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1、第一周9月1日教材及参考资料教材：常微分方程，(第三版）（07年精品教材），王高雄等（中山大学),高教出版社参考书目：1常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社2常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社3常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社4微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。教学安排第1周第12周，共48学时（第5周四，第6周国庆，实际授课时42学时）考试安排：在结课后一周考试，总成绩=平时（40%）+期末（60%），有小论文可以加分，每周四课后交作业答疑时间：周四晚7：00-9：00，地点7112第一章绪论常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具
2、，它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用随着计算技术和计算机的快速发展，常微分方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来越大的作用动力系统DynamicalsystemdescribestheevolutionofastateovertimeCurator:Dr.EugeneM.Izhikevich,Editor-in-ChiefofScholarpedia,thefreepeerreviewedencyclopedia第一章绪论线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组这些方程都是要把研究问题中的
3、已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程基本思想:把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解微分方程微分方程差不多是和微积分同时先后产生的牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解瑞士数学家雅各
4、布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论法国数学家Poincare及前苏联数学家Lyapunov等对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具1.1常微分方程模型RLC电路数学摆人口模型传染病模型两生物种群生态模型Lorenz方程RL电路基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和
5、等于零RLC电路数学摆人口模型马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r人口模型的改进Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假设：净相对增长率为logistic模型传染病模型假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t)假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数为kSI模型易感染者：Susceptible已感染者：InfectiveSIS模型对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感染，设单位时间治愈率为m
6、uSIR模型（R：移出者（Removed）对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者，而治愈率l为常数两生物种群生态模型意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t)假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比Volterra被捕食-捕食模型两种群竞争模型Lorenz方程Lorenz吸引子，蝴蝶效应对初值的敏感性分形（fractal）吸引盆总结微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态
7、系统从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型数学模型的建立有多种方式研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型由微分方程发现或预测新的规律和性质9月3日1.2基本概念1.2.1常微分方程基本概念定定义义（微微分分方方程程）联联系系自自变变量量、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数（或微分）的关系式称（或微分）的关系式称为为微分方程微分方程例1：下列关系式都是微分方程微分方程微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程都是常微分方程常微分方程常微分方程
8、如如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程 注:本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程定定义义 微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数数或或微微分的分的阶阶数称数称为为微分方程的微分方程的阶阶数数.是一阶微分方程 是二阶微分方程 是四阶微分方程微分方程的阶微分方程的阶如:n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程线性和非线性如如如果方程 是非线性微分方程 如如n阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程微分方程的解定义称为方程的显示解例证明:显式解与隐式解
