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1、1 平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1）B（1，-1）C(1,1)D(-1，1），y 轴上有一点P（0,2)。作点 P关于点 A的对称点p1，作 p1 关于点 B的对称点p2，作点 p2 关于点 C的对称点 p3，作 p3关于点 D的对称点p4，作点 p4 关于点 A的对称点 p5,作 p5 关于点 B的对称点 p6,按如此操作下去,则点p2011 的坐标是多少?解法 1：对称点P1、P2、P3、P4每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1，P2，P3，P4 组成。第 1 周期点的坐标为：P1(2，0），P2(0，2),P3（-2,0)，P
2、4(0，2）第 2 周期点的坐标为：P1(2，0）,P2（0，2），P3（2,0），P4(0,2）第 3 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2（0,2），P3(-2，0)，P4（0,2)第 n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2（0，2),P3(-2,0），P4(0,2)20114=5023，所以点P2011 的坐标与 P3坐标相同，为(2，0）解法 2:根据题意，P1（2，0)P2（0,2)P3（2，0）P4（0,2）。根据 p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n(0,2），P4n+1（2,0)，P4n+2（0,2)，P4n+3（2,0）。20114=5023，所以点P2011
3、的坐标与 P3坐标相同，为（2，0)总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点.此题是每四个点一循环，起始点是 p 点。2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动 1 个单位其行走路线如下图所示(1）填写下列各点的坐标：A4(，),A8（，），A10(，），A12（)；(2）写出点A4n的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am在 x 轴上，请用含n 的代数式表示m(n 是正整数）(4)指出蚂蚁从点A2011到点 A2012的移动方向（5）指出蚂蚁从点A100到点 A101的移动方向(6)指出 A106,A20
4、1的的坐标及方向。解法：（1）由图可知，A4，A12，A8 都在 x 轴上，小蚂蚁每次移动1 个单位，OA4=2，OA8=4,OA12=6，A4（2，0），A8(4，0），A12（6，0）；同理可得出:A10（5，1）（2）根据（1）OA4n=4n 2=2n，点A4n的坐标（2n,0）；（3)只有下标为4 的倍数或比4n 小 1 的数在 x 轴上，点 Am在 x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n或 m=4n-1；（4)20114=5023，从点 A2011 到点 A2012 的移动方向与从点A3到 A4的方向一致,为向右(5）点 A100中的 n正好是 4 的倍数,所以点 A100和 A
5、101的坐标分别是A100(50，0）和 A101(50，1），所以蚂蚁从点A100到 A101的移动方向是从下向上。（6)方法 1：点 A1、A2、A3、A4每 4 个点，图形为一个循环周期.设每个周期均由点A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1（0,1)，A2(1,1），A3(1,0），A4(2，0）第 2 周期点的坐标为：A1（2,1)，A2(3，1)，A3（3,0），A4（4，0)第 3 周期点的坐标为:A1(4,1)，A2（5,1)，A3（5,0），A4(6,0)第 n 周期点的坐标为:A1(2n-2,1），A2(2n1,1)，A3(2n1,0)，A4(2n，0)
6、1064=262，所以点 A106坐标与第27 周期点 A2坐标相同，（227-1,1），即（53，1)方向朝下.2014=501,所以点 A201坐标与第51 周期点 A1坐标相同,（251-2，1),即(100，1)方向朝右。O 1 A1 A2A3A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12x y y千。（I.I)。C(Ll,、o，与i!(l.ll 1l,IJ 里.:.0 2 方法 2:由图示可知，在 x 轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上.106=104+2,即点 A104 再移动两个单位后到达点A106,A104 的坐标为（52，0）且移动的方向朝
