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1、1 第一章：有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义（1）正数：像1、2.5、这样大于0 的数叫做正数；正数大于零（2）负数：在正数前面加上“”（负）号的数叫做负数；负数小于零（3）0 即不是正数也不是负数，0 是一个具有特殊意义的数字，0 是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。概念剖析：判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“”去判断，要严格按照“大于0 的数叫做正数；小于0 的数叫做负数”去识别。正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合
2、；常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；例 1 下列说法正确的是()A、一个数前面有“”号，这个数就是负数；B、非负数就是正数；C、一个数前面没有“”号，这个数就是正数；D、0 既不是正数也不是负数；例 2 把下列各数填在相应的大括号中8，43，0.125，0，31，6，25.0，正整数集合整数集合负整数集合正分数集合例 3 如果向南走50米记为是50米，那么向北走782米记为是_,0米的意义是 _。例 4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2 克，记作+2 克，那么5克表示 _ 知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个
3、就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。例 5 若0a，则a是；若0a，则a是；若ba，则ba是；若ba，则ba是；（填正数、负数或0）2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数。有理数的分类如下：（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数 0概念剖析：整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；正有理数和0 又称为非负有理数，负有理数和0 又称为非正有理数；整数和分数都可以化成小数部分为0 或小数
4、部分不为0 的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；例 6 若a为无限不循环小数且0a，b是a的小数部分，则ba是（）A、无理数B、整数C、有理数D、不能确定例 7 若a为有理数，则a不可能是（）2 A、整数B、整数和分数C、)0(ppqD、3、数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数
5、大于负数。概念剖析：画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。在数轴上求任意两点a、b 的距离 L,则有公式abLbaL或，这两个公式选择那个都一样。例 8 在数轴上表示数3 的点到表示数a的点之间的距离是10，则数a；若在数轴上表示数3 的点到表示数a的点之间的距离是b，则数a。例 9 a
6、,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（）A、a+b0 B、ab0 C、ba0 D、0ba例 10 下列数轴画正确的是（）4、相反数像 2 和-2，5 和-5 这样，如果两个数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0 的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。概念剖析：“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。很显然，数a的相反数是a，即a与a互为相反数。要把它与倒数区分开。互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等
7、，也就是说它们关于原点对称。在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。如果数a和数b互为相反数，则a+b=0；)0(1 abba或)0(1 abab；求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“”即可；例如ba的相反数是ab；例 11 下列说法正确的是（）A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数；B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；C、如果a+b=0，则数a和数b互为相反数；a0 b0 A 0 11 B 2 210 1 2 C 0 1 1 22 2D 3 D、互为相反数的两个数一定不相等；例 12 求出下列各数的相反数4a1aba23c例 13 化简下列各数的符号)5.4(
8、)531()2(2.0知识窗口：一个数前面加上“”号，该数就成了它的相反数；一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。5、绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：)0()0(0)0(aaaaaa（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。概念剖析：“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝
9、对值都是非负数，即0a。互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。例 14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是()A、互为相反数B、相等C、积为 0 D、互为相反数或相等例 15 已知 ab0,试求ababbbaa|的值。例 16 若|x|=-x，则 x 是_数；例 17 若 x+3+y2=0，则2005)yx（=；例 18 将下列各数从大到小排列起来0、65、43、0001.0例 19 如果两个数a和b的绝对值相等，则下列说法正确的是（）A、baB、1baC、0baD、不能确定二、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符
10、号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0 相加，仍得这个数。例 20 计算下列各式（-3）+（-9）=(-4.7)+3.9=)32(215353）（0+(-2)=（2）有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。例 21 计算下列各式2)10()8()3()7()25.0()3211()813(41312
11、5.04 2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。转化后它满足加法法则和运算律。例22计算：59117例23月球表面的温度中午是Co101，半夜是Co153，中午比半夜高多少度？例 24 已知m是 6 的相反数，n比m的相反数小5，求n比m
