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1、第 1 页 共 8 页2016 年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合034|2xxxA，032|xxB，则AB（）（A）23,3（B）23,3（C）23,1（D）3,232设yixi11，其中yx,是实数，则|yix（）（A）1（B）2（C）3（D）2 3已知等差数列na前 9项的和为27，810a，则100a（）（A）100（B）99（C）98（D）97 4某公司的班车在7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻
2、是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）（A）31（B）21（C）32（D）435已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）（A）3,1（B）3,1（C）3,0（D）3,06如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是328，则它的表面积是（）（A）17（B）18（C）20（D）287函数|22xexy在2,2的图像大致为（）8若1ab，01c，则（）（A）ccba（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc-+飞j+.r(.r)1T 01 亏(C)门飞jI(
3、D)fM飞)+，EZ飞()-I+/:,.-.r.r 飞j4呻+-I +-I 输入.，.,.凋”+l 1T()否输出，T1T 第 3 页 共 8 页2coscoscosaB+bACc。求C；若7c，ABC的面积为3 32，求ABC的周长。18（本小题满分12 分）如图，在以FEDCBA,为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，FDAF2，090AFD，且二面角EAFD与二面角FBEC都是060。证明：平面ABEF平面EFDC；求二面角ABCE的余弦值。19（本小题满分12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
4、200 元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图。以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数。求X的分布列；若要求0.5P Xn，确定n的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？20（本小题满分12 分）设圆222150 xyx的圆心为A，直线l过点0,1B且与x轴不重合，l交圆
5、A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E。证明|EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于NM,两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。21（本小题满分12 分）已知221xfxxea x有两个零点。求a的取值范围；设21,xx是fx的两个零点，证明：221xx。请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10 分）（选修 4-1：几何证明选讲）如图，AOB是等腰三角形，0120AOB。以O为圆心，=.r t:.、广t:.c L B A.l 频数40201
6、-.，。飞，8 9 10 II更换的易损零件数三）三+()+()=(-)+(-)()+。、1、。x 第 5 页 共 8 页2016 年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学解答一 DBCBA ADCCB AB二 132；1410；1564；1621600017解：由已知及正弦定理得，2cossincossincossinCABBAC，2cossinsinCABC。故2sincossinCCC，可得1cos2C，所以3C；由已知，13 3sin22abC，又3C，故6ab。由已知及余弦定理得，7cos222Cabba，故1322ba，从而252ba。故ABC的周长为57。18解：由已知可得
7、DFAF，FEAF，所以AF平面EFDC。又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC；过D作EFDG，垂足为G，由知DG平面ABEF。以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF为单位长，建立如图所示空间直角坐标系Gxyz。由知DFE为二面角EAFD的平面角，故060DFE，则2|DF，3|DG，可得1,4,0A，3,4,0B，3,0,0E，0,0,3D。由已知，EFAB/，所以/AB平面EFDC。又平面ABCD平面DCEFDC，故CDAB/，EFCD/。由AFBE/，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角FBEC的平面 角，060CEF，从 而2,0,3C。所 以1,0,3EC，0,
8、4,0EB，3,4,3AC，4,0,0AB。设,nx y z是平面BCE的法向量，则00n ECn EB，即0403yzx，所以可取3,0,3n。设m是平面ABCD的法向量，则00m ACm AB，同理可取0,3,4m。则c os,|n mn mnm2 1919，所以二面角ABCE的余弦值为2 1919。+1T+1T-r+._ t,.+c.l.l.l.l B x E呻.l.l L)A 4己)n川)叶=()川叫呻E呻，叫叫咱国畸,.)L 呻F.l L-I.J）（呻叫-.J)呻I+F J叶唱一（寸寸）斗畔.：！.一.r 咱r 第 6 页 共 8 页19解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三
9、年内需更换的易损零件数为11,10,9,8的概率分别是2.0,2.0,4.0,2.0，从而160.20.20.04P X，1720.2 0.40.16P X，1820.2 0.20.4 0.40.24P X，192 0.2 0.220.4 0.20.24P X，2020.2 0.40.20.20.2P X，2120.2 0.20.08P X，220.2 0.20.04P X。因此X的分布列如下表所示；X16 17 18 19 20 21 22 P04.016.024.024.02.008.004.0由知180.44P X，190.68P X，故n的最小值为19；记Y表示 2 台机器在购买易损零
10、件上所需的费用（单位：元）。当19n时，EY19 200 0.6819 2005000.219 20025000.08192003 500404004.0，当20n时，20 200 0.88202005000.08EY202002 5000.04=4080。可知当19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值，所以应选19n。20解：因|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，|EDEB，故|ADEDEAEBEA。又圆A的方程为16122yx，故4|AD，所以4|EBEA。由题设得0,1A，0,1B，2|AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：013422yyx；当l与x轴不垂直时，设l：01 kxky，11,yxM，22,yxN，由134122yxxky得01248342222kxkxk，故3482221kkxx，341242221kkxx，所以34112|1|22212kkxxkMN。过点0,1B且与l垂直的直线m：11xky，点)=)=x +x)=+(=)=+-(=)=-x 日（）三()()(=(-)+(-)=(-)(+-()（）（）-()()(-)三二()（制）()=-()=()三 I（）（怕）()()(-)()三二(-)（制）（）（制）-E(-00)()(-oo)+(-)(-)飞）()()=()=(-)+/)()()=()=-()()()/