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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 运算方法总复习第一章 绪论例 1 已知数 x=2.718281828.,取近似值 点评；考查的有效数字的概念；x*=2.7182,那麽 x 具有几位有效数字解；* ex* x12.718281828 L2.71820.000081820.0005103110 1 422故有四位有效数字；例 2近似数x*0.01999关于真值x*0.02000有几位有效数字* ex* x0.01999 L0.020000.00001解：0.0000511041101 322故有三位有效数字；例 3数值 x* 的近似值 x=0.1215 102,如满意xx ,就称
2、 x 有 4 位有效数字 点评；已知有效数字的位数,反过来考查有肯定误差；解；有四位有效数字就意味着假如是一个形如0. a a a 3Kan的数就肯定误差限肯定为1 2104,由于题目中的数x0. a a2La n102,故最终的肯定误差为11041106* x 2* x 的相对误差限；10222例 4有效数* x 13.105,* x 20.001,x*0.100,试确定* x 13点评；此题考查相对误差的传播；名师归纳总结 * e yinf*e x i*x i* y第 1 页,共 12 页1x i故有* e x 1* x 2* x 3e r* *x x 1 1* e x r 2* x 2e
3、 r* *x x 3 3* e x 1* e x 2* e x 3* x 1* x 2* x 3* x 1* x 2* x 3解：e r* x 1x* x 3* e x 1* e x 2* e x 3110311031 2103=0.0004993 222* x 1* x 2* x 33.1050.0010.100例 5sin1 有 2 位有效数字的近似值0.84 的相对误差限是. 解法 1 ：218102111010. 00625（有效数字与相对误差限的关系）16- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2；11020.840.0059524（相对误差
4、限的概念）2例 6n x 的相对误差为 *x 的相对误差的 -倍；解：依据误差传播公式 e y * i n1 x fi * e x i * x i *y *就有 e r nx * nx * e x * x */ nx * 1n其次章例 1设f x 可微,求xf x 根的牛顿迭代公式 -；L解；化简得到xf x 0依据牛顿迭代格式xk1xkfxkk0 ,12,fxk就相应的得到x k1xkxkff xkk0, 1, 2,1x k例 2： 求方程fxx3x10在区间 1, 1.5内的实根；要求精确到小数点后第2 位；思路； 用二分法,这里 a = 1, b = 1.5, 且 f a 0；取区间 a
5、, b的中点x0 = 1.25 将区间二等分,由于 f x00 程改为同解方程f 1 = -7 0）的迭代公式,并用以上公式求0 . 782652解：设 f x x c,（x 0）就 c 就是 f x =0 的正根；由为 f x = 2x,所以得迭代公式x k1x kx2 kx kcx0c（2.6）2或xk11x kc2xk由于 x 0 时,f x 0,且 f x 0,依据定理 3 知：取任意初值,所确定的迭代序列 xk 必收敛于c ；取初值 x = 0.88,运算结果见表故可取0.78265k .88468xk 0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3 0.88468 0第三
6、章例 1.用列主元消去法解线性方程组名师归纳总结 12x 1x 13x 2x 23x 315第 4 页,共 12 页183x 315x 1x2x 36- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 运算过程保留 4 位小数 . 解. A b=123315选a2118为主元 32.1 1667为主元,并换行183115r 1r21116183115换行,消元 1233151116115r212r 118318 1r 3r 118012. 33335选a01. 1667.094445. 1667消元 r2,r3 1r 21813014515系数矩r31.16670. 1
7、667. 944. 1667003. 14289. 4285阵为上三角形矩阵,于是回代得解x 39. 42853.000003.1428x 25. 16670. 9444.30000/1. 16672. 000x 1153. 000032.0000/18 .10000方程组的解为 X 1.000 0,2.000 0,3.000 0 T例 2：用列主元高斯消去法求解方程2x 1x23 x314x 12x 25x34x12x27由于解方程组取决于它的系数,因此可用这些系数（包括右端项）所构成的“ 增广矩阵” 作为方程组的一种简化形式；对这种增广矩阵施行消元手续：2*13142541207第一步将
8、4 选为主元素,并把主元素所在的行定为主元行,然后将主元行换 到第一行得到名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 42541.05.1 2512131第一步消元0* 20 5.110 5.1 . 25112070 5.1 250.1 51 . 25611其次步消元010 . 250 . 5第三步消元01.0250 5.000 . 8755 . 250016消元过程的结果归结到以下三角形方程组：x 10.5x 21. 25x 31x 20. 25x30.5x36回代,得x 1391x 2x6例 3：用直接三角分解法解123
9、x114252x218315x320解：（1）对于 r = 1,利用运算公式u111u122u 133l21 = 2 l 31= 3（2）对于 r = 2,u22a22l21u12= 5 2 2 = 1 5u23a23l21u 13= 2 2 3 = -4 l32a32l31 u12 132 u221（3）r = 3 u33a33l31u 13l32u235335 424于是A1151123LU214324（4）求解：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ly = b 得到y1 = 14 y2 = b2 l21y1 =
10、 18 2 14 = -10 y3 = b3 l31y1 + l 32y2 = 20 3 14 + -5-10 = - 72 从而 y = 14, -10, -72T由 Ux= y得到310432233 1x3y372u3324x2y2u23x3u221x 1y1u12x2u 13x3142u111x,12,3T例 5：用雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法解线性方程组9111x 1780x 27109x 38解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优,故雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法都收敛；1/91/D-1 = diag 1/9, 1/8, 1/9 D = diag 9, 8, 9 097/9I
