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1、软工 13 计算方法复习题1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。（1）ln(x1)ln(x)，其中 x 较大22（2）x21 x，其中 x 较大（3）1cos2（4）2sin 12（3）cos(x)sin(x)，其中x/4解：（1）ln(x1)/x)（2）1/(x21 x)（3）cos(2x)2、已知函数方程f(x)3 xln(x)0有一正根，请完成以下几方面的工作：（1）分析并选定一个含有这一正根的区间a0,b0，以便于用二分法求解；（2）验证在a0,b0上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间a1,b1 和a2,b2；（3）若考虑用简单迭代法求此根，试
2、构造一个在a0,b0上能保证收敛的迭代式xk1(xk)。解：（1）把方程的根看成 y=3-x 和 y=ln(x)的交点，经分析可取含根区间1.0,3.0（2）经验算可得 f(1.0)*f(3.0)0，另 f(x)在1.0,3.0上不变号，f(x)单调，二分法可行（3）迭代式xk1 3ln(xk)从迭代收敛定理两方面作完整讨论，知迭代式能保证收敛211 x14 3、用 Doolittle 分解法求解线性方程组132 x2 6（要求写明求解过程）。122x351 1215/23/21解：（1）先对系数矩阵 A 作 LU 分解得 A=LU=1/23/51/23/51（2）由 LY=B 解出 Y=(4
3、,4,3/5)T，由 UX=Y 解出 X=(1,1,1)T4、关于某函数 y=f(x)，已知如下表所示的一批数据xy0.01.000.51.651.02.721.54.482.012.18（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(0.75)的近似值；（3）若用y ae来拟合这一批数据，试求出系数 a 和 b（提示：两边取自然对数得 lny=lna+bx，bx令 u=lny，问题转化为求拟合直线u=lna+bx）；（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算20f(x)dx的近似值。1.51.54.484.483.523.521.381.380.36
4、0.362.02.012.1812.1815.4015.4011.8811.887.007.003.323.32解：（1）构造差商表如下x xf f(x x)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商0.00.01.001.000.50.51.651.651.301.301.01.02.722.722.142.140.840.84（2）二点牛顿插值计算N1(0.75)=1.65+2.14(0.75-0.5)=2.185三点牛顿插值计算 N2(0.75)=N1(0.75)+(1.38)(0.75-0.5)(0.75-1.0)=2.09875（3）令ui ln yi，计算u=
5、5，xu=7.5，x=5，xiiii2i=7.5，解下面方程组：第 1 页 共 5 页.55 lna 5 x57.5b7.5得 a=1，b=1，故有f(x)e（4）分别用复化梯形积分公式和复化辛普森积分公式计算5x y z 105、若用 Jacobi 迭代法求解线性方程组2x8y z 11：x y 4z 3（1）能否从系数矩阵判定Jacobi 迭代求解是收敛的？请说明原因；（2）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式Xk1 BXk f；（3）求出迭代矩阵 B 的行范数B和列范数B1，并说明 B 能否保证收敛。6、用规范化幂法求矩阵A 3010.510的按模最大特征值，使误差不超过。初始
6、向量取为41V(0)=(1,1)T。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。）7、用改进欧拉法求初值问题小数点后面 3 位。8 8、）对于函数对于函数f(x)x(x12dy/dx xy在区间0.0,1.0上的解，取步长h=0.2。计算结果保留到y(0.0)1.0 x)，按下面两种方法计算按下面两种方法计算f(1000)的近似值，的近似值，分别讨论两个结果分别讨论两个结果2的绝对误差限和有效数字的位数，的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。并说明产生差别的原因。（特别注意：（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。计
7、算过程按四位舍入法进行。例如例如1000 0.316210，1001 0.316410）（1 1）直接按表达式计算；）直接按表达式计算；（2 2）按等价变换式）按等价变换式f(x)x/(x 1 x)计算。计算。8 8、答题要点、答题要点精确值 f(1000)=0.1580743*102。221（1）f1(1000)1000*(0.3164-0.3162)*10=0.2*10，与精确值比较得绝对误差限 1=0.5*10，得有效数字位数为 1 位；222（2）f2(1000)1000/(0.3164*10+0.3162*10)0.1581*10，与精确值比较得绝对误差限为-22=0.5*10*10
8、,得有效数字的位数为4 位。原因在于直接按表达式计算时两个相近的数相减导致有效数字位数减少而误差增大9、已知函数方程f(x)2x 5 x 0在区间2，3上有根（令 a0=2，b0=3）：（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间a1,b1 和a2,b2；（2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在a0,b0上能保证收敛的迭代式xk1(xk)。（3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并自己取初值x0，完成第 1 次迭代计算。3111 x14 10、分别用 Gauss 消元法和 Doolittle 分解法求解线性方程组213 x2 7。316x3211、关于某函数 y=f(x
