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1、计算方法总复习第一章绪论例1.数x=2.71828知28.,取近似值x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。e =|x-x | = |2.718281828 2.7182| = 0.00008182解；11W（）.0（）（）5 = -xl（尸=-xl（）i22故有四位有效数字。例2.近似数丁 =0.01999关于真值V =0.02000 TT几位有效数字/ =卜 _ = |0.01999 - 0.02000| = 0.00001解：1r + 2y/ + 4y/=2* + 6yy=4y + 4x(3/+ 5y2)+ 8 y+ y2 )(2x2 + 3y2)故2 o
2、而卜4其中表示y）对x的k阶偏导数在x =点上的值。例4用龙格一一库塔法解初值问题/ =/一）， （OWxWl） y（0） = 1解： 取 = 0.1,由下面公式2小例+22自+腐) 匕=/(乙，%)./ 1 .h.k2=fxtl+-h,yn+-k./I ,h t& = /覆+”，+产 3=/(乙+九打+妁)尤=x； - yk2 =(X” + 0.05)2 -(y + 0.05%) k3 = (x, + 0.05)2 - (y + 0.05攵2)&=(.+0.1)2 - (y“+0.1右)0.8950,&=(.+0.1)2 - (y“+0.1右)0.8950,0.8950,0.8950,把初始
3、条件沏=0,/=1,代入，得 =-1, fo= -0.9475, fa = -0.9501, h 将这些Z值代，得yj =1 + -1 + 2(-0.9475 -0.9501) -0.895()6= 0.90516重复上述步骤可算出”,如 ，V。等。例5.设有求解初值问题的如下格式 .yW = y0 yn+i=矶 T + by“+ Chf(xn，X,)如假设y” = y(x”)问常数。也c为多少时使得该格式为二阶格式？解法2； -xIO-2 0.84 = 0.0059524 (相对误差限的概念) 2例6. 07的相对误差为/的相对误差的一倍。解:根据误差传播公式e,(y) =那么有 er (V
4、x*) = (/x*) er(x*)x* / Vx* = %第二章例1.设/(x)可微，求 = /(外根的牛顿迭代公式一。解；化简得到x-/(x) = 0根据牛顿迭代格式xk+l=xk-j根据牛顿迭代格式xk+l=xk-j根据牛顿迭代格式xk+l=xk-j(2 = (), 1, 2,)那么相应的得到(& =0, 1, 2,)1-/例2：求方程例2：求方程/(X)= X3 71 = 0在区间1, 1.5内的实根。要求准确到小数点后第2位。思路；用二分法，这里a=l,b=1.5,且f(a)0。取区间a, b的中点 xo=1.25将区间二等分，由于/(xo)O,即/(xo)与/(a)同号，故所求的根
5、必在沏 的右侧，这里应令ai =迎=1.25, bi = b = 1.5,而得到新的有根区间(ai,bi)o 对区间(a1，bi)再用中点上 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3； 解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式,一%|4+外m=备9一。)解得 = 6,即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表:kakIkXk/(X。的符号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+例3：求方程/*) = X-1O+2 = 0的一个根51.31251.32811.320
6、3-61.32031.32811.3242-解：因为/(0)=10 /(1) = -7 0,知方程在0,1中必有一实根，现将原方 程改为同解方程10r = x+ 2x = lg(x + 2)由此得迭代格式加=1gA+ 2)收敛性判断；当xw(0,l)时，0(x) = lg(x+2)e(O,l),且由于。(x)= 1 = 0.21710,在0,0.5内为增函数,所以L = max|(x)| = 0.52 = 0.25 0)的迭代公式，并用以上公式求J0.78265解：设/(幻=工2 -C, (x0)那么c就是/(x) =0的正根。由为/(x) = 2x,所以得 迭代公式由于l0时，/(工)0,且