12、大多少？3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0 相乘都得 0。（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。（3）倒数的定义：乘积是1 的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么 a 和 b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。概念剖析：“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为 0，则积为 0；几个都不为0 的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数
13、的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。例 25 计算下列各式：)87()5.2(711)25.1()1216141()12()947(5.10)952()25.35(952)75.45(4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘上这个数的倒数。baba1（b0）这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0 除以任何一个不等于0 的数都等于 0。概念剖析：除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘
14、法法则和运算律。倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为)0(1aa；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即mn的倒数为nm；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0 没有倒数。例 26 倒数是其本身的数有_；例 27 计算下列各式：)8(8115.2217)5()6()48(5、有理数的乘方（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“na”其中 a 叫做底数，表示相同5 的因数，n 叫做指数，表示相同
15、因数的个数，它所表示的意义是n 个 a 相乘，不是n 乘以 a，乘方的结果叫做幂。（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0 的任何非0 次幂都是 0，1 的任何非 0 次幂都是 1，1偶数次幂是1、1奇数次幂是1；概念剖析：“na”所表示的意义是n 个 a 相乘，不是n 乘以 a；nnaa)(。na)(因为表示n个a相乘，而na表示n个a的相反数；任何数的偶次幂都得非负数，即02na。例 28 32的意义是 _；45的意义是 _；5)76(的意义是 _；例 29 当3a，23b时，则22ba_；例 30 计算：2 0 0 92 0 0 8)2()2(例 31
16、 若)0,0(,baba互为相反数，n是自然数，则（）A、na2和nb2互为相反数B、12na和12nb互为相反数C、2a和2b互为相反数D、na和nb互为相反数知识窗口：所有的奇数可以表示为12n或12n；所有的偶数可以表示为n2。6、有理数的混合运算:运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减。2、同级运算，从左到右进行。3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行【混合运算剖析】（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有
17、括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。例 32 计算下列各式6311121103124324123223例 33 已知a的绝对值为3、且a满足x的一元一次方程02)3()(2xaxba，则baba23的值为多少？7、科学记数法（1）把一个大于10 的数记成na10的形式，其中a是整数位只
18、有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。概念剖析：I 把一个正数b用科学记数法表示为na10，其中101a，n6 为自然数，当10b时，n为这个数b的整数位数减1；例如：用科学记数法表示04.188000得5108800004.1，它满足108800004.11，165（04.188000的整数部分有6位数）；当101b时，n为 0；例如：用科学记数法表示8800004.1得0108800004.1；II在让数字精确和数有效数字时应注意：在四舍五入法精确小数时不可轻
19、视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0 时，该 0 不能省略。如：将08965601.2精确到千分位，应为090.2，不应为09.2。其他分位也应注意。例 34 用科学记数法表示下列各数1893400000 800032000 0.000003578012 120 万人民币；例 35 用四舍五入法完成下列各题0 29 5 4.0_（精确到千分位），9 99 9 99.0_（精确到万分位），93.0_（精确到个位）练习：一、选择题：1、下列说法正确的是（）A、非负有理数即是正有理数B、0 表示不存在，无实际意义C、正整数和负整数统称为整数D、整数和分数统称为有理数
20、2、下列说法正确的是（）A、互为相反数的两个数一定不相等B、互为倒数的两个数一定不相等C、互为相反数的两个数的绝对值相等D、互为倒数的两个数的绝对值相等3、绝对值最小的数是（）A、1 B、0 C、1 D、不存在4、计算)2(244所得的结果是（）A、0 B、32 C、32D、16 5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（）A、1 B、0 C、1 D、1 6、（3）（4）+7 的计算结果是（）A、0 B、8 C、14 D、8 7、（2）的相反数的倒数是（）A、21B、21C、2 D、2 8、化简：42a，则a是（）A、2 B、2 C、2 或 2 D、以上都不对9、若021yx，则yx=（）A、1
21、B、1 C、0 D、3 10、有理数 a，b 如图所示位置，则正确的是（）A、a+b0 B、ab0 C、b-a|b|二、填空题11、（5）+（6）=_；（5）（6）=_。12、（5）（6）=_；（5）6=_。13、2122_；21244=_。14、27132_；9132_。15、20032002)1(1_；7 16、平方等于64 的数是 _；_的立方等于 64 17、75与它的倒数的积为_。18、若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值是2，则 a+b=_；cd=_；m=_。19、如果 a 的相反数是 5，则 a=_，|a|=_，|a 3|=_。20、若|a|=4，|b|=6，且
22、 ab0，则|a-b|=_。三、计算：（1）22)5()25(848（2）145)2(535213（3）)2(3)3(322（4）)32()4(824（5）)3()6()2(16323（6）95)31(53.1四、某工厂计划每天生产彩电100 台，但实际上一星期的产量如下所示：星期一二三四五六日增减/辆 1+3 2+4+7 5 10 比计划的 100 台多的记为正数，比计划中的100 台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？五、某工厂在上一星期的星期日生产了100 台彩电，下表是本星期的生产情况：星期一二三四五六日增减/辆 1+3 2+4+7 5