9、隐式解注:显式解与隐式解统称为微分方程的解例如有显式解和隐式解:通解与特解定义如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解例如:n阶微分方程通解的一般形式为注:例证明:由于故又类似可定义方程的隐式通解如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解隐式通解也称为“通积分”在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解例如定义定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,
10、称为定解条件求满足定解条件的求解问题称为定解问题常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为注2:例（P19）解由于且解以上方程组得积分曲线和方向场积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场例 研究下列方程的方向场和积分曲线微分方程组驻定与非驻定，动力系统驻定（自治）非驻定（非自治）相空间、奇点和轨线不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间积分曲线在相空间中的投影称为轨线称为平衡解（驻定解、常数解），奇点、平衡点
11、例垂直等倾线、水平等倾线课外习题p27：.2(1、5)p27:3（1、5、8）p27:4第二周9月8日阶数与次数线性与非线性显示与隐式通解与特解相关与无关第二章一阶微分方程的初等解法2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换定义1形如方程,称为变量分离方程.一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解这样变量就“分离”开了.例：分离变量:两边积分:注:例1求微分方程的所有解.解:积分得:故方程的所有解为:解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:例2求微分方程的通解.例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数的定义有即故方程的通解为例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问
12、题的通解,所以所求的特解为:二、可化二、可化为变为变量分离方程量分离方程类类型型（I）齐齐次方程次方程 齐次线性方程组非齐次线性方程组P44例(I)形如方程称为齐次方程,求解方法:例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为(II)形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.这就是变量分离方程作变量代换(坐标变换)则方程化为为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:例7求
13、微分方程的通解.解:解方程组将变量分离后得两边积分得:变量还原并整理后得原方程的通解为注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如以及例8求微分方程的通解.解:代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为三、三、应应用用举举例例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。解:根据球体的体积和表面积的关系得分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得代入得雪球的体积随时间的变化关系为作业(9月8日)P42:1,3,5,7P43:2,4,69月
14、10日自治（驻定）非自治（非驻定）人口模型马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r9月10日一阶微分方程的初等解法变量分离方程齐次微分方程线性微分方程倍努利微分方程恰当方程其它变量分离恰当微分方程2.2 线线性方程与常数性方程与常数变变易法易法一阶线性微分方程一一阶线性微分方程的解法-常数变易法代入(1)得积分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐次方程的通解从分离变量得两边积分得故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为例2
15、求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为例3求值问题的解.解:先求原方程的通解故所给初值问题的通解为形如的方程,称为伯努利方程.解法:例4求方程的通解.解:解以上线性方程得例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二线性微分方程的应用举例电电路的路的Kirchhoff第二定律第二定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零.则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为 解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到设当
16、开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:故当开关K合上后,电路中电流强度为作业P481:1,3,5,7,9,11,13,152.3 恰当方程与恰当方程与积积分因子分因子 一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件如果恰好碰见方程就可以马上写出它的隐式解定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.1恰当方程的定义需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是证明“必要性”设(1)是恰当方程,故有从而故“充
17、分性”即应满足因此事实上故(8)注:若(1)为恰当方程,则其通解为二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1不定积分法例1验证方程是恰当方程,并求它的通解.解:故所给方程是恰当方程.即积分后得:故从而方程的通解为2分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把剩余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如例2求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:例3验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:故所求的初值问题的解为:第三周9月15日作业中存在的
