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1、梁梁弯曲时的位移弯曲时的位移第第 五五 章章目录1第五章第五章 梁梁弯曲时的位移弯曲时的位移5-1 5-1 梁的梁的位移位移挠度及转角挠度及转角5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角5-5 5-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施5-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 目录目录目录2 在工程实践中，对某些受弯构件，除要在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保
2、证结构或机即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。器正常工作。q概述概述目录3q摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。目录4q桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走则会使小车行走困难，出现爬坡现象。困难，出现爬坡现象。目录5目录6q但在另外一些情况下，有时却要求构件具有但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车例如，车辆上的板
3、弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。辆受到的冲击和振动作用。目录7目录8研究范围：等直梁在研究范围：等直梁在对称弯曲对称弯曲时位移的计算。时位移的计算。研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。方程）。目录9q 基本概念：基本概念：挠曲线挠曲线转角转角挠度挠度w w：截面形心截面形心在在y方向的位移。方向的位移。由于小变形，截由于小变形，截面形心在面形心在x方向的方向的位移忽略不计位移忽略不计。向下为正向下为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。截面绕中性轴转过的角度。顺钟向为正顺钟向为正5-
4、1梁的位移梁的位移目录5-1 5-1 梁的梁的位移位移挠度及转角挠度及转角xy挠度挠度y10q 基本概念：基本概念：挠曲线方程挠曲线方程：挠度转角关系挠度转角关系为：为：挠曲线挠曲线转角转角5-1梁的位移梁的位移目录5-1 5-1 梁的梁的位移位移挠度及转角挠度及转角xy挠度挠度y转角方程转角方程挠曲线：挠曲线：梁变形后的轴线。梁变形后的轴线。11挠曲线的近似微分方程：挠曲线的近似微分方程：推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分12由数学知识可知：由数学知识可知：略
5、去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分13 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程为：为：由上式进行积分，并根据由上式进行积分，并根据边界条件边界条件来确定积分常来确定积分常数后就可以求出梁横截面的转角和挠度。数后就可以求出梁横截面的转角和挠度。目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分即：即：14挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：
6、积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠曲线方程为：再积分一次得挠曲线方程为：目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分15 积分常数积分常数C C1 1 、C C2 2 由梁的位移边界条件和位移连由梁的位移边界条件和位移连续条件确定。续条件确定。位移边界条件：位移边界条件：（全梁只有一个弯矩方程）（全梁只有一个弯矩方程）位移连续条件位移连续条件（弯矩方程须分段写出）（弯矩方程须分段写出）弹簧变形弹簧变形目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分16q 积分法求位移的讨论：积分法求位移的讨论：适用于小
7、变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分目录17例例1 1 求梁的求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角和最大挠转角方程和挠曲线方程，并求最
8、大转角和最大挠度，梁的度，梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分184 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度A AB BF F目录5-2 5-2 梁的挠曲线近
9、似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分19 例例2：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在试求图示简支梁在均布载荷均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定定max和和wmax。目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分20解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分21梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：AB（）目录22q积分常数积分
10、常数c c1 1和和c c2 2的几何意义的几何意义目录 和和 分别代表坐标原点处截面分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。的转角和挠度。23例例3 3 求梁的求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分243 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC AC 段：段：CB CB 段：
