命题意图】本题考查导数与不等式，要求学生理解导数的应用，会根据函数的单调性构造不等关系进行不等式的证明【解题分析】（1）由已知得2(1)()ln1xf xaxx，(0,)x，0a，2 分 则2224
45、(1)4()(1)(1)aa xxfxxxx x 3 分 第 14 页 共 14 页 因为()f x在(0,)上单调递增，所以2(1)40a xx恒成立，4 分 即2441(1)2xaxxx，易知44111222xxxx，当且仅当1x 时取等号，5 分 所以1a6 分（2）由（1）可知当1a，(1,)x时，()(1)0f xf，即2(1)ln1xxx，7 分 即2(1)ln1xxx，可得4(1)ln1xxx 8 分 令11xn，则141111ln 141111nnnnnnn ，即111ln41nnnnnn ，10 分 所以2132112311lnlnlnln(1)412421321nnnnnnn ，11 分 即213211ln(1)421321nnnnn 12 分