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1、优质文本导数高考题1函数fx=x3+ax+，gx=lnxi当 a为何值时，x轴为曲线y=fx的切线；ii用min m，n 表示m，n中的最小值，设函数hx=min fx，gxx0，讨论hx零点的个数解：ifx=3x2+a，设曲线y=fx与x轴相切于点Px0，0，那么fx0=0，fx0=0，解得，a=因此当a=时，x轴为曲线y=fx的切线；ii当x1，+时，gx=lnx0，函数hx=min fx，gxgx0，故hx在x1，+时无零点当x=1时，假设a，那么f1=a+0，hx=min f1，g1=g1=0，故x=1是函数hx的一个零点；假设a，那么f1=a+0，hx=min f1，g1=f10，故
2、x=1不是函数hx的零点；当x0，1时，gx=lnx0，因此只考虑fx在0，1内的零点个数即可当a3或a0时，fx=3x2+a在0，1内无零点，因此fx在区间0，1内单调，而f0=，f1=a+，当a3时，函数fx在区间0，1内有一个零点，当a0时，函数fx在区间0，1内没有零点当3a0时，函数fx在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，fx取得最小值=假设0，即，那么fx在0，1内无零点假设=0，即a=，那么fx在0，1内有唯一零点假设0，即，由f0=，f1=a+，当时，fx在0，1内有两个零点当3a时，fx在0，1内有一个零点综上可得：当或a时，hx有一个零点；当a=或时，hx有两个零点；当
3、时，函数hx有三个零点2设函数fx=emx+x2mx1证明：fx在，0单调递减，在0，+单调递增；2假设对于任意x1，x21，1，都有|fx1fx2|e1，求m的取值范围解：1证明：fx=memx1+2x假设m0，那么当x，0时，emx10，fx0；当x0，+时，emx10，fx0假设m0，那么当x，0时，emx10，fx0；当x0，+时，emx10，fx0所以，fx在，0时单调递减，在0，+单调递增2由1知，对任意的m，fx在1，0单调递减，在0，1单调递增，故fx在x=0处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|fx1fx2|e1的充要条件是即设函数gt=ette+1，那么gt=et1当
4、t0时，gt0；当t0时，gt0故gt在，0单调递减，在0，+单调递增又g1=0，g1=e1+2e0，故当t1，1时，gt0当m1，1时，gm0，gm0，即合式成立；当m1时，由gt的单调性，gm0，即emme1当m1时，gm0，即em+me1综上，m的取值范围是1，13函数fx=lnx+1a1讨论fx的单调性；设a1=1，an+1=lnan+1，证明：an解：函数fx的定义域为1，+，fx=，当1a2时，假设x1，a22a，那么fx0，此时函数fx在1，a22a上是增函数，假设xa22a，0，那么fx0，此时函数fx在a22a，0上是减函数，假设x0，+，那么fx0，此时函数fx在0，+上是
5、增函数当a=2时，fx0，此时函数fx在1，+上是增函数，当a2时，假设x1，0，那么fx0，此时函数fx在1，0上是增函数，假设x0，a22a，那么fx0，此时函数fx在0，a22a上是减函数，假设xa22a，+，那么fx0，此时函数fx在a22a，+上是增函数由知，当a=2时，此时函数fx在1，+上是增函数，当x0，+时，fxf0=0，即lnx+1，x0，又由知，当a=3时，fx在0，3上是减函数，当x0，3时，fxf0=0，lnx+1，下面用数学归纳法进行证明an成立，当n=1时，由，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，an+1=lnan+1ln，an+1=lnan
6、+1ln，即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立4函数fx=exex2x讨论fx的单调性；设gx=f2x4bfx，当x0时，gx0，求b的最大值；1.41421.4143，估计ln2的近似值精确到0.001解：由fx得fx=ex+ex2，即fx0，当且仅当ex=ex即x=0时，fx=0，函数fx在R上为增函数gx=f2x4bfx=e2xe2x4bexex+8b4x，那么gx=2e2x+e2x2bex+ex+4b2=2ex+ex22bex+ex+4b4=2ex+ex2ex+ex+22bex+ex2，ex+ex+24，当2b4，即b2时，gx0，当且仅当x=0时取等号，从而gx在