11、D1A1/800D1b7/81/9007/9雅克比迭代法的迭代公式为：Xk1 081/91/9Xk7/91/007/81/9007/9取 X0 = 0, 0, 0 T,由上述公式得逐次近似值如下：k X i 0 01 0.2 0 .3 0 .4 0. 777897389942999300. 87500.97230 .99930 .999300. 88890.97530 .99930 .9993高斯赛得尔迭代法：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1 k11x 2 kxk739xk11 x 1k1 x 3k7828
12、xk11 x 1k10 kx 21 39迭代结果为：k x i 0 01 xk12 3 34 0. 77780.99420 .99981 .00000. 97220.99931 .00001 .00000. 97530.99931 .00001 .000例 6考察用高斯赛德尔迭代法解方程组9x 12x2x 36（i=1,2,3）x 18x2x 38x 1x28x 38收敛性,并取x01,0,0T,求近似解,使得 x ik1 x i10解法同上（ 1,1,-1）名师归纳总结 1021AXb 的雅第 8 页,共 12 页例 7. 设矩阵 A2101,那么以 A 为系数矩阵的线性方程组125可比迭代
13、矩阵为 A 0.020. 110. 2.01A0. 200. 1B 0. 21.010. 2.0400. 20. 4100. 20.1021C 0. 200.1D 2010. 20. 40120例 8、高斯- 塞尔德迭代法解线性方程组- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的迭代格式中求例 9、 如 就矩阵 A的谱半径 A= 第五章第六章1 冲突方程组x 12.8 的最小二乘解为 -；3.2的直线方程；x 12 给出拟合三点A0,1,B1,0和C1,1第七章1插值型求积公式的求积系数之和为1已知 f x x 2 1,就差商 f ,1 2 3, ；33 求积公
14、式 1 f x dx 2 2 有几次的代数精确度？（ 1）b n4 插值型求积公式 a f x dx A f x i 的代数精确度至少是 -次；Ni 05已知 n=4 时牛顿科茨求积公式的科茨系数 C 0 4 7 , C 1 4 16 , C 2 4 2 , 那么 C 3 4 90 45 15 A 7 B 16 C 2 D 1 7 16 2 3990 45 15 90 45 15 90b n6设求积公式a f x d x A k f x k ,如对 的多项式积分k 0公式精确成立, 而至少有一个 m+1 次多项式不成立； 就称该求积公式具有 m次代数精度 . 7 取 m=4,即 n=8,用复化
15、抛物线求积公式运算积分.12ln 1x2 d x0运算过程保留 4 位小数 . 解 n=8, h=1. 200. 15,fx=ln1+ x 2 8运算列表名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxk=kxk奇数号ln 1x k 2端点偶数号0 0.00 0.022 3 0.086 2 0 1 0.15 2 0.30 3 0.45 0.184 4 0.307 5 0.892 4 0.60 0.446 3 5 0.75 0.593 3 6 0.90 0.743 1 7 1.05 8 1.20 0 1.396 1 0.987
16、 0 0.892 0 代入抛物线求积公式1.2ln1x2dxhf00f84 f11f3f52f72 f2.0f4f603.015. 89204. 3961.0 98742253第八章例 1 用欧拉法求初值问题y10.9y02xy x 01x 0当 h = 0.02 时在区间 0, 0.10上的数值解；解把fx ,yy n10. 9xy代入欧拉法运算公式；就得2y n1h1.09ny n2x10. 018ynn0,1,512xn详细运算结果如下表：名师归纳总结 n xn yn yxn n = yxn - yn 第 10 页,共 12 页0 0 1.0000 1.0000 0 - - - - -
17、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021 例 2.取 h=0.1, 用改进欧拉法预报校正公式求初值问题y011xy2y在 x=0.1, 0.2 处的近似值 . 运算过程保留 3 位小数 . 预报校正公式为yk1y khfxx,ykykfh 1,x k1y2 kkh2xky2xk1y21y k1ykh 2fx
18、 k,y kx k1yky2kkh=0.1,x0=0,y0=1,x1=0.1,于是有y 110. 1 10121. 2.1221. 227y 110. 120120. 12h=0.1,x1=0.1,y1=1.227,x2=0.2,于是有y21.227.01 10. 1.1 22721. 488. 48821. 528y 21.227.012.011. 2272.0212所求为 y0.1 y1=1.227 y0.2 y2=1.528 例 3导出用三阶泰勒级数法解方程yx2y2的运算公式因解: y 4fx ,y x2y2y x2y222 x2y2x23y2yf2x2yy 2x2yf22y y2 y
19、 224xy yf2y y2y y4yy2y2x23y22yy6y y5y28y x4y4x 3x2故名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 而y n1y nhfn12 hfn1h3fn264R 3 h f n 4 x n x n 1.4其中 f n k 表示 fx, y对 x 的 k 阶偏导数在 x = xn点上的值；例 4 用龙格库塔法解初值问题y = x 2 y 0x1 y0 = 1 解 ：取 h = 0.1, 由下面公式y n 1 y n h k 1 2 k 2 2 k 3 k 4 6k 1 f x n , y
20、 n 1 hk 2 f x n h , y n k 12 21 hk 3 f x n h , y n k 22 2k 4 f x n h , y n hk 32k 1 x n y n2k 2 x n 0 . 05 y n 0 . 05 k 1 2k 3 x n 0 . 05 y n 0 . 05 k 2 2k 4 x n 0 . 1 y n 0 . 1 k 3 把初始条件 x0 = 0,y0 = 1,代入 ,得 k1 = -1,k2 = -0.9475,k3 = -0.9501,k4 = 0.8950,将这些 k 值代,得名师归纳总结 1y10. 1120. 94750.9501 0. 8950第 12 页,共 12 页6.090516重复上述步骤可算出y2,y3, , y10等；例 5设有求解初值问题yf x y , 的如下格式y x 0y 0yn1ayn1bynchf xn,yn如假设y n1y xn1,y ny x n问常数a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？- - - - - - -