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1、-1-初一数学竞赛系列训练1 答案1、设这两个数为a,b，由(a,b)=8 得 a=8m,b=8n，且(m,n)=1 由a,b=96 得m,n=12，又(m,n)=1，所以 m=3，n=4 或 m=4，n=3 所以 a+b=8(m+n)=56，故选 A 2、由题意知，b 既能被 4 整除，又能被3 整除，所以b 能被 12 整除又 60 能被 b 整除，所以b12 或 60（1）若 b 12，则 60 b5，因为 5 与 4 互质，5 与 3 也互质，所以a、c中至少有一个含有因数5。若 a 含有因数5，则 a 20，又 c 3，所以 a+b+c 20+12+3=35 若 c 含有因数5，则
2、c 15，又 a 4，所以 a+b+c 4+12+15=31 取 a=4，b=12，c=15，能构成三角形（2）若 b 60，则 a+b+c6031 故 a+b+c 的最小值为31。3、在自然数1，2，3，100 中，能被2 整除的数有50 个；既能被2 整除又能被3 整除，即能被6 整除的数有6，12，18，96 共 16 个，所以能被2 整除但不能被3 整除的数有 50-16=34 个，选 B4、七位数各位数字之和为32，不能被 3 整除，任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3 整除，故选D5、1995 除以 6 的余数是3，且 a1995(mod 6)，所以 a 除以
3、6 的余数也是3，故选 C 6、由 19n+1410n+3(mod 83)知 19n+14 (10n+3)0(mod 83)9n+11 0(mod 83)9221991183kkkn当 k=1 时，n 取最小值8。故选 B7、由题意得n+1 是 3、4、5 的公倍数，最小的n=345-1=59 8、y 整除 6 又整除 15，y 整除 3，所以 y=1,3.代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)五组解。9、被 4 整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成x996，9996x，x=3,于是所求的末位数是3。10、210，3102，410
4、20，5 10200，6102000，71020005，810200056，9102000564，101020005640，1110200056405，于是最小11 位数是 1020005640511、3 2 n+8=9 n+8 3 2 n+81n+0(mod 8)1(mod 8)3 2 n+8 被 8 除的余数是1 12、设自然数N 的末位数是a，则 Na(mod 10)，从而 N4a4(mod 10)，14 1(mod 10)，246(mod 10)，341(mod 10)，446(mod 10)，545(mod 10)，646(mod 10)，741(mod 10)，846(mod 10
5、)，941(mod 10)，1040(mod 10)14+24+34+44+19944+19954199(14+24+34+44+104)+14+24+34+44+54199(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+5 19933+197+96(mod 10)-2-故 14+24+34+44+19944+19954的末位数是613、设两个自然数是a,b(a?b)，且(a,b)=d，并设a1=da，b1=db，则(a1，b1)=1，且a+b=d(a1+b1)=667=2329.因为 23，29 都是质数，所以d=1 或 d=23 或 d=29(1)若 d=1，则 a,b=ab=
6、120 又因为 a+b=667，所以 a2-667a+120=0.但此方程中a 不能是自然数，所以d1.(2)若 d=23，则有 a1+b1=29 a,b=23a1,b1=23?a1?b1，所以 a1?b1=dba，=120 012029121aa，则1 2 02911aa，把 120 分解质因数，可得 a1=5，从而 b1=24。所以 a=235=115，b=2324=552(3)若 d=29，则有 a1+b1=23 a,b=29a1,b1=29?a1?b1，所以 a1?b1=dba，=120 012023121aa，则1202311aa，把 120 分解质因数，可得 a1=8，从而 b1=
7、15。所以 a=298=232，b=2915=435 综上所得，本题有两组解：115，552 或 232，435 14、设这两个数为x,y，则 x+y=40,且(x,y)+x,y=56，由于(x,y)x,y=xy，所以yxxyyx,设(x,y)=d，则 x=da，y=db，且(a,b)=1，于是可得方程组dabdba56140由于(40，56)=8，所以 d=1,2,4,8 当 d=1,2,4 时方程组无整数解，所以d=8 d=8 时，方程组变为65abba，可得 a=2,b=3 或 a=3,b=2，所以 x=16 或 24，y=24 或16，从而所求的两个数为16 和 24 15、由于五位数
8、H97H4能被 12 整除，而12=34，且 3，4 互质，所以3H97H4且4H97H4。3(4+H+9+7+H)，即 3(2H+20)，经试算 H可取 2、5 或 8，又因为 67H，所以 27H，故 H 为偶数，所以H 取 2 或 8，又因为4H97H4，所以 47H，所以-3-H 取 2，所以这个五位数为42972。16、a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d 也是互不相等的整数。(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9，所以 x-a,x-b,x-c,x-d 均为 9 的约数，而 9=(-1)(+1)(-3)(+3)，则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)=(-1)+(+1)+(-3)+(+3)=0 即 a+b+c+d=4x，所以 4(a+b+c+d)17、993211，98722，9797，96 253 96 是 2533527 的最大的两位约数。18、25=32-1(mod 11)，210(-1)21(mod 11)，2400=(210)40140=1(mod 11)即 2400被 11 除，余数是1 19、31980+41981=(32)990+41981=9990+419811990+(-1)1981=1+(-1)=0(mod 5)所以 31980+41981被 5 整除