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1、 第四章函数的连续性第一节连续性概念1按定义证明下列函数在其定义域内连续：1f(x) =；（2）f(x) = x。（1）x1证：（1）f(x) =的定义域为D =(-,0) (0,+)，当x,x0D时，有xx -x1 - 1x x=由三角不等式可得：x x - x -x00，x x000x -x0x x x2 - -01 - 1x x故当x -x 0,则d x- dx x时，0，当 xD且01+ ex001 1f(x) - f(x ) = - e有0x x0可见 f(x)在x连续，由x的任意性知：f(x)在其定义域内连续。0 0(2) f(x) = x的定义域为(-,+),对任何的x (-,+
2、)，由于0x -x x -x，从而对任给正数e，取 =，当x xd e- d时，000f(x)-f(x ) = x -x0 x -x e0有0f(x)在x连续，由x的任意性知，f(x)在(-,+)连续。0 0故2指出函数的间断点及类型：（1）f(x) =x +1xsinx；（2）f(x) =；（3）f(x) =cosx；x（4）f(x) =sgnx；（5）f(x) =sgn(cosx)；1, - x -7x +7x, x为有理数（6）f(x) = -x, x为无理数；（7）f(x) = x,-7 x 11(x -1)sin, 1x +x -1 1解：（1）f(x) x =0（2）f(x) x
3、=0间断，由于lim(x + )不存在，故x =0是f(x)的第二类间断点。在xxsinxlim f(x) =lim间断，由于=1，在xx0+x0+lim f(x) =limsinx = -1-x故x =0是f(x)的跳跃间断点。x0-x0-（3）f(x) x =np间断，(n =0,1,2,L)在由于lim f(x) = limcosx =0， lim f(x) = limcosx=0xnp+xnp+xnp-xnp-故 x =np是f(x)的可去间断点(n =0,1,2,L)。（4）f(x) x =0在 间断，由于lim f(x) =limsgnx =1，x0+x0+lim f(x) =li
4、msgnx =1，故x =0是f(x)的可去间断点。x0-x0-p（5）f(x)在x =2kp (k =0,1,2,L)间断，由于 lim f(x) = -1，2x4k+1+p2lim f(x) =1，lim f(x) = -1，lim f(x) =1x4k+1x4k-1x4k-1p+2pp-+22p故 x =2k k = p ( 0, 1, 2,L)是f(x)的跳跃间断点。2（6）f(x) x 0在的点间断且若x0 0，则lim f(x)不存在，故x 0是f(x)的第二xx0类间断点。（7）f(x) x = -7在 及x =1间断，且 lim f(x) = -7，lim f(x)不存在，故x
5、 = -7是x-7+x-7-1f(x)的第二类间断点。又因 limf(x) =lim(x -1)sin=0，limf(x) =1，x -1x1+x1+x1-故x =1是f(x)的跳跃间断点。3延拓下列函数，使在 (-,+)上连续：-8（1）f(x) = x33-cosxx -2；（2）f(x) =；x21（3）f(x) =xcos。x解：（1）当x = -2时，f(x)没有定义，-8=lim(x2 +2x +4)=12而lim x3x -2x2x2 3-8, x 2于是函数 F(x) = x是f(x)的延拓，且在 (-,+)上连续。 -2x12,x =2lim f(x) lim1-cosx =
6、1（2）当x =0时，f(x)没有定义，而=2，于是x2x0x01-cosx, x 0x2F(x) =是f(x)的延拓，且在 (-,+)上连续。函数1,x =02（3）当x =0时，f(x)没有定义，而lim f(x)=lim xcos1 =0，于是xx0x0xcos1, x 0F(x) =是f(x)的延拓，且在 (-,+)上连续。函数x0,x =04若f在x点连续，则 f，f0是否也在x连续？又若 f或f在I上连续，那么f在202I上是否连续？解：（1）若f在x点连续，则 f与f在x连续。20 0（i） f在x点连续。事实上，由于 f在x点连续，从而对任给正数e，存在正数d，00当x -x