7、广(x)0,根据定理3知：取任意初值正，所确定的迭代序列M必收敛于6o取初值x = 0.88,计算结果见表kXk00.8810.8846920.8846830.88468故可取 J0.78265 0.88468第三章例I .用列主元消去法解线性方程组12x - 3x2 + 3%=15消元过程的结果归结到以下三角形方程组:M + 0.5x2 + 1.25.E3 = 1, x2 - 0.25/ = 0.5x3 = -6消元过程的结果归结到以下三角形方程组:M + 0.5x2 + 1.25.E3 = 1, x2 - 0.25/ = 0.5x3 = -6消元过程的结果归结到以下三角形方程组:M + 0
8、.5x2 + 1.25.E3 = 1, x2 - 0.25/ = 0.5x3 = -6回代，得再=9二-1匚3 = -6例3：用直接三角分解法解232 5 214、18（3 I 5内 120J解：（1）对于=1,利用计算公式”=1%2=2k=3/21 = 2，31 = 3(2)对于 r=2,22 = a22 ，2112 =5-2x2 =23=23-/2/3=2 2*3 = -4（。32一，3必2）（13x2）勺-J1122(3) r=333 = %3 -(/3M3 + &23) = 5 -(3 X 3 + (-5) - (-4) = -24于是(4)求解：Ly = b 得到y = 142 =
9、Z?2 - hy = 18 - 2 x 14 = -10)3 = by - (/3iyi + hiyi) = 20 - (3x 14 + (-5)(-10) = - 72从而 y = (14,-10, -72/由Ux=y 得到- = * = 3=2=2()，2 2303 ) _ TO (4 X 3),一(1212 +%3尤3)_ 14-(2x24-3x3) _ 1x = (l,2, 31例5：用雅克比迭代法和高斯一一赛得尔迭代法解线性方程组(9(98解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高 斯一一赛得尔迭代法都收敛。D = diag (9, 8,9)D l = diag
10、 (1/9, 1/8, 1/9)雅克比迭代法的迭代公式为:1/91/9)7/9、/-OA =1/800D-b =7/8J/90o J7/9 X /，01/99、719、X(*D _1/800X+7/8J/900 J9取X(0) = (0, 0, 0)。由上述公式得逐次近似值如下:k0i234X(z)O(0.7778、仅.97381,0.9942)0.9993、00.87500.97230.99930.9993e10.8889,0.9753),0,9993)、0.9993,高斯一一赛得尔迭代法：工”:，琮)+岩)+7)一用V。7)老川=/产+ Oy”+8)迭代结果为：%012340、9.7778
11、、0.9942、0.9998、1.000、00.97220.99931.00001.00()oj0.9993;J.OOOOJU.ooo,9% 2%+刍=6例6.考察用高斯赛德尔迭代法解方程组-+8-.=8工1+ X, + 8刍=8收敛性，并取工=(1,0,0)求近似解泡包,使得丫鼠 + 1)Xi f10 3(i=l, 2, 3)解法同上(1, 1, -1)例7.设矩阵4 =例7.设矩阵4 =例7.设矩阵4 =1()-2-1-21()-2-I-I5,那么以A为系数矩阵的线性方程组AX=h的雅可比迭代矩阵为(A(C)(C)(C)0 0.2 ().10.2 0 0.10.2 0.4 0(B)10.2
12、0.20.2 ().110.10.41例8、0-0.2-0.2-0.20-0.4-0.1-0.10(D)高斯一塞尔德迭代法解线性方程组(U1)的迭代格式中求与叱= 0,12)10例9、假设=_3 那么矩阵A的谱半径0(A)= 砧T * 第九早第六章t = 2 X.矛盾方程组一。二的最小二乘解为一。 =3.21 .给出拟合三点A = (0,1), B = (1,0)和C = (1,1)的直线方程o 第七章1.插值型求积公式的求积系数之和为_1幻=/ 一 ,那么差商川,2,3 =o.求积公式J：/(x)心:=2/(2)有几次的代数精确度？ (1)设求积公式心之 AJC),假设对.a4=0设求积公式
13、心之 AJC),假设对.a4=0的多项式积分3 .插值型求积公式七4/(苍)的代数精确度至少是一次。N /=05.己知=4时牛顿一科茨求积公式的科茨系数Cf)=京,C；4)=提,4)=看,那么64)6.=()呜(B噌（0-1（D）I_Z_16_2 = 391590 45 15 90公式精确成立，而至少有一个m+1次多项式不成立。那么称该求积公式具有加 次代数精度.7.取2=4,即=8,用复化抛物线求积公式计算积分fL2ln(l + x2)drJo计算过程保存4位小数.解 =8, h= - = 0.15 71)=111(1 +X2)8计算列表kxkf（4）一ln（ 1 + x；）端点奇数号偶数号00.00010.150.022 320.300.086 230.450.184 440.600.307 550.750.446 3