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1、关于常微分方程恰当方程现在学习的是第1页，共40页本节课我们讨论另外一类可用初等解法求解的方程类型，为此将一阶微分方程的正规形式（显式方程形式）改写成或更加一般的微分形式:这种形式的优点是既可以把y看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看成未知函数，y看成自变量；即变量x、y在方程中的地位是平等对称的，因此微分形式的方程也被称为对称形式微分方程。注：在实际解题过程中，x、y经常被看成一个二元函数的两个自变量，其地位平等。现在学习的是第2页，共40页一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解现在学习的是第3页，共40页定义1则称微分方程是恰当方
2、程.如是恰当方程.1 恰当方程的定义现在学习的是第4页，共40页需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是现在学习的是第5页，共40页证明“必要性”设(1)是恰当方程,故有从而故现在学习的是第6页，共40页“充分性”即应满足现在学习的是第7页，共40页因此事实上现在学习的是第8页，共40页故(8)注:若(1)为恰当方程,则其通解为现在学习的是第9页，共40页二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1 不定积分法例1 验证方程是恰当方程,并求它的通解.
3、现在学习的是第10页，共40页解:故所给方程是恰当方程.现在学习的是第11页，共40页即积分后得:故从而方程的通解为现在学习的是第12页，共40页2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如现在学习的是第13页，共40页现在学习的是第14页，共40页例2 求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:现在学习的是第15页，共40页例3 验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即现在学习的是第16页，共40页或写
4、成故通解为:故所求的初值问题的解为:现在学习的是第17页，共40页3 线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:现在学习的是第18页，共40页从而(1)的通解为现在学习的是第19页，共40页例4 求解方程解:故所给方程是恰当方程.现在学习的是第20页，共40页故通解为:现在学习的是第21页，共40页三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.现在学习的是第22页，共40页对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.现在学习的是第23页，共40页1 定义例5解:
5、对方程有现在学习的是第24页，共40页由于把以上方程重新“分项组合”得即现在学习的是第25页，共40页也即故所给方程的通解为:2 积分因子的确定即现在学习的是第26页，共40页尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.现在学习的是第27页，共40页变成即现在学习的是第28页，共40页此时求得一个积分因子现在学习的是第29页，共40页现在学习的是第30页，共40页3 定理微分方程现在学习的是第31页，共40页现在学习的是第32页，共40页例6 求微分方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于现在学习的是第33页，共40页利用恰当方程求解法得通解为 积分因子是求解积分方程的一个极为重要
6、的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.现在学习的是第34页，共40页例7 求解方程解:方程改写为:或:易看出,此方程有积分因子现在学习的是第35页，共40页即故方程的通解为:例8 求解方程解:故方程不是恰当方程,现在学习的是第36页，共40页方法1:即故方程的通解为:现在学习的是第37页，共40页方法2:方程改写为:容易看出方程左侧有积分因子:故方程的通解为:现在学习的是第38页，共40页方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程的通解为:现在学习的是第39页，共40页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第40页，共40页