18、问题积分时常忘记取绝对值从头到尾用一个常数符号变量代换时用一些常用的常量符号化简不彻底，如对数没合并，去绝对值时少正负号习惯用显函数表示，化简过头没有考虑使分母为零的点可能是解P28:8(1)P43：2（6）P43：2（7）人口模型马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为rWewouldliketo“solve”thedynamicsofthesystemtodeterminehowthestatewillevolveinthefuture(i.e.fort=0)3线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:由数学
19、分析曲线积分与路径无关的定理知:从而(1)的通解为例4求解方程解:故所给方程是恰当方程.故通解为:三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.1定义例5解:对方程有由于把以上方程重新“分项组合”得即也即故所给方程的通解为:2积分因子的确定即尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.变成即3定理微分方程例6求微分方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于利用恰当方程求解法得通解为积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法绝大多数方程求解都可以通
20、过寻找到一个合适的积分因子来解决但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验例7求解方程解:方程改写为:或:易看出,此方程有积分因子即故方程的通解为:例8求解方程解:故方程不是恰当方程,方法1:即故方程的通解为:方法2:方程改写为:容易看出方程左侧有积分因子:故方程的通解为:方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程的通解为:方法4:方程改写为:故方程的通解为:即方程的通解为:作业P601:（1）,（3）,（5）2：（2），（4）P613，52.4 一一阶隐阶隐方程与参数表示方程与参数表示 一阶隐式方程求解采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型
21、.主要研究以下四种类型定义1形如方程的解法,(I)若求得(4)的通解形式为将它代入(3),即得原方程(2)的通解(II)若求得(4)的通解形式为则得(2)的参数形式的通解为(III)若求得(4)的通解形式为则得(2)的参数形式的通解为附注1:附注2:解:整理化简后得方程例1求解方程解得(7)的通解为:将它代入(6)得原方程的通解:又从解得(7)的一个解为:从将它代入(6)得原方程的一个解:故原方程的解为:通解:及一个解:例2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.解:因此,切线在坐标轴上的因所求曲线在第一象限,由题意得即即故得通解为:它是直线族.得另
22、一特解为:这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线.2形如方程的解法,若求得(10)的通解形式为则得(9)的参数形式的通解为例3求解方程解:方程变形为:即解以上微分方程得:因而:故方程的通解参数形式为习惯通解记成:1形如方程的解法,即满足:两边积分得于是得到原方程参数形式的通解为解的步骤:“关键一步也是最困难一步”例4求解方程解故原方程参数形式的通解为由于积分得9月17日2形如方程的解法,解的步骤:“关键一步也是最困难一步”例5求解微分方程解由于故原方程参数形式的通解为积分得注:方程有多种解法用一(1)型作业P69-70：1,3请认真阅读P70的“本章学习要点”能用初等解法的微分方程是很有限
23、的，如Riccati方程一般没有初等解法第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理问题解不唯一解不存在AsolutiontothisdifferentialequationdoesnotexistforanyT=0 对于给定的微分方程对于给定的微分方程,它的通解一般有无它的通解一般有无限多个限多个,而给定初始条件后而给定初始条件后,其解可能不其解可能不存在；若存在，其解可能唯一存在；若存在，其解可能唯一,也可能不也可能不唯一唯一 满足初始条件的微分方程解的存在唯一性满足初始条件的微分方程解的存在唯一性定理是最基本的定理定理是最基本的定理 它是数值解的前提它是数值解的前提
24、 解对初值的连续依赖性解对初值的连续依赖性例例:证明初值问题证明初值问题的解存在且唯一。的解存在且唯一。证：若证：若是初始值问题的解是初始值问题的解,两端积分两端积分满足满足反之，若一个反之，若一个连续函数连续函数满足满足则它是则它是的解。的解。取取来证明来证明构造迭代序列构造迭代序列有解有解由于由于收敛，且收敛，且代入验证函数代入验证函数为初值问题为初值问题的解的解,这就得到解的存在性。这就得到解的存在性。唯一性证明唯一性证明:设有两个解设有两个解则则可微，且满足可微，且满足这就证明了解的唯一性。这就证明了解的唯一性。3.1 解的存在唯一性定理与逐解的存在唯一性定理与逐步逼近法步逼近法一存在
25、唯一性定理1定理1考虑初值问题Lipschitzcontinuous(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)这是为了即下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即反之故对上式两边求导,得且构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注命题2证明:(用数学归纳法)命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为对级数(3.