23、10 比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？1、单项式由数与字母的积组成的式子叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数。单独的一个数或字母也叫做单项式。2、书写单项式的规定（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“”代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“”号。（2）两数相除时，一般要写成分数的形式。概念剖析：单项式是代数式中的一种特殊形式；要判断一个式子是否是单项式，
24、只要看看它是否满足单项式的定义；单独的一个数作为单项式时，其系数就是它本身，次数为0；单独的一个字母作为单项式时，其系数就是1，次数为它本身的次数；若一个单项式的次数为m，我们就叫该单项式m次单项式；单项式与单项式相等的条件：几个单项式完全相同。例 1、下列式子中，ab1 32xa1833xbaba25a1782009x是单项式的有（只填序号）；例 2、式子abc5，172x，x52，5121中，单项式的个数是（）A、4 个B、3 个C、2 个D、1 个例 3、单项式1221nymxn是关于x、y的 4 次单项式，其系数是6，求m和n的值；例 4、若单项式453yx与单项式4ymxn相等，则m
25、，8 n；8、多项式几个单项式的和叫做多项式，其中、每个单项式都叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数叫做该多项式的次数；如果一个多项式有n项，且次数为m，则我们称该多项式为m次n项式。概念剖析：在多项式里，所有字母的指数都是非负数。多项式与多项式相等的条件：几个多项式的对应项完全相同。例 5、多项式zyx253是由哪些项组成，这些系数分别是，次数；221rab是由哪些项组成，系数是，次数；例 6、若13)2(235xyxyxyxm是关于x、y的四次四项式，则m；例 7、当x取何值时，多项式5532yx可化简为关于y的一次单项式；例 8、若多项式nxyyxm372与多项式73
26、24xyynx相等，则m，n；9、整式单项式和多项式统称整式二、整式的加减1、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，常数项也是同类项。概念剖析：判断同类项的标准有两条：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数也分别相同。即：“两相同，一关系；”两相同：所含字母相同、相同字母的指数也分别相同；一关系：字母与字母之间是乘积关系。例 9、指出多项式xyyxyxxyyx213282344334里的同类项它们分别是；例 10、若427yxm与nyx33是同类项，则m_,n_；例 11、当n_时，523yx与1322nyx是同类项；2、合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做合并
27、同类项，不是同类项不能合并。合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）字母和字母的指数不变。例 12、把多项式xxxx321769132合并同类项后得_；例 13、当21a时，求多项式36625322aaaa的值；例 14、已知nmyx2与yx231同类项，求多项式52746353222222nmnmnmmnnmmnnm的的值；例 15、若单项式nyx4与3322yxm的和仍是单项式，则nm34；3、去括号去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项符号都不改变；（2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例
28、 16、将下列各式的括号去掉9)1(3bcaba)1(3bcaba)72()7(3232yxxyyx)72()7(3232yxxyyx)1()3(bcaba例 17、化简bbaaa254、整式的加减整式的加减实质上就是合并同类项，如果有括号的就先去括号，然后合并同类项概念剖析：整式加减运算的步骤：（1）去括号；（2）判断同类项；（3）合并同类项；例 18 化简)2(3)35(2baba5、多项式求值的计算多项式求值的计算方法：有括号的先去括号合并同类项把字母的值代入化简后的式子例 19、2123452222xxxxxx的值，其中求多项式例 20三、探索规律1、探索数量关系，运用符号表示规律，通
29、过运算验证规律2、用代数式表示简单问题中的数量关系，运用合并同类项，去括号等法则验证所探索的规律。例 21、观察下列算式：331、932、2733、8134、24335、72936、2 1 8 737656138、用你发现的规律写出20083的末位数字是，20093的末位数字是；例 22、将一张长方形的纸对折，如下图所示，可得到1 条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3 次后，可以得到7条折痕，那么对折4 次可以得到条折痕；如果对折n次，可以得到条折痕。例 23、民公园的侧门口有9 级台阶，小聪一步只能上级台阶或级台阶，小聪发现当台阶数分别为级、级、级、级
30、、级、级、级逐渐增加第 1 次对第 2 次第 3次对10 时，上台阶的不同方法的种数依次为、13、21这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这级台阶共有种不同方法；例 24、观察下列顺序排列的等式：90 十 11，91+2=11，92+321，93+4=31，94+5=4l 猜想：第年 n 个等式应为。例 25、如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20(即 n=20)时，需要的火柴棍总数为根。例 26、观察下列等式9l=8，16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来：。例 27、给出下列算式：l
31、2+1=12，22+2=2 3，32+3=3 4，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律：。例 28、一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要()天Aba1Bba11C.baabDab1例 29、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律拼成若干个图案：(1)第 4 个图案中有白色地面砖块；(2)第 n 个图案中有白色地面砖块例 30、种商品每件进价为a元，按进价增加25定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利()A0.125a B0.15a C0.25a D1.25a 练习题：一、选择题：1、下列各式中
32、单项式书写正确的是（）A、r B、x2 C、y213D、x2 2、用多项式表示比y 的 2 倍少 1 的数，正确的是（）A、2(y 1)B、2y+1 C、2y 1 D、1 2y 3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（）A、元)54(mnB、元)45(mnC、元)5(nmD、元)5(mn4、当61,31ba时，多项式2)(ba的值是（）A、121B、61C、41D、3615、已知公式nmp111，若 m=5，n=3，则 p 的值是（）A、8 B、81C、158D、8156、下列各式中，是同类项的是（）A、
