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1、结构力学第二章结构力学第二章 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析Last Edit:2009.7.27本章主要内容：本章主要内容：1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念；2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律;3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例;4 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度;5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系。课后作业课后作业本章引言本章引言 一个结构要能够承受各种可能的载荷，首先其几何构造应当一个结构要能够承受各种可能的载荷，首先其几何构造应当合理，本身应当是几何稳固的，即其几何形状保持
2、不变。合理，本身应当是几何稳固的，即其几何形状保持不变。因此，从几何构造来看，一个结构应是一个几何形状不变的因此，从几何构造来看，一个结构应是一个几何形状不变的体系，简称体系，简称 几何不变体系几何不变体系。进行几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体进行几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体系，检查它是不是一个几何不变体系。系，检查它是不是一个几何不变体系。在平面体系的几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。在平面体系的几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身简单浅显，但规律的应用变化无穷，因此本章遇到的困规律本身简单浅显，但规律的应用变化无穷，因此本章遇到的困
3、难不在于学懂，而在于运用。难不在于学懂，而在于运用。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念一、几何不变体系和几何可变体系一、几何不变体系和几何可变体系几何构造分析中，不考虑由于材料应变而发生的变形。几何构造分析中，不考虑由于材料应变而发生的变形。几何不变体系几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能不能改变的；改变的；几何可变体系几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以可以改变的；改变的；2-1
4、几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念二、刚片二、刚片在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具不论其具体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念三、自由度三、自由度平面内一点有两种独立运动方式平面内一点有两种独立运动方式(两个坐标两个坐标x,y可以独立地改变可以独立地改变)一点在平面内有两个自由度一点在平面内有两个自由度一个刚片在平面内有三种独立运动一个刚片在平面内有三种独立运动方式方式(三个坐标三个坐标x,y,q
5、 q 可以独立地改可以独立地改变变)一个刚片在平面内有三个自一个刚片在平面内有三个自由度由度2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念三、自由度三、自由度 一般来说，如果一个体系有一般来说，如果一个体系有 n 个独立的运动方式，则这个独立的运动方式，则这个体系有个体系有 n 个自由度。个自由度。一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目的坐标的数目。普通机械中使用的普通机械中使用的机构机构有有一个自由度一个自由度，即只有一种运动，即只有一种运动方式；方式；一般工程一般工程结构结构都是都是几何不变体系几何不变体系，其，其
6、自由度为零自由度为零。凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、约束、约束约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约外部约束束和和内部约束内部约束两种。两种。外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座；外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座；内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结点，刚结点和链杆等。点，刚结点和链杆等。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、
7、约束、约束一个刚片在平面内有三个自由度一个刚片在平面内有三个自由度(xA,yA,q)若增加一根支杆把若增加一根支杆把 A 点与基础相连点与基础相连则则A点的坐标点的坐标 xA,yA 相互不独立，则相互不独立，则此刚片还剩下两个运动独立几何参此刚片还剩下两个运动独立几何参数数(xA,q)或或 (yA,q)。故此刚片的。故此刚片的自由度变为自由度变为2。结论：结论：一根支杆可抵销一个自由度，即相当于一个约束。一根支杆可抵销一个自由度，即相当于一个约束。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、约束、约束互不相连的两个刚片在平面内有几个自由度？互不相连的两个刚片在平面内有几个自由度？
