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1、第一章第一章 典型方程的导出、定解典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简问题及二阶方程的分类与化简 命题命题1 设开集设开集 在在 内连续如内连续如果对于任意的子集果对于任意的子集 ，都有，都有则在则在 上上命题命题2 设开集设开集 在在 内连续如内连续如果对于任意的果对于任意的 ，都有，都有则在则在 上上命题命题3(Stokes公式公式)设设 是一个有是一个有界光滑区域，对于界光滑区域，对于 的的m维向量值函数维向量值函数v，下面的积分等式成立：，下面的积分等式成立：其中其中n是是 上的单位外法向量，上的单位外法向量，dS是是 上的面积元素当上的面积元素当m=1,2,3时，上式就分时
2、，上式就分别是牛顿莱布尼兹公式，别是牛顿莱布尼兹公式，Green公式和公式和奥高公式奥高公式第一节第一节 典型方程的导出典型方程的导出 本节用到的两大物理定律是本节用到的两大物理定律是 守恒律（质守恒律（质量守恒，能量守恒，动量守恒）和变分原量守恒，能量守恒，动量守恒）和变分原理（最小势能原理）。理（最小势能原理）。所用到的数学方法是微元法和交换积分次所用到的数学方法是微元法和交换积分次序定理。序定理。利用守恒律推导微分方程的基本方法是：利用守恒律推导微分方程的基本方法是：守恒律守恒律+Stokes公式公式+交换积分次序定理，交换积分次序定理，得到微分方程得到微分方程 1.弦振动方程弦振动方程
3、 模型：一根拉紧的柔软细弦，假定在外力模型：一根拉紧的柔软细弦，假定在外力的作用下，弦在平面上作微小横振动，即的作用下，弦在平面上作微小横振动，即振动方向与弦的平衡位置垂直振动方向与弦的平衡位置垂直 问题：问题：研究弦的振动规律研究弦的振动规律 记记 -单位长度的质量（密度）；单位长度的质量（密度）；u-位移；位移；f0-在在u的正方向的正方向,单位长度上的外力密度，单位长度上的外力密度，T-张力张力 建立坐标系：以弦的平衡位置为建立坐标系：以弦的平衡位置为x轴，在轴，在弦作振动的平面上取与弦作振动的平面上取与x轴垂直的方向为轴垂直的方向为u轴，弦的一端为原点，弦长为轴，弦的一端为原点，弦长为
4、 l.分析：分析：(1)细：横截面的直径细：横截面的直径d l，运动状，运动状态在同一横截面上处处相同态在同一横截面上处处相同;(2)拉紧：指的是弦线在弹性范围内，因此拉紧：指的是弦线在弹性范围内，因此Hooke定律成立，张力与弦线的相对伸长成定律成立，张力与弦线的相对伸长成正比；正比；(3)柔软：弦在每一点处，该点两端的部分柔软：弦在每一点处，该点两端的部分之间有相互作用力这个力的分量一般来讲之间有相互作用力这个力的分量一般来讲有切向力和法向力柔软是指没有抗弯曲的有切向力和法向力柔软是指没有抗弯曲的张力，张力只是沿切线方向；张力，张力只是沿切线方向；(4)微小位移：弦的位置只作了微小变化，微
5、小位移：弦的位置只作了微小变化，即即|ux|1；(5)横振动：只有沿横振动：只有沿u方向的位移方向的位移动量守恒律可以写成：动量守恒律可以写成：t=t2时的动量时的动量t=t1时的动量时的动量外力在外力在t1,t2内内的冲量的冲量一维弦振动方程一维弦振动方程 二维波动方程二维波动方程 n维波动方程维波动方程 n维维Poisson方程方程 n维维Laplace方程方程 2.热传导方程热传导方程 模型：各向同性的物体，内部有热源，模型：各向同性的物体，内部有热源，与周围介质有热交换，求物体内部的温度与周围介质有热交换，求物体内部的温度分布分布 物理规律：物理规律：(1)能量守恒：在物体内任取能量守
6、恒：在物体内任取一部分一部分,取任意时段取任意时段(2)Fourier热力学定律：热流量的大小与热力学定律：热流量的大小与温度的梯度成正比。温度的梯度成正比。V中增加中增加的热量的热量流入的热量流入的热量内部产生内部产生的热的热量量记记 -物体的密度；物体的密度；u-温度；温度；c-比比热；热；f0-热源强度，热源强度，q-热流密度热流密度 三维热传导方程三维热传导方程 第二节第二节 偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念 一、定义一、定义 含有未知函数的偏导数的方程叫含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方偏微分方程程 方程中出现的最高阶偏导数的阶数称为方方程中出现的最高阶偏导数的阶数称为方程
7、的程的阶数阶数如果方程中的项关于未知函数及其各阶偏如果方程中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程为导数的整体来讲是线性的，就称方程为线线性性的，否则就称为非线性的非线性又分的，否则就称为非线性的非线性又分为半线性，拟线性和完全非线性为半线性，拟线性和完全非线性二、定解条件和定解问题二、定解条件和定解问题给出它的初始状态和边界状态，即给出外给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为加的特定条件，这种特定条件称为定解条定解条件件描述初始时刻物理状态的定解条件称为描述初始时刻物理状态的定解条件称为初初值条件或初始条件。值条件或初始条件。描述边界上物理状态