33、2233xyyx与B、yxxy23与C、xx222与D、yzxy55与二、填空题：7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是_。8、某商品原价每件b 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每件又减10 元，第35 题11 一次降价后的售价是元，第二次降价后的售价是元。9、当 m=2，n=5 时，nm22的值是 _。10、化简2211mm_。三、解答题：11、已知当1,21yx时，代数式zxxyz282的值是 3，求代数式zz22的值。12、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当 a=5cm，b=4cm，r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。13、已
34、知 A=x 2y+2xy，B=3x 6y+4xy 14、观察下面一组式子：（1）211211；（2）31213121；（3）41314131（4）51415141写出这组式子中的第（10）组式子是 _；第（n）组式子是 _；利用上面的规建计算：121111091=_；15、代简求值：)32(3)462(2233xxxxx，其中32x。第三章：一元一次方程一、方程的有关概念1、方程的概念（1）含有未知数的等式叫方程。（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式为：)0(0 abax概念剖析：方程一定是等式，但等式不一定
35、都是方程，只有含未知数的等式叫方程；等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式；一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是1；知数的系数不为0；例 1、下列式子是方程的是（）A、953yxB、0791yxC、11xD、21053例 2、下列方程是一元一次方程的是()A、92yxB、132xxC、11xD、xx3121例 3、已知方程0213bnxmx是关于x的一元一次方程，求m、n、b12 的值；2、等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。若ba。如果 a=b,那么 ab=bc（2）等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0 的数
36、，所得结果仍是等式。若ba，如果 a=b,那么bcac。如果 a=b（c0）,那么cbca；*（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若ba，则ab；*（4）传递性：如果ba，且cb，那么ca，这一性质叫等量代换。例 4、用适当的数或式子填空如果532x，那么52x_；如果632x，那么x_；如果1233ba，那么 _b3；如果ab211，那么a2_；二、解方程1、解方程及解方程的解的含义求得方程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。例 5、方程214x的解为 _；例 6、如果1x是方程)(4)1(mxxm的解，则m_；例 7、程)1(422
37、xax的解为3x，则a的值为（）A、2 B、22 C、10 D、2 例 8 若2)3(a与1b互为相反数，则a_，b_；2、移项的有关概念把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。这个法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。知识概括：移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边；移项必变号，“+”变“”，“”变“+”；3、解一元一次方程的步骤知识窗口：解相同的方程称为同解方程；方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生解一元一次
38、方程的步骤主要依据注意问题1、去分母等式的性质2 注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是多项式，则必加括号。2、去括号去括号法则乘法分配律严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。3、移项等式的性质1 越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。4、合并同类项合并同类项法则注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变。5、系
39、数化为 1 等式的性质2 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。6、检验13 改变（方程同解原理1）；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理2）；例 9、解程5.0815612xx解：根据（）得：12)15(3)12(4xx（）得：1231548xx根据（）得：3412158x（）得：197x根据（）得：752x请选择正确的答案填如上面的括号内A、去括号B、合并同类项C、方程等式的性质1 D、方程等式的性质2 例 10、各方程62421yyy14.13.02.07.0 xx32)32(96x)2(511)1
40、(21xx二、列方程初步1、列式子（1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子写出，即单项式或者多项式。（2）列单项式或多项式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言。（3）正确列式关键是：认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）；正确判断各数量关系中的运算顺序；要理解并掌握基本的数量关系。如：路程问题：路程=时间速度速度=路程时间时间=路程速度平均速度=总路程总时间轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度逆水航行的速度=静水速度水流速度工程问题：工作量=工作时间工作效率工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率；/工作
41、量=人均效率人数时间价格问题：总价=单价数量单价=总价数量数量=总价单价利润问题：利润=售价进价售价=利润+进价进价=售价利润售价=标价10折数；进价利润利润率数字问题：表示数字的方法：万千百十个aaaaa100001000100101（其中个a、十a、百a、千a、万a表示个位、十位、百位、千位万位的数字）。面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。例 11、用单项式或多项式表示甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积；n除m的商与c的差的 2 倍大 1 的数；例 12、设n表示任意一个整数利用含有n的代数式表示：任意一个偶数；任意一个奇数；不能被3 整除的
42、数；三个连续偶数的平方和；例 13、一项工程甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，若两队合作，完成这项工程需要多少天？例 14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，x小时可以将空池注满，单开乙进水管，y小时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？14 例 15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走全程的几分之几？例 16、一 轮船在 A、B 两地航行，已知A、B 两地相距skm，从 A 到 B 是顺水，从 B 到 A 是逆水，轮船在静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在A、B 两地间往返一次的平均速度。例 17、轮船在