26、9)的通项进行估计于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有Weierstrass判别法现设命题4证明:即命题5证明:由综合命题15得到存在唯一性定理的证明.第四周9月22日P61P61存在唯一性定理1定理1考虑初值问题命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题3命题4命题5存在唯一性定理的说明3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件三近似计算和误差估计求方程近似解的方法：Picard逐步逼近法,这里注:上式可用数学归纳法证明则例1讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)c
27、ode%Untitled6.mclearx,y=ode45(riccati,0,10,0);plot(x,y);%riccati.mfunctionY=riccati(x,y)Y=x*x+y*y;例2求初值问题解的存在唯一区间.解例3利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为作业P10219月24日3.2 解的延拓解的延拓问题提出对于初值问题例如初值问题1饱和解及饱和区间定义12局部李普希茨(Lipschitz)条件定义2对定义2也可如下定义注3解的延拓定理定理证明定义函数以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直
28、到无法延拓为止.它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.最后得到一条长长的积分曲线,推论1则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2证明推论3例1讨论方程解该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为例2解注3.3 解解对对初初值值的的连续连续性和可微性定理性和可微性定理考察考察的解的解对初值的一些基本性质对初值的一些基本性质解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性 内容内容内容内容:yxG图例分析图例分析图例分析图例分析(见右见右见右见右)解可看成是关于解可看成
29、是关于的三元函数的三元函数满足满足 解对初值的对称性解对初值的对称性:前提前提前提前提解存在唯一解存在唯一例例:初值问题的解不单依赖于自变量初值问题的解不单依赖于自变量 ,同时也依赖于初值同时也依赖于初值 .初值变动初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动相应的初值问题的解也将随之变动.Q:Q:Q:Q:当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时,对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也
30、是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？证明则由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题又分成下面两个问题又分成下面两个问题又分成下面两个问题:Q1:Q1:解解在在某某有有限限闭闭区区间间 a,b 上上有有定定义义,讨讨论论初初值值 的的微微小小变变化化对对解解的的影影响响情情况况,称称为为解解对对初初值值的的连连续续性性.内内 容容包包 括括:当当初初值值发发生生小小的的变变化化时时,所所得得到到的的解解是是否否仍仍在在 a,b上上有有定定义义以以及及解解在在整整个个区区间间 a,b上上
31、是是否否也也变变化化很很小小?Q2:Q2:解解在在某某个个无无限限闭闭区区间间 上上有有定定义义,讨讨论论初初值值 的的微微小小变变化化是是否否仍仍有有解解在在 上上有有定定义义,且且解解在在整整个个区区 间间 上上变变化化也也很很小小?这这种种问问题题称称为为解解的的稳稳定定性性问问题题,将将在在第第六六章章中中讨讨论论.一一 解对初值的连续性解对初值的连续性定义设初值问题1.解对初值的连续依赖性初值问题引理引理引理引理 如果函数如果函数如果函数如果函数 于某域于某域于某域于某域GG内内内内连续连续，且，且，且，且关于关于 y 满足利普满足利普希茨条件希茨条件（利普希茨常数为（利普希茨常数为
32、（利普希茨常数为（利普希茨常数为L L），则对方程），则对方程），则对方程），则对方程 的任的任的任的任意两个解意两个解意两个解意两个解 及及及及 ,在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不等式等式等式等式 .其中其中其中其中 为所考虑为所考虑为所考虑为所考虑区间内的某一值。区间内的某一值。区间内的某一值。区间内的某一值。证明则于是因此两边取平方根即得2 2 2 2 定理定理定理定理1(1(1(1(解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理)条件条件条件条件:I
33、.I.I.I.在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件;II.II.II.II.是是是是(1)(1)(1)(1)满足满足满足满足 的解的解的解的解,定义定义定义定义 区间为区间为区间为区间为 a,ba,b.结论结论结论结论:对对对对 ,使得当使得当使得当使得当时时时时,方程方程方程方程(1)(1)(1)(1)过点过点过点过点 的解的解的解的解 在在在在 a,ba,b 上也有上也有上也有上也有定义定义定义定义,且且且且 方程方程方程方程0思路分析：思路分析：思路分析：思路分析：记
34、积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段S S：显然显然显然显然S S是是是是xyxy平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集.第一步第一步第一步第一步:找区域找区域找区域找区域D D,使使使使 ,且且且且 在在在在D D上满足上满足上满足上满足L Lips.ips.条件条件条件条件.yxG(见下图见下图见下图见下图)由已知条件由已知条件由已知条件由已知条件,对对对对 ,存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆 ,使使使使 在其内在其内在其内在其内满足满足满足满足L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件,利普希