7、上，所以A106 的坐标为（53，1)，方向朝下。同理：201=200+1，即点 A200再移动一个单位后到达点A201，A200 的坐标为（100，0)且移动的方向朝上，所以A201的坐标为(100，1），方向朝右。3、一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动,在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0,0)(0，1）(1，1）（1,0），且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011 秒所在点的坐标及方向?解法 1：到达(1,1）点需要2 秒到达（2，2）点需要2+4 秒到达（3，3）点需要2+4+6 秒到达（n,n）点需
8、要2+4+6+。.。+2n 秒 n（n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。35=56+5，所以第56=30 秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到(5，0)即第 35 秒在（5，0）处，方向向右.42=67,所以第 67=42 秒在（6，6）处，方向向左49=67+7，所以第67=42 秒在（6，6）处，再向左移动6秒,向上移动一秒到（0，7）即第 49 秒在（0，7）处，方向向右解法 2：根据图形可以找到如下规律，当n 为奇数是n2 秒处在(0，n）处，且方向指向右;当 n 为偶数时 n2 秒处在（n,0)处,且方向指向上。35=62
9、1,即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35 秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011 处的坐标及方向.4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或 y 轴平行从内到外，它们的边长依次为 2,4，6,8，顶点依次用A1，A2，A3，A4，表示，顶点A55的坐标是()解法 1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。观察图象，点A1、A2、A3、A4每 4 个点,图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2,A3，A4组成.第 1 周期点的坐标为:A1(1，-1),A2（1,1)，A3（1，1),A4（1，-
10、1)第 2 周期点的坐标为:A1（2，-2),A2(2,2)，A3(2，2),A4(2，-2）第 3 周期点的坐标为：A1(3,-3),A2(-3,3),A3（3，3），A4（3,3)第 n 周期点的坐标为:A1(n,-n），A2（n,n），A3（n,n),A4(n,-n）554=133，A55坐标与第14 周期点 A3坐标相同，(14,14），在同一象限解法 2:55=413+3,A55 与 A3在同一象限，即都在第一象限,根据题中图形中的规律可得:3=4 1 1，A3的坐标为（1，1）,7=4 2-1，A7的坐标为（2,2），11=4 3-1,A11 的坐标为(3，3）；55=41 4-1
11、，A55（14,14)y.J.2。2 3 x v v、Arn Au?-15 兰岛A2 A;。x Ai 1.4s At Au 3 5、一质点P从距原点1 个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM 的中点 M3处，第二次从M3跳到 OM3 的中点 M2处，第三次从点M2跳到 OM2 的中点 M1处，如此不断跳动下去,则第 n 次跳动后，该质点到原点O的距离为（）解：由于OM=1，所有第一次跳动到OM 的中点 M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的2 处，同理跳动n 次后，即跳到了离原点的处68、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图
12、中“”方向排列，如（1，0),（2，0）,（2，1），(1，1），（1,2)，(2,2）根据这个规律，第2012 个点的横坐标为（）45 解:根据图形,以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上横坐标的平方,例如：右下角的点的横坐标为1，共有 1 个，1=12，右下角的点的横坐标为2 时，共有4 个,4=22,右下角的点的横坐标为3 时，共有9 个，9=32,右下角的点的横坐标为4 时，共有16 个,16=42，右下角的点的横坐标为n 时，共有n2 个,452=2025,45 是奇数，第2025 个点是（45，0）,第 2012 个点是（45，13），7、如图，在平面直角坐标系中，有
13、若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列,如(1,0），（2，0)，（2,1），（3，2），（3，1），(3，0）根据这个规律探究可得，第88 个点的坐标为(）解：由图形可知:点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时,箭头朝下。坐标系中的点有规律的按列排列，第1 列有 1 个点，第2 列有 2 个点，第3 列有 3 个点第n 列有 n个点。1+2+3+4+1 2=78，第 78 个点在第12 列上，箭头常上。88=78+10，从第78 个点开始再经过10 个点，就是第88 个点的坐标在第13 列上，坐标为(13，13-10），即第 88 个点的坐标是（13，3)10、如图，已知Al（1，