11、段：目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分254 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分265 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分276 6）确定最大转角和最大挠度（）确定最大转角和最大挠度（ab)ab)令令 得，得，目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方
12、程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分28q不论简支梁受什么荷载作用，只要挠不论简支梁受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值代替。跨中点处的挠度值代替。目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分29q梁的弯矩方程需分段时：梁的弯矩方程需分段时：对各梁段，都是从同一个坐标原点到截面之间的对各梁段，都是从同一个坐标原点到截面之间的梁段上的外力写出弯矩方程。梁段上的外力写出弯矩方程。对对(x-a)项的积分，以项的积分，以(x-a)作为自变量。作为自变量。这样，利用连续条件就可得到各梁段上相应的
13、积这样，利用连续条件就可得到各梁段上相应的积分常数分别相等，从而简化确定积分常数的工作。分常数分别相等，从而简化确定积分常数的工作。目录5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分30例例4.图示各梁，写图示各梁，写出确定其积分常数出确定其积分常数的边界条件和连续的边界条件和连续性条件。性条件。边界条件：边界条件：连续性条件：连续性条件：目录31边界条件：边界条件：连续性条件：连续性条件：目录32边界条件：连续性条件：目录33边界条件：连续性条件：目录34在小变形、线弹性范围内，梁的挠度和转角均与作在小变形、线弹性范围内，梁的挠度和转角均与作用在梁上的荷载成线性
14、关系，因此，可以用叠加原用在梁上的荷载成线性关系，因此，可以用叠加原理来计算梁的挠度和转角。理来计算梁的挠度和转角。梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角35q叠加原理计算弯曲变形的步骤：叠加原理计算弯曲变形的步骤：将复杂荷载作用情况分解为附录中简单荷载作用将复杂荷载作用情况分解为附录中简单荷载作用情况。情况。利用附录查出所求截面转角
15、和挠度的分量，注意利用附录查出所求截面转角和挠度的分量，注意转角和挠度的正负号要按实际方向选取。转角和挠度的正负号要按实际方向选取。将查出的挠度和转角分量分别叠加，即是几个荷将查出的挠度和转角分量分别叠加，即是几个荷载共同作用时引起的转角和挠度。载共同作用时引起的转角和挠度。目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角36例例5 5 已知已知简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面截面的挠度的挠度w wC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32 2
16、）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度挠度和和B B截面的转角截面的转角。解解目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角37yC1yC2yC33 3）应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角38例例6 6 已知已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度w wC C和和转角转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查
17、的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。解解解解目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角392 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自截截面面的挠度和转角。的挠度和转角。目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度
18、和转角BCBC段无内力仅有刚体位移，段无内力仅有刚体位移，保持直线，保持直线，如图所示如图所示403 3）将结果叠加）将结果叠加 目录5-3 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角41q两种处理方式：两种处理方式：(1)(1)载荷叠加：载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某将载荷分解为几种基本载荷，梁某处的总位移等于各基本载荷作用下在该处产生的位移处的总位移等于各基本载荷作用下在该处产生的位移的代数和。的代数和。(2)(2)变形叠加变形叠加(逐段刚化法逐段刚化法):):将梁分为几段分别刚将梁分为几段分别刚化处理，查表计算出各段变形在某截面引起的挠度和化处理，查表计算
19、出各段变形在某截面引起的挠度和转角后分别叠加即可。转角后分别叠加即可。在将梁分解成梁段时，要求各在将梁分解成梁段时，要求各梁段的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束梁段的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件可以不同。条件可以不同。目录42例例8.8.试用叠加法求试用叠加法求C C截面截面的挠度和转角（的挠度和转角（I I2 2=2I=2I1 1)。P解解:(1)BC(1)BC段变形，段变形，ACAC段刚化段刚化(2)AC(2)AC段变形，段变形，BCBC段刚化段刚化()()43(3)总变形()()44例例9.9.试用叠加法求试用叠加法求B B截面截面的挠度的挠度(I(I2 2=2I
20、=2I1 1)。P解:(1)BC段变形，AC段刚化(2)AC段变形，BC段刚化()45例例9.9.试用叠加法求试用叠加法求B B截面截面的挠度的挠度(I(I2 2=2I=2I1 1)。P(3)总变形：46例例10.10.试用变形叠加法试用变形叠加法(刚化原理刚化原理)求求C C截面截面的挠度。的挠度。解解:(1)BC:(1)BC段变形，段变形，ACAC段刚化段刚化(2)AC(2)AC段变形，段变形，BCBC段刚化段刚化(3)(3)总变形总变形思考题：求wB47例例1111：外伸梁外伸梁ABCABC受载荷如图，求悬臂点受载荷如图，求悬臂点A A的挠度。的挠度。l解：解：简支梁简支梁（ABAB段刚