8、6个个用铰用铰A连接连接则还剩下四个运动独立几何参数则还剩下四个运动独立几何参数xA,yA,q1,q2仅连接两个刚片的铰称为仅连接两个刚片的铰称为 单铰单铰结论：结论：一个单铰相当于两个约束，抵销两个自由度。一个单铰相当于两个约束，抵销两个自由度。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、约束、约束互不相连的三个刚片用铰互不相连的三个刚片用铰A连接连接其自由度由其自由度由9减少为减少为5xA,yA,q1,q2,q3连接多于连接多于2个刚片的铰称为个刚片的铰称为复铰复铰由此类推：由此类推：连接连接n个刚片的复铰，相当于个刚片的复铰，相当于n-1个单铰或个单铰或2(n-1)个约束个
9、约束。例如连接例如连接10个刚片的复铰，相当于个刚片的复铰，相当于18个约束，而体系的自由度应个约束，而体系的自由度应为为31018=122-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、约束、约束完全铰节点完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点2个单铰个单铰1个单铰个单铰1个单铰个单铰2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、约束、约束单刚结点单刚结点两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由度由6减少为减少为3。一个单刚结点相当于一个单刚结点相当
10、于3个约束。个约束。复刚节点复刚节点三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由自由度由9减少为减少为3。由此类推由此类推:连接连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点或个单刚结点或3(n 1)个约束。个约束。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念四四、约束、约束平面内互不相连的两个点平面内互不相连的两个点A,B,共有共有4个个自由度。自由度。用长为用长为 l 的链杆将其相连的链杆将其相连A,B成为同一刚片上的两个点，则自由成为同一刚片上的两个点，则自由度成为度成为3。一个链杆相当于一个链杆相当于1个约束个约
11、束若用数学表达式，则应满足以下条件：若用数学表达式，则应满足以下条件：4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动个独立运动几何参数。几何参数。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念五五、多余约束、多余约束如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，这种约束称为而减少，这种约束称为多余约束多余约束。无多余约束无多余约束有有1个多余约束个多余约束只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响。
12、体系的自由度没有影响。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念六六、瞬变体系、瞬变体系两根链杆彼此共线两根链杆彼此共线1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。左图两圆弧相左图两圆弧相切切，A点可作微小运动；点可作微小运动；右图两圆弧相右图两圆弧相交交，A点被完全固定。点被完全固定。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念六六、瞬变体系、瞬变体系2、当、当A点沿公切线发生微小位移后，两根链杆不再共线，因点沿公切线发生微小位移后，两根链杆不再共线，因而体系就不再是可变体系。而体系就不再是可变体系。本来是几何可变，经微小位移后又成为几
13、何不变的体系称为本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。瞬变体系。可变体系分为瞬变体系和常变体系，如果一个几何可变体系可变体系分为瞬变体系和常变体系，如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。可以发生大位移，则称为常变体系。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念六六、瞬变体系、瞬变体系3、对于、对于A点增加两根共线的链杆后，仍然具有点增加两根共线的链杆后，仍然具有1个自由度。可个自由度。可见在链杆见在链杆1和和2这两个约束中有一个是多余约束。这两个约束中有一个是多余约束。一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束。一般来说，在任一瞬变体系中必然存在
14、多余约束。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念七七、瞬铰、瞬铰点点O:瞬时转动中心瞬时转动中心此时刚片此时刚片I 的瞬时运动情况与刚片的瞬时运动情况与刚片I在在O点点用铰和基础相连的运动情况完全相同。用铰和基础相连的运动情况完全相同。从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为的约束作用，这个铰称为 瞬铰瞬铰在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变化。化。用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约
