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1、授课人：北京市怀柔区第五中学 王长青在广义对称思想和统一思想视在广义对称思想和统一思想视野下认识完全平方公式野下认识完全平方公式一、思想方法学习与回顾一、思想方法学习与回顾1、广义对称思想：机会均等、利益均沾、广义对称思想：机会均等、利益均沾2、对立统一思想、对立统一思想:指事物矛盾的两个方面即相互联指事物矛盾的两个方面即相互联系而又相互转化的辩证关系。系而又相互转化的辩证关系。3、系统论：任何系统都是一个有机的整体，它不是、系统论：任何系统都是一个有机的整体，它不是各个部分的机械组合或简单相加，系统的整体功各个部分的机械组合或简单相加，系统的整体功能是各要素在孤立状态下所没有的性质。系统中能
2、是各要素在孤立状态下所没有的性质。系统中各要素不是孤立地存在着，每个要素在系统中都各要素不是孤立地存在着，每个要素在系统中都处于一定的位置上，起着特定的作用。要素之间处于一定的位置上，起着特定的作用。要素之间相互关联，构成了一个不可分割的整体。要素是相互关联，构成了一个不可分割的整体。要素是整体中的要素，如果将要素从系统整体中割离出整体中的要素，如果将要素从系统整体中割离出来，它将失去要素的作用。来，它将失去要素的作用。4、整体思想整体思想：就是从问题的整体性质出发，：就是从问题的整体性质出发，突出对突出对问题问题的的整体结构整体结构的分析和改造，发的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用
3、现问题的整体结构特征，善于用“集成集成”的的眼光眼光，把某些式子或，把某些式子或图形图形看成一个整体，看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。意识的整体处理。5、学习数学的过程就是探求美的过程，数学、学习数学的过程就是探求美的过程，数学学科中最基本的美学特征就是学科中最基本的美学特征就是:广义对称之美、广义对称之美、和谐统一之美、大道至简之美，当我们领悟和谐统一之美、大道至简之美，当我们领悟到数学的美时，学数学就变成了享受。到数学的美时，学数学就变成了享受。单项式与多项式相乘，就是单项式与多项式相乘，就是用用单单项式项式去乘去乘多项
4、式的多项式的每一项每一项，再把所得的积，再把所得的积相加。相加。m(a+b+c)=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc字母表示为：字母表示为：(这里这里m、a、b、c一般都是单项式、一般都是单项式、但从结构整体上看，它们也可以是多项式但从结构整体上看，它们也可以是多项式)这里蕴含着广义这里蕴含着广义对称的思想对称的思想二、数学知识回顾二、数学知识回顾1234(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn 多项式与多项式相乘，先用其中多项式与多项式相乘，先用其中一个多项式的一个多项式的每一项每一项去乘另一个多项去乘另一个多项式的式的每一项每一项，再把所得的，再把所得的积积相加
5、相加。在学习多项式乘以多项式的过程中既包含在学习多项式乘以多项式的过程中既包含了广义对称思想又包含了对立统一思想，了广义对称思想又包含了对立统一思想，还用到了整体思想。还用到了整体思想。a、b、m、n在等式左边出现的机会概率、位在等式左边出现的机会概率、位置均等，右边出的机会概率也均等置均等，右边出的机会概率也均等探 究 (ab)2=?(a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2 =a2+2ab+b2从从广广义义对对称称的的视视角角看看等等式式左左边边a和和b位位置置是是否否均均等等，等等式式右右边边a和和b出出现现的的机机会会概概率率是是否否均均等等三、新知探索三、新知探索1
6、、式子的意义是什么？、式子的意义是什么？2、在不合并的情况下，结果应、在不合并的情况下，结果应该是几项、每一项的次数是几，该是几项、每一项的次数是几，合并后结果应该是几项。合并后结果应该是几项。根据广义对称的思想猜想结果(a+b+c)2=(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd你能找到完全平方公式运算结果的规律吗？你能找到完全平方公式运算结果的规律吗？(a+b)3=(ab)2=?探 究两数差的平方(ab)2=a(b)2=a22a(b)(b)2=a22abb2与与和和的的完完全全平平方方有有什什么么区区别别？能能否否仿仿照照有有理理数数加加减减
