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1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-2 第三章第三章 导数应用导数应用授课：授课：陇县第二高级中学陇县第二高级中学 高建平高建平3/10/2023知识与技能知识与技能:1.利利用用导导数数研研究究函函数数的的切切线线、单单调调性性、极极大大（小小）值值以以及及函函数数在在连连续续区区间间a，b上上的的最最大大（小小）值值；2利利用用导导数数求解一些实际问题的最大值和最小值。求解一些实际问题的最大值和最小值。过程与方法过程与方法:1.通通过过研研究究函函数数的的切切线线、单单调调性性、极极大大（小小）值值以以及及函函数数在在连连续续区区间间a，b上上的的最最大大（小小）值值，培培养养学学
2、生生的的数数学学思思维维能能力力；2.通通过过求求解解一一些些实实际际问问题题的的最最大大值值和和最最小小值值，培培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。情感态度、价值观：情感态度、价值观：逐逐步步培培养养学学生生养养成成运运用用数数形形结结合合、等等价价转转化化、函函数数与与方方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯 教学目标：教学目标：3/10/2023一、知识点一、知识点3/10/2023二、重点导析：二、重点导析：（一）、曲线的切线及函数的单调性（一）、曲线的切线及函数的单调性 为减
3、函数。1.设函数在某个区间内可导，若，则在该区间上是增函数；若，则3/10/20232.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(2)(2)求导数求导数(3)(3)解不等式解不等式;或解不等式或解不等式 .(1)求求 的定义域的定义域D D(4)与定义域求交集与定义域求交集(5)写出单调区间写出单调区间3/10/2023解法提示：在某一点切线的斜率或在某一解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.题型一：题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速度利用导数求切线斜率、瞬时速度 例例1 求垂直于直
4、求垂直于直线线，且与曲且与曲线线相切的直相切的直线线方程方程.3/10/2023分析分析：确定函数的确定函数的单调单调区区间间,即在其定即在其定义义域区域区间间内确定其内确定其导导数数为为正正值值与与负值负值的区的区间间.题型二题型二：求函数的单调区间：求函数的单调区间.例例2试试确定函数确定函数的单调区间的单调区间.3/10/2023（二）、可导函数的极值（二）、可导函数的极值 1.极值的概念：极值的概念：设函数设函数 在点在点 附近有定义，且对附近有定义，且对附近的所有的点附近的所有的点都有都有（或（或 则称则称 为函数的一个极大（小）值，称为函数的一个极大（小）值，称 为极大（小）为极大
5、（小）值点。值点。3/10/2023求导数求导数 求方程求方程 的根；的根；2.求可导函数求可导函数 极值的步骤：极值的步骤：检验检验 在方程在方程 如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 的根的左、右的符号的根的左、右的符号，在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数正，那么函数 在这个根处取得极大值.3/10/2023分析分析：此此题题属于逆向思属于逆向思维维，但，但仍可根据求极仍可根据求极值值的步的步骤骤来求来求.但要注意极但要注意极值值点与点与导导数之
6、数之间间的关系（极的关系（极值值点点为为的根）的根）.题型三题型三：求函数的极值与最值：求函数的极值与最值例例3 设设函数函数在或或处处有极有极值值且且.求求并求其极值并求其极值.3/10/2023（三）、函数的最大值与最小值（三）、函数的最大值与最小值 1.设设 是定义在区间是定义在区间a，b上的函数，上的函数，在在（a，b）内有导数，求函数内有导数，求函数 在在a，b上的最大值与上的最大值与最小值，可分两步进行：最小值，可分两步进行：求求 在（在（a，b）内的极值；内的极值；将将 在各极值点的极值与在各极值点的极值与 比较，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值其中最大的一个为最
7、大值，最小的一个为最小值.2.若函数若函数 在在a，b上单调递增，则上单调递增，则 为函数的为函数的的最小值，的最小值，为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数 在在a，b 上单调递减，则上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最大值，最小值最小值.为函数的为函数的3/10/2023例 函数在0，3上的最值.-155y0Y3(2,3)2(0,2)0X3/10/2023函数的最值与极值的区别与联系：函数的最值与极值的区别与联系：3/10/2023题型四题型四：利用求导解应用题：利用求导解应用题 例例 题题 5：3/10/2023xy例例7:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的
8、图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0)的极大值为的极大值为6,极小极小 值为值为2.(1)试确定常数试确定常数a、b的值的值;(2)求函数的单调递增区间求函数的单调递增区间.答案答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为单调递增区间为(-,-1)和和(1,+).3/10/2023
9、练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3与与x=1处都处都 取得极值取得极值.(1)求求a、b的值的值;(2)若若x-1,2时时,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求求c的取的取 值范围值范围.答案答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用利用f(x)maxc2,解得解得c2.练习练习3:若函数若函数f(x)=x3+bx2+cx在在(-,0及及2,+)上都是上都是 增函数增函数,而在而在(0,2)上是减函数上是减函数,求此函数在求此函数在-1,4上上 的值域的值域.答答:由已知得由已知得 可求得可求得c=0,b=-3,从而从而f(x)=x3-3x2.
10、又又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数所以函数f(x)在在-1,4上的上的值域是值域是-4,16.3/10/2023三、难点突破：三、难点突破：1.关于单调性的定义关于单调性的定义,条件是充分非必要的条件是充分非必要的.若若 在（在（a，b）内，内，（或），（其中有有限个），（其中有有限个 x 使使），则则 在（在（a，b）内仍是增函数（或减内仍是增函数（或减函数）。如：函数）。如：，有有（其中其中），但但 在（在（-,+）内递增；）内递增；2.注意严格区分极值和最值的概念注意严格区分极值和最值的概念.极值是仅对某一点的附极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。言，是在整体范围内讨论问题。3/10/2023四、课堂内容小结：四、课堂内容小结：(1)本课知识要点；本课知识要点；(2)例题涉及的知识点、难点；例题涉及的知识点、难点；(3)例题练例题练习题解答所重用的工具习题解答所重用的工具五、布置作业：五、布置作业：课本复习参考题三课本复习参考题三A组第组第1(3)、（、（5）、）、2（2）、）、3六、教学反思：六、教学反思：3/10/2023