15、束的等效变换只适用于瞬时微小运动。束的等效变换只适用于瞬时微小运动。2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念八八、无穷远处的瞬铰、无穷远处的瞬铰如果用两根平行的链杆把刚片如果用两根平行的链杆把刚片I和基础相连，则其和基础相连，则其瞬铰在无穷远处瞬铰在无穷远处瞬时平动。瞬时平动。在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采用影射几何中关于用影射几何中关于点和点和线的四点结论：线的四点结论：1 每个方向有一个每个方向有一个点；点；2 不同方向有不同的不同方向有不同的点；点；3 各各点都在同一直线上，此直线称为点都在同一直线上，此直线称为线；线；4
16、 各有限点都不在各有限点都不在线上。线上。2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律一、一个点和一个刚片之间的联结方式一、一个点和一个刚片之间的联结方式 一个点和一个刚片（或基础）之间联结后即无多余约束又是一个点和一个刚片（或基础）之间联结后即无多余约束又是几何不变的整体几何不变的整体几何不变几何不变无多余约束无多余约束几何不变几何不变有多余约束有多余约束几何可变几何可变规律规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多
17、余约束。直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律二、两个刚片之间的联结方式二、两个刚片之间的联结方式几何不变几何不变无多余约束无多余约束规律规律2 两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。几何不变几何不变无多余约束无多余约束2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律二、两个刚片之间的联结方式二、两个刚片之间的联结方式几何不变几何不变无多余约束无多余约束规律
18、规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。组成几何不变的整体，并且没有多余约束。几何不变几何不变无多余约束无多余约束2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律三、三个刚片之间的联结方式三、三个刚片之间的联结方式几何不变几何不变无多余约束无多余约束规律规律4 三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。几何不变的整体，并且没有多余约束。几何不变几何不变无多余约束无多余约束2-2 平面几何不变体系
19、的组成规律平面几何不变体系的组成规律小结小结如果三个铰不共线，如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的则一个铰接三角形的形状是不变的，而且形状是不变的，而且没有多余约束，这个没有多余约束，这个基本规律可称为三角基本规律可称为三角形规律。形规律。2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件三链杆相交于同一点三链杆相交于同一点O,刚片刚片II相对于基础相对于基础 I 可绕点可绕点O作瞬时转作瞬时转动。动。瞬变体系瞬变体系 2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律关于三链杆不共点（三铰
20、不在一直线上）的条件关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件由图可知，由图可知，O1,O2,O3均是均是点点而根据影射几何而根据影射几何:各各点都在同一直线上点都在同一直线上因此，三个虚铰在同一直线上。因此，三个虚铰在同一直线上。刚片刚片II可以相对于基础可以相对于基础I在垂直链在垂直链杆的方向上作瞬时移动杆的方向上作瞬时移动(绕无穷远绕无穷远的一点作瞬时转动的一点作瞬时转动)。2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配上述四种基本组成规律也可归纳为三种基本装配格式：上述四种基本组成规律也可归纳为三种基本装配格式：固定一个结点的装配格式固定一个结
21、点的装配格式简单装配格式简单装配格式固定一个刚片的装配格式固定一个刚片的装配格式联合装配格式联合装配格式固定两个刚片的装配格式固定两个刚片的装配格式复合装配格式复合装配格式2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各种各样的几何不变且无多余约束的体系。种各样的几何不变且无多余约束的体系。装配的过程通常有两种：装配的过程通常有两种：1 从基础出发进行装配从基础出发进行装配 取基础作为基本刚片，将周围某个部件按照基本装配格式固定到取基础作为基本刚片，将周围
22、某个部件按照基本装配格式固定到基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。2 从内部刚片出发进行装配从内部刚片出发进行装配 先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片，最件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片，最后将扩大的基本刚片和基础装配，形成整个体系。后将扩大的基本刚片和基础装配，形成整个体系。2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配1 从基础出发进行装配从基础出发进行装配
23、-【例【例2-1】2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配1 从基础出发进行装配从基础出发进行装配-【例【例2-2】2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配1 从基础出发进行装配从基础出发进行装配-【例【例2-3】2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配2 从内部刚片出发进行装配从内部刚片出发进行装配-【例【例2-4】2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配四、体系的装配2 从内部刚片出发进行装配从内部刚片出发进行装配