21、化）段刚化）转角：转角：B B=-(b/3EI)(qa-(b/3EI)(qa2 2/2)/2)位移：位移：截面截面B B的转动，带动的转动，带动ABAB段段一起作刚体转动，从而使一起作刚体转动，从而使A A端产生端产生位移位移w wA1A1 。l w wA1A1=B B a=qaa=qa3 3 b/6EI b/6EIl悬臂梁悬臂梁（BCBC段刚化）段刚化）查表查表 w wA2 A2=qaqa 4 4/8EI/8EIl总位移：总位移：w wA A=w=wA1A1+w wA2 A2 w wA A=qa=qa3 3(4b+3a)/24EI(4b+3a)/24EIABabC BwA1qaqa2/2wA
22、2返回48例例13.13.已知已知P=60kNP=60kN，E=200GPaE=200GPa，G=0.4E,G=0.4E,求求B B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：1）AC段刚化522）AB段刚化53例例1414 按叠加原理求按叠加原理求C C点挠度。点挠度。解：解：载荷无限分解如图载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。叠加q00.5L0.5LxyCxdxdP545-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施I.I.梁的刚度校核梁的刚度校核 建筑钢梁的许可挠度建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可
23、挠度：机械传动轴的许可挠度：精密机床的许可挠度：精密机床的许可挠度：5-5梁的刚度梁的刚度校核校核目录传动轴的许可转角：传动轴的许可转角：55 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中力偶的简支梁由挠度表中查得承受集中力偶的简支梁B B 处的转角为：处的转角为：解解目录例例15 15 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 20 kNkN，al ml m，l2 m2 m，E E=206=206 GPaGPa。轴承轴承B B处的许可转处的许可转角角
24、=0.5=0.5。根据刚度要求确根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施56例例15 15 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 20 kNkN，al ml m，l2 m2 m，E E=206=206 GPaGPa。轴承轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求确根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：目录5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施57II.II.提高梁刚度的措施提
25、高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施582 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式目录5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施592 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型目录5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施603 3）采用超静定结构）采用超静定结构目录5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措
26、施613 3）采用超静定结构）采用超静定结构目录5-5 5-5 梁的刚度校核及提高梁刚度的措施梁的刚度校核及提高梁刚度的措施625-6 5-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能63学习指南学习指南一一.基本要求：基本要求：1.1.明确梁在对称弯曲时，梁的变形（曲率）和横截面明确梁在对称弯曲时，梁的变形（曲率）和横截面的位移（挠度和转角）的概念。的位移（挠度和转角）的概念。2.2.熟悉通过挠曲线近似微分方程的积分求解挠度和转熟悉通过挠曲线近似微分方程的积分求解挠度和转角的方法。角的方法。3.3.掌握简单荷载作用下梁的位移表的应用，以及应用掌握简单荷载作用下梁的位移表的应用，以及应用叠加原理求梁位
27、移的基本技巧。叠加原理求梁位移的基本技巧。二二.计算位移的方法：计算位移的方法：静力平衡条件；力和变形间物静力平衡条件；力和变形间物理关系；变形几何相容条件理关系；变形几何相容条件学习指南学习指南目录64学习指南学习指南三三.基本变形的回顾：基本变形的回顾：目录变形类型变形类型轴向拉压轴向拉压圆杆扭转圆杆扭转对称弯曲对称弯曲外力作用特征外力作用特征力力作用线与作用线与杆轴重合杆轴重合力偶作用面力偶作用面垂直于杆轴垂直于杆轴外力作用在杆纵外力作用在杆纵对称面内对称面内横截面应力分横截面应力分布及计算式布及计算式正应力均匀正应力均匀分布分布切切应力与距应力与距圆心距离成圆心距离成正比正比正应力与中
28、性轴正应力与中性轴距离成正比距离成正比切应力沿截面高切应力沿截面高度呈抛物线度呈抛物线65学习指南学习指南变形类型变形类型轴向拉压轴向拉压圆杆扭转圆杆扭转对称弯曲对称弯曲危险点应力及危险点应力及应力状态应力状态单轴应力状单轴应力状态态纯纯剪切应力剪切应力状态状态单轴应力状单轴应力状态态纯剪切应力纯剪切应力状态状态强度条件66学习指南学习指南变形类型变形类型轴向拉压轴向拉压圆杆扭转圆杆扭转对称弯曲对称弯曲变形公式变形公式轴向线应变轴向线应变 单位长度扭单位长度扭转角转角挠曲线曲率挠曲线曲率截面位移截面位移轴向线位移轴向线位移 扭转角扭转角挠度与转角挠度与转角刚度条件刚度条件变形刚度条变形刚度条件
29、件变形刚度条变形刚度条件件位移刚度条件位移刚度条件67学习指南学习指南由由上表可见，轴向拉压、扭转、对称弯曲三种基本上表可见，轴向拉压、扭转、对称弯曲三种基本变形形式在计算公式和研究方法中有很多相似或相变形形式在计算公式和研究方法中有很多相似或相同之处：同之处：q最大应力公式的分子均为横截面的内力分量，而最大应力公式的分子均为横截面的内力分量，而分母均为与截面形状、大小有关的几何量；同样，分母均为与截面形状、大小有关的几何量；同样，变形公式中的分子为内力分量，而分母为相应的刚变形公式中的分子为内力分量，而分母为相应的刚度。度。q内力分量的计算均应用截面法；应力公式的推导、内力分量的计算均应用截面法；应力公式的推导、位移的计算都考虑三方面（因而公式的适用范围也位移的计算都考虑三方面（因而公式的适用范围也都相似）；受力杆件内应变能的推导所应用的均为都相似）；受力杆件内应变能的推导所应用的均为机械能守恒定律。机械能守恒定律。目录68作作 业业5.45.4；5.135.13；5.255.2569