14、0)，A2(1,1），A3（1，1)，A4(1，1），A5（2，1），则点 A2007的坐标为（)!3 2 l。3 -I!._!:_ _,.王、，O M1 M2 M笠dx.x 气1:1:1!(3,t归l.1亿1!0俨lli:s._ l 丑4 解法 1：观察图象，点A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1,A2，A3,A4 组成。第 1 周期点的坐标为:A1(1，0），A2(1，1)，A3(-1,1），A4(1,1）第 2 周期点的坐标为：A1(2，1），A2(2，2），A3（2，2)，A4（-2,2)第 3 周期点的坐标为：A1(3，2），A2(3，3),
15、A3（3，3）,A4（3，-3)第 n 周期点的坐标为:A1（n，-(n-1)，A2（n,n)，A3（-n,n),A4（n,n)因为 20074=5013，所以 A2007的坐标与第502 周期的点A3的坐标相同,即(502，502)解法 2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外)都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2(1，1)A6(2，2)A10（3,3）A4n2（n，n）。因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6,10,14,即 4n 2（n 是自然数,n 是点的横坐标的绝对值）；同理第二象限内点的下标是4n1（n 是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第三
16、象限是4n（n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值）;第四象限是1+4n（n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值)；因为 20074=5013，所以 A2007位于第二象限。2007=4n1 则 n=502，故点 A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（502，502)8、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3 米到达 A1点,再向正北方向走6 米到达 A2点,再向正西方向走9 米到达 A3点，再向正南方向走12 米到达 A4点，再向正东方向走15 米到达 A5 点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点 D的坐标各是多少。解法 1:观察图象，点A1、A2、A3、A4 每 4
17、个点，图形为一个循环周期.设每个周期均由点A1，A2，A3,A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1（3，0)，A2（3，6）,A3（6，6），A4（-6，6)第 2 周期点的坐标为：A1（9，-6），A2(9，12）,A3（12,12)，A4（12，-12）第 3 周期点的坐标为：A1(15，-12),A2(15，18)，A3（18，18）,A4（18，-18)第 n 周期点的坐标为：A1(6n-3，(6n 6)，A2(6n3,6n）,A3（6n，6n）,A4（6n,6n)因为 64=12，所以 A6的坐标，与第2 周期的点A2的坐标相同，即（9,12）因为 1084=27，所以 A108的
18、坐标与第27 周期的点A4 的坐标相同,(-6 27,627）解法 2:根据题意可知,A1A2=3，A2A3=6,A3A4=8，A4A5=15,当机器人走到A6 点时，A5A6=18米，点 A6的坐标是（9,12）；9、如图，在直角坐标系中，已知点A(3,0）、B(0，4)，对 OAB连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则 2013 的直角顶点的坐标为（)v 4 A1 0 A7 A,A3 A2-3 Ai 4 x A4 s Aa 2 A9 西1、5 解:点 A(3，0）、B（0，4），AB=5，由图可知,每三个三角形为一个循环组依次循环,一个循环组前进的长度为:4+5+3=12，20133=
19、671，2013 的直角顶点是第671 个循环组的最后一个三角形的直角顶点,67112=8052,2013 的直角顶点的坐标为（8052，0）10、如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上 从内到外,它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1、A2、A3、A4表示，其中A1A2与 x 轴、底边A1A2与 A4A5、A4A5 与 A7A8、均相距一个单位，求点A3 和 A92 的坐标分别是多少,解法 1：观察图象,点 A1、A2、A3、每 3 个点,图形为一个循环周期。根据计算A3的坐标是(0，1)设每个周期均由点A1，A2,A3,组成。第 1 周期点的坐标为：A1（-1，-1
