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1、第四章函数的连续性第一节连续性概念1按定义证明下列函数在其定义域内连续：1；2f(x)x;x1证：1f(x)的定义域为D(,0)(0,),当x,x0D时,有x1f(x)x x011由三角不等式可得：x x0 x x0,xx0 x x011xx0 x0 x x02故当x x0 x0时,有 x x0 x0 x02对任意给的正数,取 0,则 x0,当xD且x x0时,1x0有f(x)f(x0)可见11xx0f(x)在x0连续,由x0的任意性知：f(x)在其定义域内连续;2f(x)x的定义域为(,),对任何的x0(,),由于x x0 x x0,从而对任给正数,取,当x x0时,有f(x)f(x0)x
2、x0 x x0 故f(x)在x0连续,由x0的任意性知,f(x)在(,)连续;2指出函数的间断点及类型：1f(x)xsinx1；2f(x)；3f(x)cosx；xx4f(x)sgn x；5f(x)sgn(cosx)；1x7,x 7x,x为有理数6f(x)；7f(x)x,7 x 1 x,x为无理数1(x1)sin,1 x x1解：1f(x)在x 0间断,由于lim(x)不存在,故x 0是f(x)的第二类间断点;x1x2f(x)在x 0间断,由于limf(x)limx0 x0sinx1,xlimf(x)limx0 x0sin x 1故x 0是f(x)的跳跃间断点;x3f(x)在x n间断,(n 0
3、,1,2,)由于limf(x)limcosx 0,limf(x)limcosx 0 xnxnxnxn故x n是f(x)的可去间断点(n 0,1,2,);4f(x)在x 0间断,由于limf(x)limsgn x 1,x0 x0 x0lim f(x)limsgn x 1,故x 0是f(x)的可去间断点;x05f(x)在x 2k2(k 0,1,2,)间断,由于xlim4k12f(x)1,xlim4k12f(x)1,xlim4k12f(x)1,xlim4k12f(x)1故x 2k2(k 0,1,2,)是f(x)的跳跃间断点;xx06f(x)在x 0的点间断且若x0 0,则lim f(x)不存在,故x
4、 0是f(x)的第二类间断点;7f(x)在x 7及x 1间断,且limf(x)7,limf(x)不存在,故x 7是f(x)的x7x7x1x1第二类间断点;又因limf(x)lim(x1)sin故x 1是f(x)的跳跃间断点;3延拓下列函数,使在(,)上连续：1 0,limf(x)1,x1x1x383cosx1f(x)；2f(x)；x2x23f(x)xcos;解：1 当x 2时,f(x)没有定义,1xx382而lim=lim(x 2x4)=12x2x2x2x38,x 2于是函数F(x)x2是f(x)的延拓,且在(,)上连续;12,x 22 当x 0时,f(x)没有定义,而limf(x)=limx
5、0 x01cosx1,于是22x1cosx,x 0 x2函数F(x)是f(x)的延拓,且在(,)上连续;1,x 023 当x 0时,f(x)没有定义,而limf(x)=limxcosx0 x01 0,于是x1xcos,x 0函数F(x)是f(x)的延拓,且在(,)上连续;xx 00,4若f在x0点连续,则f,f是否也在x0连续 又若f或f在I上连续,那么f在I上是否连续解：1 若f在x0点连续,则f与f在x0连续;if在x0点连续;事实上,由于f在x0点连续,从而对任给正数,存在正数,当222x x0时,有f(x)f(x0),而f(x)f(x0)f(x)f(x0)故当x x0时,有f(x)f(
6、x0),因此f在x0点连续;iif在x0点连续;事实上,由于f在x0点连续,从而由局部有界性知：存在M 0及1 0使当xx01时,有f(x)2M,12有连续性定义知：对任给正数,存在正数2,当xx02有f(x)f(x0)M2先取 min1,2,则当x x0,上 1 与 2 式同时成立,因此f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x)f(x0)22f(x)f(x0)(f(x)f(x0)故f在x0点连续;2 逆命题不成立;例如设f(x)21,1,x为有理数x为无理数,则f,f均为常数,故是连续函数,2但f(x)在(,)任一点都不连续;5设当x 0时,f(x)g(x),而f(0)g(0),试证f与g
7、这两个函数中至多有一个在x 0连续;证明：反证假设f(x)与g(x)均在x 0连续,则lim f(x)f(0),limg(x)g(0),又因x0 x0 x 0时,f(x)g(x),于是lim f(x)limg(x),x0 x0从而f(0)g(0)这与f(0)g(0)相矛盾;故f与g这两个函数中至多有一个在x 0连续;6证明：设f为区间I上的单调函数,且x0I为f的间断点,则x0必是f的第一类间断点;证：不妨设f为区间I上的递增函数,于是当xI,且x x0时,f(x)f(x0),从而由函数极限的单调有界定理可知：f(x00)存在,且f(x00)=limf(x)f(x0)xx0同理可证f(x00)
8、存在,且f(x00)=limf(x)f(x0)xx0因此,x0是f的第一类间断点;7设函数f只有可去间断点,定义g(x)lim f(y),证明g为连续函数;yx证：设f的定义域为区间I,则g(x)在I上处处有定义因f只有可去间断点,从而极限处处存在,任取x0I,下证g(x)在x0连续;由于g(x0)lim f(y)yx0且g(x)lim f(y)xI,从 而 对 任 给 正 数,存 在 正 数yx,当0 yx0时 有g(x0)2 f(y)g(x0)2,00任取xU(x0,),则必存在U(x,)U(x0,);于是当yU(x,)时,由不等式性质知g(x0)2 g(x)lim f(y)g(x0)yx
9、20因此当xU(x0,)时,有g(x)g(x0),故g(x)在x0处连续;8设f为R上的单调函数,定义g(x)f(x0),证明函数g在R上每点都连续;证：由于f为(,)上的单调函数,故f只有第一类间断点,故右极限处处存在;于是g(x)处处有定义,任取x0(,),下证g在x0右连续;由于g(x0)f(x00)=limf(y)且g(x)=limf(y),x从而对任给正数,yx0yx存在正数,当0 y x0时,有g(x0)002 f(y)g(x0)02,任取xU(x0,),则必存在U(x,)U(x0,);于是当yU(x,)时,上不等式成立;由极限不等式性质知g(x0)002 g(x)limf(y)g(x0)yx2因此当xU(x0,)时,有g(x)g(x0),故g(x)在x0处右连续;9举出定义在0,1上符合下列要求的函数：1 11三点连续的函数；2 341 112 只在,和三点连续的函数；2 3413 只在(n 1,2,)上间断的函数；n4 仅在x 0右连续,其它点均不连续的函数;111解：1f(x)；2x13x14x11 在,和0,x是有理数；2f(x)111(x)(x)(x),x是无理数。2343f(x)；1x x,x是0,1中的无理数；4f(x)x,x是0,1中的有理数。