43、 A、B 两地航行，静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在A、B 两地间往返一次的平均速度。例 18、张大佰从报社以每份0.4 元的价格购进了a份报纸，以每份0.5 元的价格售出了b份，剩余的以每份0.2 元的价格退回了报社，则张大佰卖报收入_元。例 19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多少元？例 20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走)(kmm，乙每小时走)(kmn（nm），乙比甲先走a小时，小时后甲可以追上乙。例 21、上等米每千克售价为x元，次等米每千克
44、售价为y元，取上等米a千克和次等米b千克，混合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？例 22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价10%，现售价为 n 元，那么该电脑的原售价为多少？例 23、如果用a名同学在b小时内搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运a块砖需要多少时间？例 24、种商品每件进价为a元，按进价增加25定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利多少元？例 25、（1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？（2）三个连续自然数之和是三的倍数？为什么？例 26、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的2
45、倍时，它能被12 整除吗？为什么？三、列方程解应用题1、列方程解应用题的一般步骤（1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出相等关系；（3）设未知数，列出方程；（4）解方程；（5）检验并作答。2、一些实际问题中的规律和等量关系（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7 个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。日历上的数字范围是在1 到 31 之间，不能超出这个范围。（2）几种常用的面积公式：长方形面积公式：abS，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：2aS，a为边长，S 为面积；梯形面积公式：hbaS)(21，a、b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面
46、积；圆形的面积公式：2rS，r为圆的半径，S为圆的面积；三角形面积公式：ahS21，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积。（3）几种常用的周长公式：长方形的周长：)(2baL，a，b为长方形的长和宽，L为周长。正方形的周长：aL4，a为正方形的边长，L为周长。圆：rL2，r为半径，L为周长。（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所15 以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。（5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价 成本。（6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度时间，以及由此导出的其他关系。（7）在一些复杂问题中，可以借
47、助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。（8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程。例 27、一套仪器由一个A 部件和三个B 部件构成，用 1m3刚才可做 40 个 A 部件或240 个 B 部件，现要用 6 m3刚才制作这种仪器，应用多少刚才做A 部件，多少刚才做 B 部件，恰好配成这种仪器多少套例 28、整理一批数据，由一人做需80h 完成，现计划先由一些人做2h,再增加 5 人做 8h,完成这项工作的43吗，怎样安排参与整理数据的具体人数？例 29、
48、两辆汽车从相距84km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快 20km/h,半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？例 30、在风速为 24km/h 的条件下，一架飞机顺风从A 机场飞到 B 机场要用 2.8h,它逆风飞行同样的航线要用3h,求：（1）无风时这架飞机在这一航线的平均速度：（2）两机场之间的距离例 31 一商店在某一时刻以每件60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25，另一件亏损 25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或不盈不亏？例 32 某次篮球联赛积分榜如下表（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？16 例 3
49、3、某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t,，新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？例 34、父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2 倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的31，求女儿现在的年龄。例 35、某牛奶加工厂现有鲜奶9 吨，若在市场上直接销售，每吨可获利500 元，制成酸奶销售，每吨可获利1200 元；制成奶片销售，每吨可获利2000 元。该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3 吨；制成奶片，每天可加工1 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进
50、行，受气温限制这批牛奶必须在4 天内全部销售或加工完毕为此，该厂设计了两种可行方案：方案 1、尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶;方案 2、将一部分制成奶片，其余部分制成酸奶销售.无论采取哪一种方案，都必须保证4 天完成，请设计一下，选哪一种方案好?为什么?表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业补充完整，并将列方程解答。例 36、有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天3 名一级技工去粉刷8 个房间，结果其中有 50 平方米墙面未来得及刷；同样的时间内5 名二级技工，粉刷了10 个房间之外，还多刷了40 平方米的墙面。每名一级技工比二级技工一天多刷10 平方米墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积。例