24、-【例【例2-5】2-3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例2-3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例【例例2-6】对图所示体系作几何组成分析对图所示体系作几何组成分析实铰实铰(I II)实铰实铰(I III)虚铰虚铰(II III)连接三个刚片连接三个刚片I(基础基础)II III的三个铰的三个铰 不在一直线上。不在一直线上。故为几何不变体系，且无多余约束。故为几何不变体系，且无多余约束。2-3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例【例例2-7】利用无穷瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何组成利用无穷瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何组成若若(I III)和和(II
25、 III)的连线与刚片的连线与刚片I和刚片和刚片II连接的两个链杆连接的两个链杆平行，则三铰共线，体系是瞬变的。平行，则三铰共线，体系是瞬变的。注：注：每个方向有一个每个方向有一个点点；如果两者并不平行，则体系几何不变，且无多余约束。如果两者并不平行，则体系几何不变，且无多余约束。2-3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例【思考及讨论思考及讨论2-1】以下是几何不变体系还是几何瞬变体系？以下是几何不变体系还是几何瞬变体系？几何瞬变几何瞬变提示：提示：各各点都在同一直线上点都在同一直线上几何不变且无多余约束几何不变且无多余约束提示提示各有限点都不在各有限点都不在线上线上2-3 体系的几
26、何组成分析举例体系的几何组成分析举例【例例2-8】分析如图所示体系的几何构造分析如图所示体系的几何构造基础基础 刚片刚片I刚片刚片II刚片刚片III连接三个刚片连接三个刚片I(基基础础)II III的三个铰的三个铰 不在一直线上。不在一直线上。故为几何不变体系，故为几何不变体系，且无多余约束。且无多余约束。2-3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例课堂练习课堂练习:分析如图所示体系的几何构造分析如图所示体系的几何构造2-3 体系的几何组成分析举例体系的几何组成分析举例解答解答:几何瞬变几何瞬变2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自
27、由度 运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题：量回答以下两个问题：1)体系是否几何可变？自由度体系是否几何可变？自由度 S 是多少？是多少？2)体系有无多余约束？多余约束的个数体系有无多余约束？多余约束的个数 n 是多少？是多少？复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其它们进行构造分析，求出其 S 和和 n，引进计算自由度，引进计算自由度W 的概的概念，然后根据念，然后根据 W 来得出关于来得出关于 S 和和 n 的一些定性结论。的一些定性
28、结论。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度一、自由度一、自由度 S 的计算方法的计算方法 设设 体系中各个约束均不存在，体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和在此情况下计算各部件的自由度总和 a;在全部约束中确定非多余约束在全部约束中确定非多余约束 c;则有：则有：(2-1)此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，那些不是，这个问题涉及到体系的具体构造，体系越复杂，那些不是，这个问题涉及到体系的具体构造，体系越复杂，这个问题越难以解决。这个问题越难以解决。为了回避这个困难，定义一个新参数为了回避这个困
29、难，定义一个新参数 W计算自由度。计算自由度。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度二、计算自由度二、计算自由度 W 的概念的概念设设 体系中各个约束均不存在，体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和在此情况下计算各部件的自由度总和 a;在全部约束中确定在全部约束中确定全部的约束全部的约束 d;则有：则有：(2-2)由于全部的约束数由于全部的约束数 d 和非多余约束数和非多余约束数 c 的差值是多余约束的差值是多余约束 n(2-3)公式公式(2-3)表示了计算自由度表示了计算自由度W,自由度自由度S 和多余约束之间的关系。和多余约束之间的关系。注意，在公式注意，在公式
30、(2-2)中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束的刚片，如果中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束的刚片，如果有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时加以考虑。束总数时加以考虑。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度二、计算自由度二、计算自由度 W 的概念的概念(2-3)由于自由度由于自由度 S 多余约束多余约束 n 均不可能为负数，可得出：均不可能为负数，可得出：(2-4)(2-5)因此：因此：W 是自由度是自由度 S 的下限；的下限；(W)是多余约束是多余约束 n 的下限。的下