7、R上为增函数，而g0=0，x0时，gx0，符合题意当b2时，假设x满足2ex+ex2b2即，得，此时，gx0，又由g0=0知，当时，gx0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为21.41421.4143，根据中gx=e2xe2x4bexex+8b4x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入gx的解析式中，得当b=2时，由gx0，得，从而；令，得2，当时，由gx0，得，得所以ln2的近似值为0.6935设函数fx=aexlnx+，曲线y=fx在点1，f1处得切线方程为y=ex1+2求a、b；证明：fx1解：函数fx的定义域为0，+，fx=+，由题意可得f1=2，f1=e，故a=1，b
8、=2；由知，fx=exlnx+，fx1，exlnx+1，lnx，fx1等价于xlnxxex，设函数gx=xlnx，那么gx=1+lnx，当x0，时，gx0；当x，+时，gx0故gx在0，上单调递减，在，+上单调递增，从而gx在0，+上的最小值为g=设函数hx=xex，那么hx=ex1x当x0，1时，hx0；当x1，+时，hx0，故hx在0，1上单调递增，在1，+上单调递减，从而hx在0，+上的最大值为h1=综上，当x0时，gxhx，即fx16函数fx=x2+ax+b，gx=excx+d假设曲线y=fx和曲线y=gx都过点P0，2，且在点P处有相同的切线y=4x+2求a，b，c，d的值；假设x2
9、时，fxkgx，求k的取值范围解：由题意知f0=2，g0=2，f0=4，g0=4，而fx=2x+a，gx=excx+d+c，故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；由I知，fx=x2+4x+2，gx=2exx+1，设Fx=kgxfx=2kexx+1x24x2，那么Fx=2kexx+22x4=2x+2kex1，由题设得F00，即k1，令Fx=0，得x1=lnk，x2=2，假设1ke2，那么2x10，从而当x2，x1时，Fx0，当xx1，+时，Fx0，即Fx在2，x1上减，在x1，+上是增，故Fx在2，+上的最小值为Fx1，而Fx1=x1x1+20，x2时Fx0，
10、即fxkgx恒成立假设k=e2，那么Fx=2e2x+2exe2，从而当x2，+时，Fx0，即Fx在2，+上是增，而F2=0，故当x2时，Fx0，即fxkgx恒成立假设ke2时，Fx2e2x+2exe2，而F2=2ke2+20，所以当x2时，fxkgx不恒成立，综上，k的取值范围是1，e27函数fx=exlnx+m设x=0是fx的极值点，求m，并讨论fx的单调性；当m2时，证明fx0解：，x=0是fx的极值点，解得m=1所以函数fx=exlnx+1，其定义域为1，+设gx=exx+11，那么gx=exx+1+ex0，所以gx在1，+上为增函数，又g0=0，所以当x0时，gx0，即fx0；当1x0
11、时，gx0，fx0所以fx在1，0上为减函数；在0，+上为增函数；证明：当m2，xm，+时，lnx+mlnx+2，故只需证明当m=2时fx0当m=2时，函数在2，+上为增函数，且f10，f00故fx=0在2，+上有唯一实数根x0，且x01，0当x2，x0时，fx0，当xx0，+时，fx0，从而当x=x0时，fx取得最小值由fx0=0，得，lnx0+2=x0故fx=0综上，当m2时，fx08函数I假设x0时，fx0，求的最小值；II设数列an的通项an=1+解：I由，f0=0，fx=，f0=0欲使x0时，fx0恒成立，那么fx在0，+上必为减函数，即在0，+上fx0恒成立，当0时，fx0在0，+
12、上恒成立，为增函数，故不合题意，假设0时，由fx0解得x，那么当0x，fx0，所以当0x时，fx0，此时不合题意，假设，那么当x0时，fx0恒成立，此时fx在0，+上必为减函数，所以当x0时，fx0恒成立，综上，符合题意的的取值范围是，即的最小值为 II令=，由I知，当x0时，fx0，即取x=，那么于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2，所以。9设函数fx=ax+cosx，x0，讨论fx的单调性；设fx1+sinx，求a的取值范围解：求导函数，可得fx=asinx，x0，sinx0，1；当a0时，fx0恒成立，fx单调递减；当a1 时，fx0恒成立，fx单调递增；当0a1时，由fx=0得