7、时，有 f x -f x ( ) ( ) ed，而00f(x) - f(x ) f(x)-f(x ) e00故当 x -x d时，有 f(x) - f(x ) 0及000使当x-x d时， 有f(x) M2，d（1）101d有连续性定义知：对任给正数e，存在正数d，当x-x 202f(x)-f(x ) e有（2）0M先取d =mind ,d - d，上（1）与（2）式同时成立，因此，则当x x012(x)-f2(x ) = f(x)-f(x ) f(x)+f(x )0 0 0f2 f(x)-f(x ) ( f(x) + f(x ) e00 故f2在x点连续。0（2）逆命题不成立。例如设f(x)
8、 = - 1, x为有理数，则 f，f 2均为常数，故是连续函数，1, x为无理数但f(x) (-,+)在 任一点都不连续。5设当x 0时，f(x) g(x)，而f(0) g(0)，试证与这两个函数中至多有一个在x =0连续。证明：（反证）假设f(x) g(x)f g均在x =0连续，则limf(x) = f(0)，limg(x) =g(0)，与x0x0又因x 0时，f(x) g(x)，于是limf(x) =limg(x)，x0x0从而 f(0) =g(0)f(0) g(0)相矛盾。这与故f与g这两个函数中至多有一个在x =0连续。6证明：设 f为区间I上的单调函数，且x I0为f的间断点，则
9、必是 f的第一类间x0断点。证：不妨设f为区间I上的递增函数，于是当xI，且x x时，f(x) f(x )，00从而由函数极限的单调有界定理可知：f(x -0)存在，且f(x -0)=lim f(x) f(x )000xx0-同理可证 f(x +0)0存在，且f(x +0)=lim f(x) f(x )0 0xx0+因此， x是f的第一类间断点。07设函数f只有可去间断点，定义g(x) =limf(y)，证明为连续函数。gyx证：设 f的定义域为区间I，则g(x) If在上处处有定义（因只有可去间断点，从而极限处处存在），任取x I，下证0g(x) xg(x ) =lim f(y)在连续。由于
10、00yx0且g(x) =limf(y)（xI），从而对任给正数 e，存在正数 d，当0 y-x0 d时有yxeeg(x )- f(y) g(x )+，2200任取xU0(x ,d)，则必存在U(x, U0 xh)( ,d)。于是当yU(x,h)时，由不等式性00 eeg(x )- g(x) =limf(y) g(x )+质知2200yx因此当 xU0(x ,d)0( )- ( ) eg x g x0，故g(x)时，有在处连续。x08设f为R上的单调函数，定义g(x) = f(x +0)g R，证明函数在上每点都连续。上的单调函数，故只有第一类间断点，故右极限处处存在。于证：由于 f为(-,+)
11、f是g(x)处处有定义，任取x(-,+)，下证在x右连续。由于g00g(x ) = f(x +0)=lim f(y)且g(x)=lim f(y)，（- x +）从而对任给正数00yx0+yx+ee2，e，存在正数d，当0 y-x d时，有g(x )- f(y) g(x )+2000任取xU 0(x ,d)，则必存在U 0(x, U xh)( ,d)。0+0+0于是当yU 0(x,h)时，上不等式成立。由极限不等式性质知+eeg(x )- g(x) =lim f(y) g(x )+yx+2200因此当xU 0(x ,d)时，有 g(x)-g(x ) ，故g(x) xe在处右连续。0+009举出定义在0,1上符合下列要求的函数：1 1 1,（1）在2 3和4三点连续的函数；1 1 1,（2）只在2 3和4三点连续的函数；1（3）只在(n =1,2, )上间断的函数；n（4）仅在x =0右连续，其它点均不连续的函数。111解：（1）f(x) =2x -1 3x -1 4x -1；+0, x是有理数；（2）f(x) = 1(x - )(x -1)(x -1), x是无理数。 23 4（3）f(x) =1x；-x, x是0,1中的无理数；x, x是0,1中的有理数。（4）f(x) =