20、），A2(1，-1),A3(0，1）第 2 周期点的坐标为：A1(-2,-2），A2（2，2)，A3(0，）第 3 周期点的坐标为：A1（-3，-3)，A2(3，3)，A3（0，+1）第 n 周期点的坐标为：A1(-n，-n），A2(n，-n),A3(0,+n2)，因为 33=1,所以 A3 的坐标与第1 周期的点A3 的坐标相同，即(0,1）因为 923=302,所以 A92的坐标与第31 周期的点A2 的坐标相同，即(31，-31)解法 2：A1A2A3的边长为2，A1A2A3的高线为2=,A1A2与 x 轴相距 1 个单位，A3O=1，A3 的坐标是（0,1）;923=302,A92是第
21、 31 个等边三角形的初中第四象限的顶点，第 31 个等边三角形边长为231=62,点 A92的横坐标为62=31，边A1A2与 A4A5、A4A5与 A7A8、均相距一个单位，点 A92的纵坐标为 31，点 A92的坐标为（31，31)12、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6）,第五跳落到A5 _ 到达 A2n 后,要向 _方v 6,A呈b.3 I 1:,.,A。.x x 网因囚的一一。而白自卤yj-u-2 6 向跳_个单位落到A2n+1解：蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0),第
22、二跳落到A2（1，2）,第三跳落到A3（4，2)，第四跳落到A4(4，6），蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1,即可得出：第五跳落到A5（9，6）,到达 A2n 后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+112、将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线 AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、,按此规律,点 A2012在那条射线上解：如图所示：点名称射线名称AB A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 DA A6
23、 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16 个点排列的位置一循环，因为 2012=16125+12，所以点A2012所在的射线和点 A12 所在的直线一样因为点 A2012 所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线 AB上，故答案为：AB 13、如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第 1 次从原点运动到点（1，1）,第 2次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2）,，按这样的运动规律,经过第 2011 次运动后，动点 P的坐标是_ 解法 1：观察图象，每4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均
24、由点P1，P2,P3，P4组成.第 1 周期点的坐标为:P1(1，1)，P2(2,0)，P3(3,2)，P4(4，0）第 2 周期点的坐标为：P1（5，1)，P2(6,0)，P3（7,2）,P4（8,0）-.A,”争”“争”i-.呵。”tt：事棋？丰田”。”？i十？“.卜”？生主山旦东A,.A.A,A,A,o.4 B Ar A,i 5 A;As A,A,-S-4-3-2-1 JH33酬第第第第A,A 1 2 A.3、J、4 5J剧8 第 n 次跳动至点的坐标是An1,22nn，第 100 次跳动至点的坐标是（51，50）(2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1 的一半，纵坐标
25、是横坐标的相反数，即第n次跳动至点An的坐标为11,22nn第 1 次跳动至点的坐标是A1(-1,1），第 3次跳动至点的坐标是A3(2,2），第 5 次跳动至点的坐标是A5（3，3），第 7 次跳动至点的坐标是A7（-4，4），第 n 次跳动至点的坐标是11,22nn，第 103 次跳动至点的坐标是(52，52）16、如图,将边长为 1的正三角形OAP 沿 x 轴正方向连续翻转2008 次,点 P依次落在点P1，P2,P3P2008的位置,则点 P2008，P2007 的横坐标分别为为()（）解法 1：观察图象,点 P1、P2、P3每 3 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1、P2