35、茨常数为利普希茨常数为利普希茨常数为利普希茨常数为 .根据有限根据有限根据有限根据有限覆盖定理覆盖定理覆盖定理覆盖定理,存在存在存在存在N N,当当当当 时时时时,有有有有 对对对对 ,记记记记则以则以则以则以 为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径的圆,当其圆心从当其圆心从当其圆心从当其圆心从S S的的的的左端点沿左端点沿左端点沿左端点沿S S 运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时,扫过扫过扫过扫过的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域D Dba00第二步第二步第二步第二步:证明证明证明证明 在在在在
36、 a,ba,b 上有定义上有定义上有定义上有定义.假定假定假定假定 利用引理利用引理利用引理利用引理2 2 2 2及及及及 的连续性可得的连续性可得的连续性可得的连续性可得:第三步第三步第三步第三步:证明证明证明证明在不等式在不等式在不等式在不等式(*)(*)(*)(*)中将区间中将区间中将区间中将区间 c,dc,d 换成换成换成换成 a,ba,b 即得即得即得即得.根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有显然有显然有显然有:3 3 3 3 定理定理定理定理2 2 2
37、 2 (解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理)条件条件条件条件:在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件;方程方程方程方程结论结论结论结论:在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的.,作为作为作为作为 的函数的函数的函数的函数证明令二二 解对初值的可微性解对初值的可微性1 1 1 1 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参
38、数的连续依赖定理2 2 2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理3 3 3 3 解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理作业P1021,29月24日3.4 奇奇 解解 一、包一、包络络和和奇解奇解1 包包络络的定的定义义定定义义1：对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族：曲线族(3.23)的包包络络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.例如单参数曲线族：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径
39、等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.问题问题:对于给定的单参数曲线族对于给定的单参数曲线族:如何判断它是否有包如何判断它是否有包络络?如果有包如果有包络络,如何求如何求?2 包包络络的求法的求法曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程注注:解解:记则即例例1:的包络.求曲线族因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),xyO例例2:求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解解:记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:Oxy3 奇解奇
40、解定定义义2:微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.例如:4 奇解的求法奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注注:例例3:求微分方程的奇解.解解:从消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线即由于方程的通解为:三、克莱罗（三、克莱罗（Clairaut）方程）方程1定义3:形如的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.为求它的解,令得经化简,得2克莱罗(Clairaut)方程的求解这是y已解出的一阶微分方程.如果则得到于是,Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,则得到
41、Clairaut方程的以p为参数的解:或其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.结结果果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.如果令则因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证,此参数曲线恰为通解的包络例例4:求解方程解解:这是Clairaut方程,因而它有通解:其中因为所以从中消去参数c,得到原方程的奇解:xyO如图:故,此方程的通解是直线族:而奇解是通解的包络:作业P1111：（1），（3），（5）2：（2），（4）3.5 数值解数值解欧拉方法欧拉方法有1阶精度改进欧拉方法龙格-库塔方法四阶龙格-库塔
42、公式精确解为欧拉方法改进欧拉方法二阶龙格-库塔公式四阶龙格-库塔公式作业在你的计算机上安装Matlab熟悉三种算法读懂三种算法的程序代码验算能否找另外一个类似的微分方程初值问题并求解第五周9月29日（星期二）第三章学习要点解的存在惟一性定理解的一些基本性质一阶微分方程奇解求奇解的两种方法两种数值解法基本要求理解有关定理的内容掌握逐步逼近法解的存在唯一性定理1定理1考虑初值问题命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题3命题4命题5存在唯一性定理的说明注定理3.1中的两个条件是保证初值问题的解存在惟一的充分条件，而非必要条件反例一反例二P88P88P88P89