7、法法统统一一成成加加法法，用用对对立立统统一一的的思思想想把把和和的的完完全全平平与与差差的的完完全全平平方方统统一一起起来来(ab)2=?两数差的平方与与和和的的完完全全平平方方有有什什么么区区别别？能能否否仿仿照照有有理理数数加加减减法法统统一一成成加加法法，用用对对立立统统一一的的思思想想把把和和的的完完全全平平与与差差的的完完全全平平方方统统一一起起来来(ab)2=a(b)2=a22a(b)(b)2=a22abb2用广义对称结合统一的思想，再结合前面找到的归律直接写出结果(a-b+c)2=(a-b-c+d)2=两数两数和和的平方，等于这两数的平的平方，等于这两数的平方和，方和，加上加上
8、这两数积的这两数积的2倍。倍。归 纳(a+b)2 a2+2ab+b2 两数两数差差的平方，等于这两数的平的平方，等于这两数的平方和，方和，减去减去这两数积的这两数积的2倍。倍。归 纳(a b)2 a2 2ab+b2(a+b)(a+b)2 2 a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(a(a-b)b)2 2 a a2 2 -2ab+b 2ab+b2 2归 纳完全平方公式：完全平方公式的结构特点：完全平方公式的结构特点：等号左边两个数的等号左边两个数的和（或差）和（或差）的平方的平方归 纳(a+b)2a2+2ab+b2(a-b)2a2-2ab+b2等号右边是等号左边等号右边是等号左边两个数的平方
9、和加上两个数的平方和加上（或减去）这两个数的乘积的（或减去）这两个数的乘积的2倍倍首平方，尾平方，首平方，尾平方，首尾乘积首尾乘积2倍放中央，倍放中央，中间符号同前方中间符号同前方(a+b)(a+b)2 2 a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(a(a-b)b)2 2 a a2 2 -2ab+b 2ab+b2 2(a+b)(a+b)2 2 a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(a(a-b)b)2 2 a a2 2 -2ab+b 2ab+b2 2公式中字母公式中字母a,b的代表性：的代表性：a,b可以表示可以表示任意的代数式。任意的代数式。如：如：数字、单项式、多项式等。数字、单项式
10、、多项式等。归 纳四、结合整体思想进行实战演练举例四、结合整体思想进行实战演练举例 1、(2mn+3p)2 解：原式解：原式=(2m)2+n2+(3p)2-22mn+22m3p-2n3p =4m2+n2+9p2-4mn+12pm-6pn2、（4m+n）2解：原式解：原式=（4m）2+2(4m)n+n2 =16m2+8mn+n2解：原式解：原式 =4a2+9b2+c2-12ab+4ac-6bc3、(2a3b+c)2例例1.1.判断下列各式的计算是否正确？判断下列各式的计算是否正确？(1)(ab)2a2b2；(2)(a-b)2a2-ab+b2；分析：(a+b)2a2+2abb2 应 用（）（）例例
11、2.2.填空。填空。（x+3）2=()2+2x3+()2(3x-2y)2=(3x)2-2()()+()2x33x2y2y 例例3.3.运用完全平方公式计算下列各题。运用完全平方公式计算下列各题。（4m+n）2解：（4m+n）2 =（4m）2+2(4m)n+n2 =16m2+8mn+n2应 用例例4 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1)1022;(2)992 .解解:(1)1022=(100+2)2 =1002+21002+22 =10 000+400+4 =10 404.(2)992=(100-1)2 =1002-21001+12 =10 000-200+1 =9 801.小 结1
12、、广义对称无处不在，注意运用。、广义对称无处不在，注意运用。2、注意统一思想的运用：不要孤立、静止、注意统一思想的运用：不要孤立、静止的看问题的看问题,要养成无时无刻不统一的习惯，要养成无时无刻不统一的习惯，通过不断的统一使知识系统化，直至达到大通过不断的统一使知识系统化，直至达到大道至简的境界道至简的境界，用最简单的形式表达丰富，用最简单的形式表达丰富的内容。的内容。3、时刻注意对字母表示数的理解，学会从、时刻注意对字母表示数的理解，学会从整体上看问题。整体上看问题。4、在做形式化训练时要注意格式的标准，、在做形式化训练时要注意格式的标准，同时还要注意对本质的理解。同时还要注意对本质的理解。五、课堂小结巩固练习巩固练习1.计算计算（1）(a+b+c)2（2）(2a-b+3c)2（3）(x+6)2（4）(-4a-3b)2（5）(a+b)3（6）(a-b)3六、谈一谈你的感受或者疑惑六、谈一谈你的感受或者疑惑希望同学们能够享受数学带希望同学们能够享受数学带来的快乐体验，锻炼出你的来的快乐体验，锻炼出你的超强大脑！超强大脑！