13、x1=arcsina，x2=arcsina当x0，x1时，sinxa，fx0，fx单调递增当xx1，x2时，sinxa，fx0，fx单调递减当xx2，时，sinxa，fx0，fx单调递增； 由fx1+sinx得f1，a11，a令gx=sinx0x，那么gx=cosx当x时，gx0，当时，gx0，gx0，即0x，当a时，有当0x时，cosx1，所以fx1+sinx；当时，=1+1+sinx综上，a10函数fx=+，曲线y=fx在点1，f1处的切线方程为x+2y3=0求a、b的值；如果当x0，且x1时，fx+，求k的取值范围解：由题意f1=1，即切点坐标是1，1，由于直线x+2y3=0的斜率为，且
14、过点1，1，故，即解得a=1，b=1由知，所以考虑函数x0，那么i设k0，由知，当x1时，hx0而h1=0，故当x0，1时，hx0，可得；当x1，+时，hx0，可得hx0从而当x0，且x1时，fx+0，即fx+ii设0k1由于当x1，时，k1x2+1+2x0，故hx0，而h1=0，故当x1，时，hx0，可得hx0，与题设矛盾iii设k1此时hx0，而h1=0，故当x1，+时，hx0，可得hx0，与题设矛盾综合得，k的取值范围为，011设函数fx=1ex证明：当x1时，fx；设当x0时，fx，求a的取值范围解：1当x1时，fx当且仅当ex1+x，令gx=exx1，那么gx=ex1当x0时gx0，
15、gx在0，+是增函数当x0时gx0，gx在，0是减函数于是gx在x=0处到达最小值，因而当xR时，gxg0时，即ex1+x，所以当x1时，fx2由题意x0，此时fx0当a0时，假设x，那么0，fx不成立；当a0时，令hx=axfx+fxx，那么fx当且仅当hx0因为fx=1ex，所以hx=afx+axfx+fx1=afxaxfx+axfxi当0a时，由1知xx+1fxhxafxaxfx+ax+1fxfx=2a1fx0，hx在0，+是减函数，hxh0=0，即fxii当a时，由i知xfxhx=afxaxfx+axfxafxaxfx+afxfx=2a1axfx当0x时，hx0，所以hx0，所以hxh
16、0=0，即fx综上，a的取值范围是0，12函数fx=x+1lnxx+1假设xfxx2+ax+1，求a的取值范围；证明：x1fx0解：，xfx=xlnx+1，题设xfxx2+ax+1等价于lnxxa令gx=lnxx，那么，当0x1，gx0；当x1时，gx0，x=1是gx的最大值点，gxg1=1 综上，a的取值范围是1，+由知，gxg1=1即lnxx+10当0x1时，fx=x+1lnxx+1=xlnx+lnxx+10；当x1时，fx=lnx+xlnxx+1=0所以x1fx013设函数fx=x2+aln1+x有两个极值点x1、x2，且x1x2，求a的取值范围，并讨论fx的单调性；证明：fx2解：I，
17、令gx=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程gx=0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为，得1当x1，x1时，fx0，fx在1，x1内为增函数；2当xx1，x2时，fx0，fx在x1，x2内为减函数；3当xx2，+时，fx0，fx在x2，+内为增函数；II由Ig0=a0，a=2x22+2x2fx2=x22+aln1+x2=x222x22+2x2ln1+x2设hx=x22x2+2xln1+x，x0那么hx=2x22x+1ln1+x2x=22x+1ln1+x1当时，hx0，hx在单调递增；2当x0，+时，hx0，hx在0，+单调递减故14函数fx=x3+3x2+ax+bex1
18、如a=b=3，求fx的单调区间；2假设fx在，2，单调增加，在，2，+单调减少，证明：6解：当a=b=3时，fx=x3+3x23x3ex，故fx=x3+3x23x3ex+3x2+6x3ex=exx39x=xx3x+3ex 当x3或0x3时，fx0；当3x0或x3时，fx0从而fx在，3，0，3单调增加，在3，0，3，+单调减少；fx=x3+3x2+ax+bex+3x2+6x+aex=exx3+a6x+ba由条件得：f2=0，即23+2a6+ba=0，故b=4a，从而fx=exx3+a6x+42a因为f=f=0，所以x3+a6x+42a=x2xx=x2x2+x+将右边展开，与左边比较系数得，+=2，=a2故，又220，即2+40由此可得a6于是6