43、P89解的延拓定理10月10日补10月8日周四课第六周解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理证明因此,解对初值的连续性定理成立,即即和于是设即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理则的解,不难求得即和于是即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理的解,不难求得初值问题P102P103下求解由公式得例（见P102）包络和奇解在一阶微分方程里，奇解=包络一般的曲线族不一定有包络（同心圆族）C-判别曲线有时除去包络外，还有其他曲线（如(y-c)2-(2/3)(x-c)3=0,P105例2）P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步检验(如
44、P108例4，该方程没有奇解)第四章高阶微分方程重点线性微分方程的基本理论常系数方程的解法某些高阶微分方程的降阶方法二阶线性方程的幂级数解法第七周10月13日星期二4.1 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论4.1.1引言n阶非齐次（齐次）线性微分方程定义定义1称为n阶齐次微分方程例解的存在唯一性定理（P121）定理定理14.1.2 齐线齐线性方程的解的性性方程的解的性质质和和结结构构定理定理2叠加原理证明证明:故有故有例例1的解的解.解解:问题在什么条件下，能够成为n阶齐次线性微分方程的通解？它将具有什么特性？函数线性相关与线性无关线性相关与线性无关例定义定义2朗斯基(Wronsky
45、)行列式函数的线性相关性与Wronsky行列式的关系定理定理3证明证明:使得由线性代数理论知要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,注注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则推论推论定理定理4证明证明:“反证”（定理3的逆否命题）现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为由解的唯一性定理知由定理4易得下面结论推论推论1推论推论2总结n阶齐次线性微分方程（4.2）的n个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零，或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零注意恒等式由定理1知,方程(4.2)满足初始条件又因为由此得定理5齐线性方程线性无关解的存在性定理定理5通解的结构定理定理6考虑方程组以这组常数
46、构造由解的唯一性定理得:即推论推论基本解组基本解组:注注:基本解组不是唯一的.例例1因而有证明证明:由于微分上述行列式,得这时行列式最后一行的元素是则即从而所以故这是著名的刘维尔公式例例2对二阶微分方程解解:由刘维尔公式得不讲由此可得则就是二阶方程的另一解,又因为从而通解为例例3求微分方程解解:由上面导出的二阶方程的通解公式可得,不讲4.1.3 非齐次线性方程与常数变易法非齐次线性方程与常数变易法 非齐线性微分方程对应齐线性微分方程齐线性微分方程解的性质性质性质1证明证明:因为所以,由微分性质两式相加得性质性质2证明证明:则故通解的结构定理定理7证明证明:这些任常数是相互独立的,(4.14)为
47、方程(4.1)的解,由定理6的证明过程易知,由性质1知,故(4.14)为方程(4.1)的通解.则由性质2知,由定理6知,故即方程(4.1)的任一解都可由(4.14)表出,(4.14)包括了(4.1)的所有解.一阶线性非齐次微分方程的解法-常数变易法常数变易法则为方程(4.2)的通解.此时(4.15)变为将它代入(4.1),在理论上,这些限制条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令得和表达式继续上面做法,直到获得第n-1个条件和表达式因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得积分得例例3解解:利用常数变易法,令解得因此故通解为例例4解解:对应的齐线性方程为:将该齐
48、次方程改写成:积分得:所以故方程有基本解组:将原方程改写成:解得因此故原方程的通解为P1311,2,3(1)(2)10月15日周四注注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则P124：但是，如果是齐次方程（4.2）的解，那么我们有下面的定理.定理定理4证法证法:“反证”现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为由解的唯一性定理知与P123的反例并不矛盾！4.2 常系数线性方程的解法常系数线性方程的解法常系数齐次线性微分方程的求解能够彻底解决只须解一个代数方程而不必通过积分计算某些特殊非齐次线性微分方程，可通过代数运算和微分运算求通解这一节的内容与质点振动理论、电磁振荡理论有紧密的关系4.1.
49、1 复值函数与复值解复值函数与复值解1 复值函数复值函数复函数的求导法则与实函数求导法则相同复函数的求导法则与实函数求导法则相同2 复指数函数复指数函数欧拉公式欧拉公式:性质性质:定义定义3 复值解复值解(1)定义定义(2)定理定理8(3)定理定理9若方程和的解.4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程1 常系数齐线性方程的求解方法常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法待定系数法)考虑方程称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.我们知道,一阶常系数齐线性方程有解受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解把它代入方程(4.19)得的根,方程(4.21)称为方程
50、(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.(1)特征根是单根的情形由于故解组(4.22)线性无关.则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现,相应方程(4.19)有两个复值解,由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对方程的一对共轭复根:由此求得(4.19)的两个实值解为(2)特征根是重根的情形而对应方程(4.19)变为于是方程(4.19)化为方程(4.23)相应特征方程为直接计算易得因此这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,事实上,假设这些函数线性相关,恒等式(4.