31、限。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度三、计算自由度三、计算自由度 W 的的算法的的算法算法算法1-刚片法：刚片法：把体系看作由许多刚片受铰接、刚接和链杆约束而组成的。把体系看作由许多刚片受铰接、刚接和链杆约束而组成的。m 体系中刚片的个数，则刚片自由度总和为体系中刚片的个数，则刚片自由度总和为3mg 单刚结的个数单刚结的个数h 单铰结的个数单铰结的个数b 单支杆的个数单支杆的个数则约束总数为则约束总数为 3g+2h+b则计算自由度为：则计算自由度为：(2-6)2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度三、计算自由度三、计算自由度 W 的的算法的的算法算法算法2-结点法：结
32、点法：把体系看作由许多结点受到链杆约束而组成。把体系看作由许多结点受到链杆约束而组成。b 单链杆个数单链杆个数(如果有复链杆，折算成单链杆如果有复链杆，折算成单链杆)j 结点个数，则有：结点个数，则有：(2-7)算法算法3-混合法：混合法：(2-8)2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度三、计算自由度三、计算自由度 W 的的算法的的算法关于复铰，复刚，复链杆的折算参照第关于复铰，复刚，复链杆的折算参照第1节之内容：节之内容：1 连接连接 n 个刚片的复铰，相当于个刚片的复铰，相当于 n 1 个单铰个单铰2 连接连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结
33、点个单刚结点3 连接连接 n 个点的复链杆相当于个点的复链杆相当于2n 3个单链杆。个单链杆。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度四、计算自由度四、计算自由度 W 的结果讨论的结果讨论计算自由度计算自由度W 可能为正、负或零。可能为正、负或零。若若W 0，则，则 S 0 则体系则体系几何可变；几何可变；若若W=0，则，则 S=n 则体系则体系如无多余约束则几何不变，如存在多如无多余约束则几何不变，如存在多余约束则几何可变；余约束则几何可变；若若W 0 则体系则体系有多余约束，不能确定是否几何不变。有多余约束，不能确定是否几何不变。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度五、
34、计算自由度五、计算自由度 W 的计算例题的计算例题【例例2-9】求所示体系的计算自由度。求所示体系的计算自由度。刚片数：刚片数：m=7单铰个数：单铰个数：h=9注意注意D,E复铰计算为复铰计算为2个单铰个单铰支杆个数：支杆个数：b=3刚片法：刚片法：刚结点个数：刚结点个数：g=02-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度五、计算自由度五、计算自由度 W 的计算例题的计算例题【例例2-9】求所示体系的计算自由度。求所示体系的计算自由度。结点数：结点数：j=7全部单链杆个数：全部单链杆个数：b=14注意链杆注意链杆AC,CB复链杆，连接复链杆，连接3个铰，每个复链杆计算为个铰，每个复链杆计算
35、为(2n3)=(233)=3个单链杆个单链杆结点法：结点法：2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度五、计算自由度五、计算自由度 W 的计算例题的计算例题【例例2-10】求所示体系的计算自由度。求所示体系的计算自由度。去除所有的约束去除所有的约束-内部有多余约束，在截面内部有多余约束，在截面G切开：切开：刚片数：刚片数：m=1A B G 三处单刚结点三处单刚结点h=0 链杆个数：链杆个数：b=4单铰个数：单铰个数：g=3 2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度五、计算自由度五、计算自由度 W 的计算例题的计算例题【例例2-10】求所示体系的计算自由度。求所示体系的计算自由度。
36、这个体系显然几何不变，这个体系显然几何不变，S=0因此这是一个具有因此这是一个具有10个多余约束的几何不变体系。个多余约束的几何不变体系。2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度五、计算自由度五、计算自由度 W 的计算例题的计算例题【例例2-11】(考研试题考研试题)图示体系的几何组成为图示体系的几何组成为:（）A.几何不变且无多余约束几何不变且无多余约束B.几何不变且有多余约束几何不变且有多余约束C.瞬变体系瞬变体系D.常变体系常变体系2-4 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度五、计算自由度五、计算自由度 W 的计算例题的计算例题解法一解法一 在增加了一根虚拟的链杆在增加了一根
37、虚拟的链杆GH后，体系为瞬变体系，而且后，体系为瞬变体系，而且其他所有的链杆都用到了，因其他所有的链杆都用到了，因此原体系缺少约束，为常变体此原体系缺少约束，为常变体系。系。解法二解法二先计算其先计算其“计算自由度计算自由度”W 0 马上可以判断该体系为常变体系。马上可以判断该体系为常变体系。2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系体系几何不变且无多余约束体系几何不变且无多余约束 一、静定结构的静力特征一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系几何不变且无多余约束的体系)通过静力平衡方程：通
38、过静力平衡方程：可求出可求出FCB 和和 FCA：体系几何不变且无多余约束体系几何不变且无多余约束 平面一般力系可列三个方程平面一般力系可列三个方程 可求出可求出FAx FAy和和FB 2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系静定结构的解答唯一性定理静定结构的解答唯一性定理 一、静定结构的静力特征一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系几何不变且无多余约束的体系)静定结构的全部支反力、内力都能由静力平衡方程完全静定结构的全部支反力、内力都能由静力平衡方程完全确定，且在任意的已知荷载作用下，它们的解答是唯一的。确定，且在任意的已知荷载作用下，它们的解答是唯一
