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1、材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-5 简单超静定梁简单超静定梁6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够
2、的刚度，以保证结构或机器正常工作。以保证结构或机器正常工作。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。加工精度，甚至会出现废品。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡则会使小车行走困难，出现爬坡现象。现象。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作
3、需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。B1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正，向上的挠度为正转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度，逆时针转动为
4、正，逆时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系3.计算位移的目的：计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施刚度校核、解超静定梁、适当施工措施材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形4.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以材料力学材料力学 第六章
5、第六章 弯曲变形弯曲变形 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，再利用边界条件（由上式进行积分，再利用边界条件（boundary conditionboundary condition）和连续条件和连续条件(continuity condition)确定积分常数。就可以求出梁确定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。横截面的转角和挠度。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯适
6、用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。5.讨论：讨论：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠
7、度方程为：再积分一次得挠度方程为：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-3-1 6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的挠度，梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2）写出）写出x截面的弯矩方程截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分）列
8、挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度A AB BF F材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的和最大挠度，梁的EI已知，已知，l=a+b，ab。解解 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程）弯矩方程A
9、C 段：段：CB 段：段：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：段：CB 段：段：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC 段：段：CB 段：段：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，令令 得，得，材料力学材料力学
10、第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-3-2 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均。试求图示简支梁在均布载荷布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。解：解：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形梁的转角方程和挠曲线梁的转角方程和挠曲线方程分别为：方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：AB由边界条件：由边界条件：得：得：材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形设梁上有设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为个载荷
11、同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，转角为，挠度为，挠度为y，则有：，则有：若梁上只有第若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)，转角为，转角为 i，挠度为，挠度为yi，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变
12、形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形叠加法前提叠加法前提 力与位移之间的线性关系力与位移之间的线性关系 小变形小变形材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-1 按叠加原理求按叠加原理求A点转点转角和角和C点挠度。点挠度。qqPP=+AAABBBCaa材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-2 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。均为已知。求求C 截面的挠度截面的挠度yC；B截面的转角截面的转角 B。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形yC1yC2yC3材料力学材料力
13、学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已均为已知。求知。求C截面的挠度截面的挠度yC和转角和转角 C。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例例6-4-4 试按叠加原理求图示等直外伸梁截面试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的的转角转角 B，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形解：解：=材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形
14、弯曲变形材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-4 刚架刚架ABC承载如图承载如图,各杆的抗弯刚度为各杆的抗弯刚度为EI,求刚架自由端求刚架自由端C的水平位移和垂直位移的水平位移和垂直位移.水平位移水平位移垂直位移垂直位移材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁例例6-5-1 试求图示系统的求试求图示系统的求全部未知力。全部未知力。解：解：建立静定基建立静定基确定超静定次数，用反力代替多确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构余约束所得到的结构静定基。静定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf材料力学材料力学
15、第六章第六章 弯曲变形弯曲变形几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（反力、应力、求解其它问题（反力、应力、变形等）变形等）材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形几何方程几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：建立静定基建立静定基=例例6-5-1结构如图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0ABxf材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形
16、与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（反力、应力、变求解其它问题（反力、应力、变形等）形等）xf材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-5-3 试求图试求图a所示系统中钢杆所示系统中钢杆AD内的拉力内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的已知；钢杆的横截面积横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为亦为已知。已知。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形需要注意，因需要注意，因 lDA亦即图亦即图b中的中的 是向下的，故上式中是向下的，故上式
17、中wAF为负的。为负的。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形于是根据位移于是根据位移(变变形形)相容条件得补相容条件得补充方程：充方程：由此求得由此求得材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，减少弯矩数值一、改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形改改变变载载荷荷类类型型材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形二、选择合理的截面形状二、选择合理的截面形状材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形三三、选用高强度材料，提高许用应
18、力值、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“b”相相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性能提高刚度和稳定性。不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=100GPa），故可选用不），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生也会随之发生很大的改变！很大的改变！材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形Any question?Any question?材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形祝大家学习愉快祝大家学习愉快!