26、、P3组成。第 1 周期点的坐标为：P1（1，0），P2（1,0），P3(2.5,y）第 2 周期点的坐标为：P1（4，0)，P2（4,0）,P3（5。5,y）第 3 周期点的坐标为:P1（7，0)，P2(7,0），P3(8。5，y)第 n 周期点的坐标为：P1(3n2,0),P2（3n 2，0)，P3(3n-1+0.5，y）因为 20083=6691，所以 P208的坐标与第670 周期的点P1的坐标相同，(3 670-2，0)，即（2008，0）所以横坐标为2008 因为 20073=669，所以 P2007 的坐标与第669 周期的点P3的坐标相同，（3669-1+0。5，y)，即（20
27、06.5，y）所以横坐标为2006.5 解法 2:观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5 依此类推下去，能被3 整除的数的坐标是概数减去0。5 即为该点的横坐标.P2005、P2006的横坐标是2005，P2007 的横坐标是2006。5，P2008、P2009的横坐标就是2008故答案为200820073=667，能被 3 整除，所以P2007 的横坐标为2006。5 其实，关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点,可以先观察P3、P6、P9的可以发现3 个一循环。由 20083=
28、6691 即在第 669 个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点,它们的特点是点P4对应的横坐标是4，所以点P2008 对应的横坐标是2008 17、如图，将边长为1 的正方形OAPB沿 z 轴正方向连续翻转2006 次，点 P依次落在点P1,P2，P3，P4,，P2006的位置,则 P2006的横坐标x2006 是多少？P2012 的横坐标又是多少p A。p AO.Y P.3 P.6 A、，之“司、，号：-，t-.-.:-4t，吃，、4、.、.、.、，、4、（、.、，、，、巴、，、队，、，、飞 二、J、，、，、J飞，、f、J、f、，、J、J、，、，再再）乃（Pa:衍。（Fn)x n.,-
29、www.u,.1math com 马何）工9 解法 1：观察图象，点P1、P2、P3、P4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1、P2、P3、P4 组成.第 1 周期点的坐标为：P1(1,1),P2（2，0）,P3(2，0)，P4（3,1)第 2 周期点的坐标为：P1(5，1），P2(6,0),P3（6，0）,P4(7，1）第 3 周期点的坐标为:P1（9，1），P2(10，0),P3(10，0）,P4（11，1）第 n 周期点的坐标为：P1（4n3，0)，P2（4n-2,0)，P3(4n 2，0),P4(4n1，1)因为 20064=5012,所以 P2006 的坐标与第5
30、02 周期的点P2的坐标相同,(4 5022,0）,即（2006，0)所以横坐标为2006。因为 20124=503,所以 P2012的坐标与第503 周期的点P4 的坐标相同，(4 503-1，1），即（2011，1）所以横坐标为2011 解法 2：从 P到 P4要翻转 4 次,横坐标刚好加4,20064=5012,5014 1=2003,（之所以减1,是因为 p点的起始点的横坐标为-1）由上式可知,P2006 的位置是正方形完成了501 次翻转后，还要再翻两次,即完成类似从P到 P2的过程，横坐标加3，即 2003+3=2006 则 P2006 的横坐标 x2006=2006故答案为:20
31、06 20124=503，即正方形刚好完成了503 次翻转因为每4 个一循环，可以判断P2012 在 503 次循环后与P4 的一致,坐标应该是2012-1=2011 P2012的横坐标x2012=201118、如图，在一单位为1 的方格纸上，123A A A，345A A A，567A A A，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2,4,6，的等腰直角三角形若123A A A的顶点坐标分别为1A（2，0），2A(1，-1）,3A（0，0)，则依图中所示规律，2012A的坐标为()解法 1:观察图象，点A1、A2、A3、A4每 4个点，图形为一个循环周期.设每个周期均由点A1、A2、A3、A4 组
32、成。第 1 周期点的坐标为：A1(2,0）,A2(1，1)，A3（0，0)，A4(2，2)第 2 周期点的坐标为：A1(4,0），A2(1,-3),A3(2，0）,A4（2,4)第 3 周期点的坐标为：A1(6，0）,A2（1,5），A3（-4，0)，A4（2，6)第 n 周期点的坐标为：A1(2n，0），A2(1,-(2n1），A3（-（2n-2），0），A4(2,2n）因为 20124=503,所以 P2012的坐标与第503 周期的点P4 的坐标相同，(2，2x503）即（2，1006）解法 2：画出图像可找到规律,下标为 4n（n 为非负整数)的 A 点横坐标为2，纵坐标为2n,则20
33、12A的坐标为(2，1006）19、如图,在平面直角坐标系上有个点P（1,0)，点 P 第 1 次向上跳动1 个单位至点P1（1,1）,紧接着第 2 次向左跳动2 个单位至点P2（1，1），第 3 次向上跳动1 个单位，第4 次向右跳动3 个单位，第5 次又向上跳动1 个单位，第 6 次向左跳动4 个单位，依此规律跳动下去,点 P第 100 次跳动至点P99，P100,P2009 的坐标分别是多少,Y.,ti x 4 10 解法 1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1、P2、P3、P4 组成。第 1 周期点的坐标为：P1(1，1），P2（1
