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1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用导数应第三章导数应用导数应用小结与复习课件用小结与复习课件7/5/2022知识与技能知识与技能:1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间及函数在连续区间a，b上的最大（小）值；上的最大（小）值；2利用导数利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。求解一些实际问题的最大值和最小值。过程与方法过程与方法:1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间数在连续区间a，b上的最大（小）值，培养学生的数学思上
2、的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；维能力； 2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。 情感态度、价值观：情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯 教学目标：教学目标：7/5/2022求导数求导数 fx求方程求方程 fx的根；的根；2. 求可导函数求可导函数 yfx极值的步骤：极值的步骤： yf
3、x检验检验 fx在方程在方程 fx如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 的根的左、右的符号的根的左、右的符号， yfx在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数正，那么函数 yfx在这个根处取得极大值.7/5/2022题型三题型三 ：求函数的极值与最值：求函数的极值与最值分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤来求骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为点为 0f
4、 x的根）的根）.例例3 设函数设函数 32fxaxbxcx在1x 或或1x 处有极值且处有极值且 11f . 求求,.a b c并求其极值并求其极值.7/5/2022（三）、函数的最大值与最小值（三）、函数的最大值与最小值 1. 设设 yfx是定义在区间是定义在区间a，b上的函数，上的函数， yfx在在 （a，b）内有导数，求函数）内有导数，求函数 yfx在在a，b上的最大值与上的最大值与最小值，可分两步进行：最小值，可分两步进行：求求 在（在（a，b）内的极值；）内的极值； yfx yfx将将 在各极值点的极值与在各极值点的极值与 ,faf b比较，比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一
5、个为最小值其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2. 若函数若函数 yfx在在a，b上单调递增，则上单调递增，则 fa为函数的为函数的的最小值，的最小值， fb为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数 yfx在在a，b 上单调递减，则上单调递减，则 fa为函数的最大值，为函数的最大值， fb最小值最小值.为函数的为函数的7/5/2022例 函数5123223xxxy在0，3上的最值.-155y0Y3(2,3)2(0,2)0X7/5/2022题型四题型四 ：利用求导解应用题：利用求导解应用题 例例1如图如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开处开始骑
6、自行车以每小时始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？间甲、乙相距最近？BA乙甲如图7/5/2022例例2:如图如图,铁路线上铁路线上AB段长段长 100km,工厂工厂C到铁路的到铁路的 距离距离CA=20km.现在要现在要 在在AB上某一处上某一处D,向向C修修 一条公路一条公路.已知铁路每吨已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料 从供应站从供应站B运到工厂运
7、到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千米则公路上每吨千米的运费为的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的的总运费为总运费为).1000()100(34005352 xxtxtBDtCDty7/5/2022令令 ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15.0)34005(2 xxty1000 x所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距
8、A点点15千米时千米时,总运费总运费最省最省.注注:可以进一步讨论可以进一步讨论,当当AB的距离大于的距离大于15千米时千米时,要找的要找的 最优点总在距最优点总在距A点点15千米的千米的D点处点处;当当AB之间的距离之间的距离 不超过不超过15千米时千米时,所选所选D点与点与B点重合点重合.练习练习:已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为R,高为高为H,求内接于这个圆求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答答:设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为r,可得可得r=R(H-h)/H.易得当易得当h=H/3 时时, 圆柱体的体积最大圆柱体的体积最大.2.与数学中
9、其它分支的结合与应用与数学中其它分支的结合与应用.7/5/2022例例3:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮的四角切去相等方形铁皮的四角切去相等的正方形的正方形,再把它的边沿虚再把它的边沿虚线折起线折起(如图如图),做成一个无做成一个无盖的方底箱子盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2
10、xxxV由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子的箱子的容积很小容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.7/5/2022类题类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径它的高与底半径 应怎样选取应怎样选取,才能使所用的材料最省才能使所用的材料最省?解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则2rVh .2222)(222rrVrrVrrS 令
11、令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2( VVrVh 33224 VV 由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底半径相等时当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.7/5/2022xy例例4: 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2), 则则 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,|
12、BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( xf而而0 x1时时, ,所以所以x=1是是f(x)的极的极小值点小值点.0)( xf0)( xf所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即: 成立成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 7/5/2022例例6:已知函数已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线曲线y=f(x)过点过点P(-1,2), 且在点且在点P处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x-3y=0垂直垂直. (1)
13、求求a、b的值；的值； (2)若若f(x)在区间在区间m,m+1上单调递增上单调递增,求求m的取值的取值 范围范围.解解:(1),23)(2bxaxxf由题意得由题意得:.3132323)1(2)1( bababaff(2) ,解得解得x0或或x0)的极大值为的极大值为6,极小极小 值为值为2. (1)试确定常数试确定常数a、b的值的值; (2)求函数的单调递增区间求函数的单调递增区间.答案答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为单调递增区间为(-,-1)和和(1,+).7/5/2022练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3与与x=1处都处都 取
14、得极值取得极值. (1)求求a、b的值的值; (2)若若x-1,2时时,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求求c的取的取 值范围值范围.答案答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用利用f(x)maxc2,解得解得c2.练习练习3:若函数若函数f(x)=x3+bx2+cx在在(-,0及及2,+)上都是上都是 增函数增函数,而在而在(0,2)上是减函数上是减函数,求此函数在求此函数在-1,4上上 的值域的值域.答答:由已知得由已知得 可求得可求得c=0,b=-3,从而从而f(x)= x3-3x2.又又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数所以函数f(x) 在
15、在-1,4上的上的值域是值域是-4,16., 0)2()0( ff7/5/2022三、难点突破：三、难点突破：1. 关于单调性的定义关于单调性的定义,条件是充分非必要的条件是充分非必要的. 若若 yfx在（在（a，b）内，）内， 0fx（或 0fx），（其中有有限个），（其中有有限个 x 使使 0fx），则则 yfx在（在（a，b）内仍是增函数（或减）内仍是增函数（或减函数）。如：函数）。如： 3fxx，有有 230fxx（其中其中 00f ）， 但但 yfx在（在（-, +）内递增；）内递增； 2. 注意严格区分极值和最值的概念注意严格区分极值和最值的概念. 极值是仅对某一点的附极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。言，是在整体范围内讨论问题。 7/5/2022四、课堂内容小结：四、课堂内容小结：(1)本课知识要点；本课知识要点；(2)例题涉及的知识点、难点；例题涉及的知识点、难点；(3) 例题练习题例题练习题解答所重用的工具解答所重用的工具五、布置作业：五、布置作业：课本复习参考题三课本复习参考题三A组第组第1 (3)、（、（5）、）、2（2）、）、3六、教学反思：六、教学反思：