8、的条件称为描述边界上物理状态的条件称为边界条件边界条件或边值条件。或边值条件。一个方程匹配上定解条件就构成一个方程匹配上定解条件就构成定解问题定解问题1.弦振动方程弦振动方程 初值条件是初始时刻初值条件是初始时刻(t=0)的位移和速度：的位移和速度：边界条件是弦在两端点的状态，一般有三种：边界条件是弦在两端点的状态，一般有三种：(1)第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet边界条件边界条件)：已知端点：已知端点x=a处弦的位移：处弦的位移：u(a,t)=g(t)(2)第二类边界条件第二类边界条件(Neumann边界条件边界条件)：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，已知端点处弦所受的垂
9、直于弦线的外力，即即 (3)第三类边界条件第三类边界条件(混合边界条件或混合边界条件或Robin边界条件边界条件)：已知端点处弦的位移和：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：所受的垂直于弦线的外力的和：2.热传导方程热传导方程 初值条件初值条件:已知初始温度分布已知初始温度分布边界条件边界条件:根据边界上温度受周围介质的影根据边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种：响情况，可分为三种：第一类边界条件：已知边界上的温度分布第一类边界条件：已知边界上的温度分布 第二类边界条件：已知通过边界进入内部的热量第二类边界条件：已知通过边界进入内部的热量第三类边界条件：通过边界物体与周围介质
10、有热交换第三类边界条件：通过边界物体与周围介质有热交换 3.Poisson方程或方程或Laplace方程方程 只有边界条件（同样有三类），没有初值只有边界条件（同样有三类），没有初值条件条件对于波动方程和热传导方程，如果区域没对于波动方程和热传导方程，如果区域没有边界，当然也没有边界条件，只有初值有边界，当然也没有边界条件，只有初值条件条件 偏微分方程偏微分方程+初值条件初值条件+边界条件，称为边界条件，称为初边值问题或初边值问题或混合问题混合问题；偏微分方程偏微分方程+初值条件，称为初值问题，初值条件，称为初值问题，也叫也叫Cauchy问题问题；偏微分方程偏微分方程+边界条件，称为边界条件，
11、称为边值问题边值问题三、定解问题的适定性三、定解问题的适定性1 解的存在性：给出的定解问题有解；解的存在性：给出的定解问题有解；2 解的唯一性：给出的定解问题只有一个解的唯一性：给出的定解问题只有一个解；解；3解的稳定性：当定解条件（初值条件，边解的稳定性：当定解条件（初值条件，边界条件）以及方程中的系数有微小变动时，界条件）以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动解的稳定性也相应的解也只有微小变动解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性称为解关于参数的连续依赖性解的存在性、唯一性和稳定性，三者合起解的存在性、唯一性和稳定性，三者合起来称为解的适定性来称为解的适定性第三节第三节 二阶
12、线性偏微分方程的分类与化简二阶线性偏微分方程的分类与化简 二阶线性偏微分方程的一般形式是二阶线性偏微分方程的一般形式是n=2时的一般形式是时的一般形式是二次曲线二次曲线二阶方程二阶方程标准形式标准形式双曲线双曲线双曲型方程双曲型方程椭椭 圆圆椭圆型方程椭圆型方程抛物线抛物线抛物型方程抛物型方程一一.2个自变量的个自变量的2阶线性偏微分方程的分类与化简阶线性偏微分方程的分类与化简 引入自变量替换引入自变量替换如果变换可逆，即如果变换可逆，即特征方程特征方程 结论：如果在点结论：如果在点 处处 则称方程在则称方程在该点处是双曲型的如果方程在该点的邻该点处是双曲型的如果方程在该点的邻域内是双曲型的，
13、那么在该邻域内方程可域内是双曲型的，那么在该邻域内方程可以化简成形如以化简成形如(3)的标准形式的标准形式如果方程在每一点如果方程在每一点 处都是双曲型处都是双曲型的，则称它在的，则称它在 中是双曲型的中是双曲型的结论：如果在点结论：如果在点 处处 则称方程在则称方程在该点处是抛物型的如果方程在该点的邻该点处是抛物型的如果方程在该点的邻域内是抛物型的，那么在该邻域内方程可域内是抛物型的，那么在该邻域内方程可以化简成形如以化简成形如(4)的标准形式的标准形式如果方程在每一点如果方程在每一点 处都是抛物型处都是抛物型的，则称它在的，则称它在 中是抛物型的中是抛物型的结论：如果在点结论：如果在点 处处 则称方程在则称方程在该点处是椭圆型的如果方程在该点的邻该点处是椭圆型的如果方程在该点的邻域内是椭圆型的，那么在该邻域内方程可域内是椭圆型的，那么在该邻域内方程可以化简成形如以化简成形如(5)的标准形式的标准形式如果方程在每一点如果方程在每一点 处都是椭圆型处都是椭圆型的，则称它在的，则称它在 中是椭圆型的中是椭圆型的例例例例例例例例例例 求其通解求其通解