34、，1)，P3(1,2），P4（2，2)第 2 周期点的坐标为：P1(2,3)，P2（-2，3),P3（2，4），P4（3，4)第 3 周期点的坐标为：P1（3，5），P2（-3,5），P3(3,6），P4（4，6）第 n 周期点的坐标为：P1（n,2n 1),P2（n，2n-1)，P3（n，2n）,P4（n+1，2n)因为 994=243,所以 P99坐标与第25 周期点 P3的坐标相同(25，225）即（25，50）1004=25，所以 P100的坐标与第25 周期的点P4的坐标相同（25+1，225）即（26,50）20094=5021,所以 P2009坐标与第503 周期点 P1的坐标相
35、同(503，2503-1）即（503，1005）解法 2：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100 次跳动后，纵坐标为 1002=50；其中 4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第 100 次跳动得到的横坐标也在y 轴右侧P1横坐标为1，P4横坐标为2,P8 横坐标为 3,依次类推可得到:Pn 的横坐标为n4+1故点 P100的横坐标为：1004+1=26，纵坐标为：1002=50，点P第 100 次跳动至点P100 的坐标是（26,50）20、如图，在直角坐标系中，第一次将OAB变换成 OA1B1，第二次将 OA1B1变换成 OA2B2，第三次将 OA2B2变换成
36、 OA3B3 已知：A（1，3），A1（2，3）,A2（4，3）,A3(8,3）;B（2，0），B1(4,0），B2（8，0）,B3（16，0）观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5，B5 的坐标分别是多少解：A、A1、A2An 都在平行于X轴的直线上,纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3;这些点的横坐标有一定的规律：An=2n因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2Bn 都在 x 轴上，B5 的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64点 A5的坐标是（32,3)，点 B5 的坐标是(64，0）
37、21、如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A（0,3)，点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记AOB 内部(不包括边界)的整点个数为m当点 B 的横坐标为3n(n 为正整数）时，m=(用含 n 的代数式表示）t;P,p-3-2 2 3 4 比。B B1 B B3:3、：4卜4;”但二2 、.杀：q：st:l卡、：丰.，：.：r;:1；.二：斗.-c斗一l二二_I_,二。Il 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12:11 根据题意,分别找出n=1、2、3、4 时的整点的个数，不难发现n 增加 1，整点的个数增加3,然后写出横坐标为3n 时的表达式即
38、可解：如图，n=1，即点 B的横坐标为3 时,整点个数为1，n=2，即点 B的横坐标为6 时，整点个数为4，n=3,即点 B的横坐标为9 时，整点个数为7，n=4，即点 B的横坐标为12 时,整点个数为10，所以，点B的坐标为3n 时，整点个数为3n-2 22、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别是（1，-1)、（0,2）、(2，0）,点 P 在y 轴上，且坐标为（0，-2）点 P 关于点 A 的对称点为P1,点 P1 关于点 B 的对称点为P2，点 P2 关于点C 的对称点为P3，点 P3 关于点 A 的对称点为P4，点 P4 关于点 B 的对称点为P5，点 P5 关于点 C
39、的对称点为 P6，点 P6 关于点 A 的对称点为P7，按此规律进行下去，则点P2013 的坐标是分析:根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点 P重合，也就是每6 次对称为一个循环组循环，用 2013 除以 6,根据商和余数的情况确定点P2013的位置,然后写出坐标即可解:如图所示，点P6与点 P重合，20136=3353,点 P2013是第 336 循环组的第3 个点，与点P3重合,点 P2013的坐标为（2，4）23、如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）,B（-1，1)，C（-1，2），D(1,-2）把一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计)的一端固定在点A