39、的。静定结构的静力特征静定结构的静力特征 静力平衡方程数与未知约束力数相等，体系的全部反力静力平衡方程数与未知约束力数相等，体系的全部反力和内力，都可由静力平衡条件确定，而且解答是唯一的。当和内力，都可由静力平衡条件确定，而且解答是唯一的。当荷载为零时，体系的反力和内力也等于零。荷载为零时，体系的反力和内力也等于零。2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系二、二、超静定结构的静力特性超静定结构的静力特性(几何不变有多余约束的体系几何不变有多余约束的体系)静力平衡方程数小于未知约束力数静力平衡方程数小于未知约束力数体系反力、内力静不定体系反力、内力静不定(超静定超静定
40、)超静定次数等于多余约束数超静定次数等于多余约束数超静定结构的静力特性：超静定结构的静力特性：静力平衡方程数少于未知约束力数，体系的反力和内力不静力平衡方程数少于未知约束力数，体系的反力和内力不能单靠静力平衡条件完全确定，对应于每一种任意的已知荷载，能单靠静力平衡条件完全确定，对应于每一种任意的已知荷载，体系的反力和内力的解不是唯一的。体系的反力和内力的解不是唯一的。当荷载为零时，体系可以有非零的反力和内力当荷载为零时，体系可以有非零的反力和内力初内力或自内力初内力或自内力(超超静定结构极为重要的一个静力特性静定结构极为重要的一个静力特性)初内力或自内力状态：没有荷载作用，而体系有非零反力、内
41、力的情况初内力或自内力状态：没有荷载作用，而体系有非零反力、内力的情况2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系三、可变体系三、可变体系的静力特性的静力特性除特殊情况外，两未知力同时满足三个静力平衡方程是不可能的除特殊情况外，两未知力同时满足三个静力平衡方程是不可能的故在一般情况下，体系不可能保持平衡故在一般情况下，体系不可能保持平衡 (体系可变体系可变)可变体系的静力特性：可变体系的静力特性：静静力力平平衡衡方方程程数数多多于于未未知知约约束束力力数数，一一般般说说来来是是不不可可能能有有解解的，因而体系不可能保持平衡。的，因而体系不可能保持平衡。未知约束力数小于静
42、力平衡方程数未知约束力数小于静力平衡方程数可列出三个平衡方程：可列出三个平衡方程：2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系四、瞬变体系四、瞬变体系的静力特性的静力特性理理论论上上分分析析：瞬瞬变变体体系系只只能能发发生生很很小小的变形；的变形；实际情况实际情况:变形一般不会很小。变形一般不会很小。(即即使使承承受受很很小小荷荷载载，也也可可能能产产生生很很大内力，体系可能发生破坏大内力，体系可能发生破坏)2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系四、瞬变体系四、瞬变体系的静力特性的静力特性1当当sin(a a+b b)0 时时(即即a a+
43、b b 0 或或 180时时)为几何不变的体系为几何不变的体系(静定静定)，有唯一解，有唯一解2当当sin(a a+b b)=0 时时 且且a a+b b =0为几何可变的体系为几何可变的体系(常变体系常变体系)无解无解2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系四、瞬变体系四、瞬变体系的静力特性的静力特性2当当sin(a a+b b)=0 时时 且且a a+b b=180(a a=b b=90)时时瞬变体系瞬变体系(1)无无 Fy，仅有，仅有Fx作用时作用时超静定的超静定的FCA,FCB 均为不定值均为不定值(2)无无 Fx，仅有，仅有Fy作用时作用时反力、内力无限大
44、，实际上是不可能的，反力、内力无限大，实际上是不可能的，因因此体系不可能保持平衡，是可变的此体系不可能保持平衡，是可变的2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系四、瞬变体系四、瞬变体系的静力特性的静力特性瞬变体系瞬变体系-这种情况下一定会发生变形这种情况下一定会发生变形设设C点位移为点位移为 d d，a+b=l假设假设 d d l/20，a=b=l/2则则 FCA=FCB=5.025Fy此时杆件此时杆件 AC和和BC的应变为的应变为2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系四、瞬变体系四、瞬变体系的静力特性的静力特性对于对于Q235钢钢 s
45、 ss235MPa,E210GPa若取应变若取应变 e e=0.005应力早已超出了材料屈服极限，应力早已超出了材料屈服极限，因而实际变形因而实际变形d d 要比要比l/20大得多，大得多，结构已发生破坏结构已发生破坏工程上应极力避免采用瞬变或接近瞬变的体系工程上应极力避免采用瞬变或接近瞬变的体系构造。构造。2-5 体系的几何特征与静力特征的关系体系的几何特征与静力特征的关系四、瞬变体系四、瞬变体系的静力特性的静力特性瞬变体系的静力特征瞬变体系的静力特征-具有两重性具有两重性 (1)在某种特定荷载作用下，体系的反力和内力是超静定的；在某种特定荷载作用下，体系的反力和内力是超静定的；(2)在其他一般荷载作用下，体系不可能保持平衡，反力和内在其他一般荷载作用下，体系不可能保持平衡，反力和内力是无解的；力是无解的；当它发生变形之后，虽然也有解，但可能产生很大的反力和当它发生变形之后，虽然也有解，但可能产生很大的反力和内力，以至导致体系可能发生破坏。内力，以至导致体系可能发生破坏。本章课后作业本章课后作业【作业作业1】分析图示体系的几何构造分析图示体系的几何构造图图1图图2并求体系的计算自由度并求体系的计算自由度图图3图图4*本题选做本题选做【作业作业2】求图示系统的计算自由度求图示系统的计算自由度图图1 并进行几何构造分析并进行几何构造分析图图2图图3本章完本章完谢谢听讲谢谢听讲