9、)，已知如下表所示的一批数据.xy0.01.000.51.491.03.011.55.482.08.99（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(1.25)的近似值；（3）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算20f(x)dx的近似值。（4）若用 y=a+bx2来拟合这一批数据，试求出系数a 和 b（提示：令 v=x2，问题转化为求拟合直线 y=a+bv）；（请注意其它曲线拟合的线性转换问题）12、验算用辛普森积分公式S(f)达到的代数精度是几阶。bbaab f(a)4 f()f(b)计算I(f)f(x)dx时所能a6210 x2y z 313、若
10、用 Jacobi 迭代法求解线性方程组2x10y z 15：x2y 5z 10（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式Xk1 BXk f；（2）求出迭代矩阵 B 的行范数B和列范数B1，并说明 B 能否保证迭代收敛。（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi 迭代法收敛？请说明理由。(k)(k)(k)UV/V14、写出用反幂法(k1)U(k)AV 53,(k 0,1,2,)求矩阵A 20的按模最小特征值的前两步迭代计算过程与结果。初始向量取V(0)=U(0)=(1,1)T。（提示：先对 A 作 LU 分解）dy/dx y215、用改进欧拉法求初值问题在区间0.0,0.4上的解，
11、取步长 h=0.1。计算结果保留y(0.0)1.0到小数点后面 3 位。16、设P(x)x 3x 3x1，用下面两种不同的方法计算P(2.19)的值，并与真值32P*(2.19)1.685159进行比较，估计两个结果数据的绝对误差限，并说明产生差别的原因：（1）直接按表达式计算；（2）按P(x)(x3)x3)x1计算。2注意：中间数据和最后结果均按3 位舍入法取值，如2.19 4.80，(2.193)2.19 1.77。17、用 Jacobi 法求实对称矩阵 3 3 4 4 3 3 的全部特征值和特征向量。（另：任给一个实对称矩阵，4 4 你是否会构造 Jacobi 法的第一个正交矩阵并完成第
12、一次正交变换？）18、若取初值 I0=ln6-ln5，按式 In=(1/n)-5In-1(n=1,2,3，)递推计算，试估算I1和 I2的误差（取ln61.79，ln51.61），并说明此递推式的数值稳定性。1919、已知、已知x x 5 5.0 0 0 0.0505,y y 1010.0 0 0 0.0505,z z 2 2.0 0 0 0.0505，若计算，若计算v v x x y y z z，求，求 v v 的绝对误差的绝对误差限和相对误差限。限和相对误差限。1919、参考答案：、参考答案：2 2|dv|=|2xdx-d(y/z)|=|2xdx|+(|ydz|+|zdy|)/z2=2*5
13、*0.05+(10*0.05+2*0.05)/4=0.65=r=/(x*x-y/z)=0.65/(5*5-10/2)=3.25%.3 3 2 2 7 7 20、对于矩阵A A 3 34 4 1 1，请完成规范化幂法的前两步迭代计算，即取初始向量为V(0)=2 2 1 13 3 U(0)=(1,1,1)T，求出 V(1)、U(1)和 V(2)。1 12 23 3 21、若用Jacobi 法求实对称矩阵 2 28 89 9 的特征值及对应特征向量，试确定第一个正交矩阵，并 3 39 98 8 完成第一次正交变换。旋转角按a apqpqcoscos2 2 22、关于函数y y f f(x x)已知如
14、下数据表：xiyi0.001.00001 1.0 00 0.0 0(a aqqqq a apppp)2 2sinsin2 2 0 0确定。0.250.98960.500.95880.750.90881.000.8415用柯特斯积分 C(f)计算 f f(x x)dxdx的近似值，要求从复化梯形积分外推到复化辛普森积分，再由复化辛普森积分外推计算C(f)。（如果给定 8 个等距点及函数值，龙贝格积分如何计算呢？）23、现有一批实验数据如下表：xiyi请用函数曲线y y 0.000.4990.200.5550.400.6250.600.7140.800.8341.001.0011 1拟合这一批节点
15、（提示：先对拟合曲线做线性化处理）。a a bxbx的按模最小特征值。（只要求：2424、取初始向量 V(0)=U(0)=(1,1,1)T，用反审法求矩阵完成 LU 分解、求解 V(1)、U(1)、V(2)。）2525、用规范化幂法求解矩阵的按模最大特征值时按指定精度要求迭代到第 k=15 次停止，得到的向量序列如下：（其中 U 为规范化向量，V 为迭代向量）k=12:v0=1.860465v1=3.441860v2=3.441861u0=0.540541u1=1.000000u2=1.000000k=13:v0=2.162162v1=4.648649v2=4.648649u0=0.46511
16、6u1=1.000000u2=1.000000k=14:v0=1.860465v1=3.441860v2=3.441860u0=0.540541u1=1.000000u2=1.000000k=15:v0=2.162162v1=4.648649v2=4.648649观察以上向量序列的变化规律并求解上述按模最大特征值及特征向量。2626、写出用Jacobi法求实对称矩阵做详细计算）。特征值的第1个正交矩阵和第1 次正交变换的计算式（不.27、写出用 Jacobi 迭代法求解线性方程组的迭代计算式、计算 Jacobi 迭代矩阵的行范数和列范数并判断收敛性。另：从原方程系数矩阵能否判断Jacobi 迭代法收敛，说明判断理由。.