40、 处，并按 AB-C D-A-的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）解：A（1，1)，B(-1,1),C（1，2)，D(1，2），AB=1(-1）=2，BC=1-（-2）=3,CD=1-（1)=2，DA=1（2）=3，绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，201310=2013,细线另一端在绕四边形第202 圈的第 3 个单位长度的位置，24、如图，已知直线l：y=x，过点 A(0，1)作 y 轴的垂线交直线l 于点 B，过点 B作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂
41、线交y 轴于点 A2；按此作法继续下去，则点A2013的坐标为（0，42013）或(0，24026）（注：以上两答案任选一个都对)机Yvr一F气,P.p毡.、,、.,。”回x A、,、.,.,P,。,、:.-,A 、,.,鸟飞P:.、P,Y A、-x 4、c 亏D 阳12 解：直线l 的解析式为；y=x，l 与 x 轴的夹角为30,AB x 轴，ABO=30，OA=1，AB=，A1B l,ABA1=60，AA1=3,A1O（0，4）,同理可得A2（0，16)，A2013 纵坐标为：42013，A2013（0，42013）故答案为：（0，42013）25、如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1
42、，OA1与 x 轴的夹角为30，线段A1A2=1，A2A1OA1，垂足为 A1；线段 A2A3=1，A3A2A1A2，垂足为A2；线段 A3A4=1，A4A3 A2A3，垂足为A3；按此规律,点 A2012 的坐标为（503 503，503+503）解：如图，过点A1作 A1Bx 轴，作 A1C x 轴 A2C y 轴，相交于点C，OA1=1，OA1与 x 轴的夹角为30，OB=OA1?cos30=1=，A1B=OA1?sin30=1=，点 A1的坐标为（，），A2A1OA1，OA1与 x 轴的夹角为30，OA1C=30，A2A1C=90 30=60,A1A2C=90 60=30,同理可求:A
43、2C=OB=，A1C=A1B=，所以,点 A2的坐标为（,+)，点 A3 的坐标为（+，+），即（,+1），点 A4 的坐标为(，+1+），即（1，+1）,点 A5 的坐标为（1+，+1+），即（1，+),点 A6 的坐标为（1，+）,即（，+）,，J 卫A 还3匹而一剖匹Bi As 日3X 2 人11。布鲁用E由唱岳王E而盯叫s3 2 苟言写E望：自自围）望自望 围i盯ii雪争刃争而自望i亟ir213 当 n 为奇数时，点An的坐标为（，+），当 n 为偶数时,点 An的坐标为（,+），所以，当n=2012 时，=503503，+=503+503，点 A2012 的坐标为（503503，50
44、3+503）故答案为：（503503,503+503）26、如图，从内到外，边长依次为2，4,6，8，的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与 x 轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12表示,那么顶点 A62 的坐标是（11，11)解：=10 余 2，顶点 A62 所在的正六边形的边长为(10+1)2=22,且顶点 A62在第三象限，其横坐标为=11，纵坐标为=11，故顶点 A62的坐标是（11,11)故答案为：（11，11）27、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1,A2,A3
45、，和点C1，C2,C3，分别在直线y=kx+b(k 0)和 x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（2n1,2n 1）召,As 3 n矶山U。IBl 2 3.x Y,A 1 I A，且望X O A也Ir叫F丁1n-1 n+l QN口一4m 目fu1自网 n 盯百口 日3达3号才阳网而14 解：把 A1(0，1），A2（1，2)代入 y=kx+b 可得 y=x+1可知 An 的纵坐标总比横坐标多1由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，所以B1（1,1），B2（1+2,2），B3（1+2+4，4）,Bn 纵坐标为 2n 1观察图可知Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标
46、为An的纵坐标Bn+1纵坐标为2n，则 An+1的纵坐标为2n，An+1的横坐标为2n1,则 Bn的横坐标为2n1则 Bn 的坐标是(2n 1，2n1)28、如图，当四边形PABN的周长最小时，a=解：将 N点向左平移2 单位与 P重合,点 B向左平移2 单位到 B（2，1），作 B关于 x 轴的对称点B，根据作法知点B（2，1），设直线 AB 的解析式为y=kx+b，则，解得 k=4,b=7y=4x7当 y=0 时,x=，即 P（，0），a=故答案填：v 83 B。lC,C7 Cs x _ v F电G，。）矶时2,0)。.8(4,-1)x v.B”汽a,.?.1.a2，。）。;.8(4,-1)x